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1、内容内容3.2常用模拟低通滤波器（LPF）特性3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器3.3从模拟LPF原型到各种滤波器的频率变换3.4从数字LPF原型到各种数字滤波器的频率变换第1页/共81页引引 言言q许多信息处理过程，如q信号的过滤，检测、预测等信号的过滤，检测、预测等q都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统环节，是数字信号处理的重要基础。q数字滤波器的功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。q数字滤波器线性时不变系统。q实现方法主要有两种：q数字信号处理机数字信号处理机q计算机软件计算机软件第2页/共81页 设计数字滤波器的步骤
2、：设计数字滤波器的步骤：一般包括以下三步：(1)按照任务的要求，确定滤波器的性能指标任务包括：需要滤除哪些频率分量保留哪些频率分量保留的部分允许有多大的幅度或相位失真(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求系统函数可以分为IIR和FIR两类系统 第3页/共81页DF的分类（补充）的分类（补充）v系统函数v递归系统递归系统v非递归系统非递归系统v系统响应v IIRvFIRv频率响应v高通、低通高通、低通v带通、带阻带通、带阻第4页/共81页(3)数字滤波器的实现数字滤波器的实现选择运算结构确定运算和系数存储的字长选用通用计算机及相应的软件通用计算机及相应的软件专用数字
3、滤波器硬件实现这一系统。专用数字滤波器硬件实现这一系统。第5页/共81页数字滤波器的数学描述数字滤波器的数学描述1)差分方程2)系统函数第6页/共81页系统的组成系统的组成一般，MN,这类系统称为N阶系统当MN时，H(z)可看成是一个N阶IIR子系统与一个(M-N)阶的FIR子系统的级联。IIR(N阶)FIR(M-N阶)X(n)y(n)第7页/共81页数字低通滤波器频率响应幅度特性的容限图|cr|第8页/共81页 IIR滤波器的逼近问题滤波器的逼近问题寻找滤波器的各系数ai和bi，使其逼近一个所要求的特性。通常有以下两种方法：1.模拟滤波器=预定指标的DF。优点：经典方法，成熟，方便，准确要求
4、：掌握第9页/共81页2.最优化设计方法最优化设计方法(1)确定一种最优准则例:设计出的实际频率响应的幅度特性|H(ej)|与所要求的理想频率响应|Hd(ej)|的均方误差最小准则，或最大误差最小准则(2)求此准则下的滤波器系数ai和bi。特点：(1)直接法:不需要模拟滤波器作为之间环节(2)现代方法，需要大量的迭代运算第10页/共81页3.1 根据模拟滤波器来设计根据模拟滤波器来设计IIR滤波器滤波器 教材教材p100从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计DF传递函数H(z)。由s平面到z平面的变换，满足两条基本要求：(1)H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响s平面的虚轴映射到z平面的单
5、位圆ej上。(2)因果稳定的Ha(s)能映射成因果稳定的H(z)S平面的左半平面Res0=z平面的单位圆内|z|1第11页/共81页模拟滤波器的设计方法模拟滤波器的设计方法1.巴特沃兹滤波器（了解）2.切比雪夫滤波器（了解）3.椭圆滤波器（*）第12页/共81页两种映射方法两种映射方法由DF模仿AF的特性，也即从AF映射成DF的问题。1.脉冲响应不变法（重点）2.双线性变换法（重点）各有优势 第13页/共81页3.1.1 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 教材教材P101使DF的h(n)模仿模拟滤波器的ha(t)，T为采样周期。即h(n)=ha(nT)(1)假设Ha(s)=Lha(t)，H(z)=
6、Zh(n)(2)第14页/共81页从从Ha(s)到到H(z)结论通通过过N阶阶模模拟拟滤滤波波器器的的Ha(s)的的 Ai和和 si，可可 以以 求求 出出 DF的的H(z)。(3)(4)(5)教材P101第15页/共81页理想采样的拉氏变换与采样序列h(n)的z变换H(z)之间存在着s平面与z平面的映射关系(3.7)第16页/共81页z的模r仅对应于s的实部z的幅角仅对应于s的虚部。(1)=0时，r=1，s平面虚轴映射为z平面的单位圆。(2)0时，r1；当0时，r1。s左半平面映射为z平面的单位圆内部，而s右半平面则映射为z平面单位圆外部第17页/共81页(3)=T，当自0至变化时，的对应值
7、为0至/T。s平面上每一条宽为2/T的横带部分，都将重叠地映射到z平面的整个平面上。每一横带的左半部分映射在z平面单位圆内；横带的右半部分映射在单位圆以外j轴映射到单位圆上，但j轴上的每一段2/T都对应于绕单位圆一周。第18页/共81页图图3.1 脉冲响应不变法的映射关系脉冲响应不变法的映射关系第19页/共81页混叠失真不可避免混叠失真不可避免任何一个实际的模拟滤波器的频响都不可能真正是带限的，这就不可避免地会产生混叠失真因而AF的频响在折叠频率以上处衰减越大，这个失真就越小。第20页/共81页(1)稳定性稳定性(1)如果Ha(s)是稳定的，即其极点全部都在s左半平面内由映射关系可知，对应的H
8、(z)的极点也全部都在z平面的单位圆内所以H(z)也是稳定的。第21页/共81页(2)相位线性相位线性H(s)的虚轴均映射到H(z)的单位圆上，逼近程度在-(/T)(/T)的范围内是好的在此范围内与之间呈线性的对应关系，即=T。一个线性相位的模拟滤波器Bessel滤波器可以映射成一个线性相位的DF。第22页/共81页(3)局限性局限性-频率混叠效应频率混叠效应 P103-104该方法只适用于带限的AF。高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响应不变法否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的分量。带通和低通滤波器，需充分地带限阻带衰减越大，则混叠效应越小第23页/共81页例例1 将已知传递函数将已知传递
9、函数的模拟滤波器数字化的模拟滤波器数字化图脉冲响应不变法的幅频特性 第24页/共81页3.1.2 双线性变换法双线性变换法 P105频谱交叠产生的混淆:从S平面到Z平面的变换zesT的多值对应关系建立S平面与Z平面一一对应的单值关系设想变换分为两步1.将整个将整个S平面压缩到平面压缩到S1平面的一条横带里平面的一条横带里2.通过变换关系将此横带变换到整个通过变换关系将此横带变换到整个Z平面平面第25页/共81页图图3.3 3.3 双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴上的一段上，可通过正切变换实现：第26页/共81页通过标准变换将横带变换到整个Z平面将将S
10、S1 1平面通过标准变换关系映射到平面通过标准变换关系映射到Z Z平面平面通常取c=2/T第27页/共81页S平面与平面与Z平面单值映射关系平面单值映射关系双线性变换双线性变换v优点不存在混叠效应：vS平面虚轴对应于平面虚轴对应于Z平面单位圆的一周平面单位圆的一周vS平面的平面的=0处对应于处对应于Z平面的平面的=0处处v对对应应于于DF的的频频率率响响应应终终止止于于折折迭迭频频率率处处第28页/共81页讨论：变换的性质讨论：变换的性质1.s平面的虚轴映射到z平面单位圆上z=ej,代入，得s平面上的正虚轴和负虚轴分别被映射到z平面上单位圆的上半部和下半部。(3.20)第29页/共81页图双线
11、性变换的频率特性图双线性变换的频率特性2.s平面的左半部映射到单位圆的内部 s平面的右半部映射到单位圆的外部。证明证明第30页/共81页3.稳定性稳定性s的实部为负时，因子的幅度小于1，相当于单位圆的内部。反之，s的实部为正时，该比值的幅度大于1，相当于单位圆的外部。结论：使用双线性变换法能从稳定的AF获得稳定的DF 考察比值因子第31页/共81页4.避免了混叠问题避免了混叠问题代价：在频率轴上引进了失真在零频率附近与之间的频率变换关系接近于线性关系当增加时，变换关系是非线性注意：只有当容忍或能补偿这种失真时，这种设计法才是实用的第32页/共81页5.DF幅频响应相对于原幅频响应相对于原AF会
12、有畸变会有畸变频率之间的非线性变换关系例 一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系 通过双线性变换后，不可能得到数字微分器。第33页/共81页6.对于分段频响为常数的滤波器（对于分段频响为常数的滤波器（*）变换后仍得到幅频特性为分段常数的滤波器但是各个分段边缘的临界频率点产生了频率畸变可以通过频率的预畸变加以校正第34页/共81页3.2 3.2 常用模拟低通滤波器特性常用模拟低通滤波器特性q目的：方便学习数字滤波器q任务：讨论常用的模拟LPF设计方法q高高通通、带带通通、带带阻阻等等模模拟拟滤滤波波器器可可利利用用变变量量变变换换方方法法，由由LPF变换得到变换得到。q模拟LPF的种类Butt
13、erworth 滤波器滤波器Chebyshev 滤波器滤波器椭圆（椭圆（Elliptic、Cauer型）滤波器型）滤波器第35页/共81页模拟滤波器的设计（逼近）q根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近理想滤波器特性。在逼近中常使用“振幅平方函数”来表示:A(2)=|Ha(j)|2=Ha(j)H*a(j)(3.21)由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而H*a(j)=Ha(-j)(3.22)A(2)=Ha(j)Ha(-j)=Ha(s)Ha(-s)|s=j(3.23)第36页/共81页问题问题:由已知的由已知的A(2)求得求得Ha(s)。在稳态条件下,s=j2=-s2，所以A(
14、2)=A(-s2)|s=j。先在s复平面上标出A(-s2)的极点和零点由(3.23)式，A(-s2)的极点、零点总是“成对地”对称于s平面的实轴与虚轴选用A(-s2)的对称极点、零点的任一半作为Ha(s)的极点和零点从而可得到系统函数Ha(s)第37页/共81页极点、零点在左半平面、右半平面？极点、零点在左半平面、右半平面？选用极点时为了保证Ha(s)的稳定选用A(-s2)在s左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点则可用A(-s2)的对称零点的任一半在要求设计的Ha(s)具有最小相位性质时选用A(2)在s左半平面的零点作为Ha(s)的零点。第38页/共81页例例2 设已知设已知A(2)，求对
15、应的，求对应的Ha(s)。四个极点和两个零点在s平面上的分布如图。第39页/共81页图图3.5 从从A(2)求求Ha(s)第40页/共81页构成构成Ha(s)的的极点、零点极点、零点按稳定条件取左半平面的两个极点按最小相位条件来选取取左半平面上的一个零点三种最常用模拟滤波器的设计方法第41页/共81页3.2.1 巴特沃兹巴特沃兹(Butterworth)滤波器滤波器特点(1)具有通带内最大平坦的振幅特性(2)随着频率的升高而单调地下降。幅度平方函数:(3.24)第42页/共81页A(2)的特性的特性N为滤波器的阶数,N越大通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡(1)在通带内/c1则(/c)2N非
16、常小而使函数A(2)接近于1(2)在过渡带和阻带内/c1,(/c)2N则远大于1，使函数值骤然下降(3)在c处，响应等于直流时的。这相当于幅度响应的或3dB衰减点第43页/共81页图图3.6 Butterworth滤波器的幅度平方函数滤波器的幅度平方函数第44页/共81页振幅平方函数的极点振幅平方函数的极点sp有2N个，等角度分布在|s|=c的圆周上(3.25)(3.26)第45页/共81页分析：分析：N=3阶的振幅平方函数的极点分布阶的振幅平方函数的极点分布系统函数是由s平面左半部的极点(sp3,sp4,sp5)组成。其系统函数为：(3.27)分子的3c使得s=0时，Ha(s)=1。令c=1
17、，便得到归一化的三阶LPF：(3.28)第46页/共81页图图3.7 N=3阶的振幅平方函数的极点分布阶的振幅平方函数的极点分布第47页/共81页3.2.2 切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器 显著特点:逼近误差峰值在一个规定的频段上为最小。误差值在规定的频段上是等波纹的误差值等幅地在极大值和极小值之间摆动。切比雪夫滤波器的振幅平方函数为(3.29)第48页/共81页N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式 c为有效通带截止频率为小于1的正数，与通带波纹有关值愈大通带波动愈大VN(x)是N阶切比雪夫多项式：(3.30)第49页/共81页N阶切比雪夫多项式的变化规律阶切比雪夫多项式的变
18、化规律当|x|1时，|VN(x)|1；在|x|1的区间内VN(x)随x而单调地增加在|x|1间隔内，1+(x)的值将在1与1+2之间变化。|x|1即为|/c|1(通带),此时的|Ha(j)|2在1与1/(1+2)之间波动。在|x|1时，即c时，随着/c的增大|Ha(j)|2迅速趋于零。第50页/共81页图图3.6 Chebyshev滤波器的振幅平方特性滤波器的振幅平方特性N=even，|Ha(j)|2在=0处为最小值；N=odd，|Ha(j)|2在=0处为1，最大值 第51页/共81页有关参数的确定方法有关参数的确定方法(c、N)c一般是预先给定的2.求是与通带波纹有关的参数，波纹：|Ha(j
19、)|max=1而Ha(j)|min=1/(1+2)2=10/10-1 第52页/共81页(3)求阶数求阶数NN对滤波特性有极大的影响，N越大逼近特性越好相应的滤波器结构也越复杂。N的值根据阻带的边界条件来确定的当=s时，|Ha(js)|21/A2第53页/共81页N、c、给定后，就可以求得滤波器系统函数Ha(s)查阅有关模拟滤波器手册。第54页/共81页3.2.3 椭圆滤波器椭圆滤波器特点:其幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的对于给定的阶数和给定的纹波要求，除椭圆滤波器外，其他滤波器均不能获得较窄的过渡带宽就这一点，椭圆滤波器是最优的。第55页/共81页椭圆函数椭圆函数(Jacobi Elli
20、ptic Function)振幅特性由雅可比椭圆函数决定这种滤波器的振幅平方函数为RN(，L)-雅可比椭圆函数L是一个表示纹波性质的参量 第56页/共81页图图3.10 椭圆滤波器的振幅平方函数椭圆滤波器的振幅平方函数第57页/共81页三种最常用模拟滤波器的选型三种最常用模拟滤波器的选型按照技术指标选用哪种型式由设计者决定关于阶数：椭圆滤波器的阶次可最低切比雪夫滤波器次之巴特沃兹滤波器最高关于参数的灵敏度恰恰相反。从设计指标设计A(2)设计出Ha(s)讨论从Ha(s)至H(z)的变换设计法。第58页/共81页3.3 从模拟原型从模拟原型LPF到各种到各种DF的频率变换的频率变换两种设计方法：1
21、.两步法(1)把一个归一化的原型模拟LPF经模拟频带变换成所需类型的模拟滤波器。(AAC)(2)通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为所需类型的DF。(ADC)第59页/共81页图图 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法2.一步法直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，一步完成各类型数字滤波器的设计模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻第60页/共81页3.3.1 低通变换低通变换1.确定数字滤波器的指标确定各临界频率k2.指标转换将DF的性能要求转换为与之相对应的AF的性能要求由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值k。第61页/共81页
22、3.设计模拟滤波器根据k设计模拟滤波器的Ha(s)用查表的方法用解析的方法4.滤波器数字化将AF的Ha(s)数字化为所需的DF的H(z)通过脉冲响应不变法/双线性变换法第62页/共81页 1)脉冲响应不变法脉冲响应不变法例3T=250s(fs=4kHz)，设计一个三阶Butterworth滤波器，其3dB截止频率为fc=1kHz。解：脉冲响应不变法的频率关系是线性的，所以可直接按c=2fc设计Ha(s)。以截止频率c归一化传递函数为：第63页/共81页然后以s/c代替其归一化频率，得 o将c=2fc代入，就完成了三阶模拟滤波器的计算。o具体数值应该放在完成了DF的变换后一次代入，以简化运算。第
23、64页/共81页将Ha(S)上式写成部分分式结构：第65页/共81页把代入，得：合并上式后两项，并将代入第66页/共81页H(z)与采样周期与采样周期T有关有关越小，H(z)的相对增益越大。在实际应用脉冲响应不变法时稍微作一点修正在求得了H(z)以后，再乘以一因子T使得H(z)只与fc/fs有关，而与fs没有直接的关系fs=4kHz，fc=1kHz与 fs=40kHz，fc=10kHz的数字滤波器将具有同一个传递函数。第67页/共81页 2)双线性变换法双线性变换法例4设计指标与上题相同，fs=4kHz，fc=1kHz，试设计一三阶巴特沃兹低通滤波器。解1.确定数字截止频率c=2fc2.用c=
24、(2/T)tg(c/2)确定预畸变的滤波器临界频率c=(2/T)tg(0.25)=2/T3.归一化的三阶巴特沃模拟滤波器传递函数4.代入c=2/T,得 第68页/共81页5.将双线性变换关系代入，得DF的传递函数第69页/共81页第70页/共81页注意:模拟滤波器Ha(s)的通带截止频率已不是DF所要模仿的截止频率fc=1kHz。两种设计方法所得到的频响的比较：双线性变换法:z=-1即=处有一个三阶传输零点,正是模拟滤波器在=处的三阶传输零点通过映射形成的。脉冲响应不变法:混叠效应使得过渡带和阻带的衰减特性变差，并且不存在传输零点。第71页/共81页图图3.12 两种设计方法所得到的频响的比较
25、两种设计方法所得到的频响的比较脉冲响应不变法双线性变换法第72页/共81页3.3.2 高通变换高通变换由模拟低通滤波器至高通滤波器的变换就是s变量的倒量变换。将双线性变换中的s用其倒数1/s代替，就可以得到数字高通滤波器，即第73页/共81页倒量变换没有改变模拟滤波器的稳定条件倒量变换没有改变模拟滤波器的稳定条件也不会影响双线性变换后的稳定条件。令s=j,z=ej，则=(-T/2)ctg(/2)或|=(T/2)ctg(/2)例5设计一数字高通滤波器，它的通带为400500Hz，容许有的波动阻带内衰减在317Hz的频带内至少为19dB采样频率为1000Hz。第74页/共81页|=(T/2)ctg
26、(/2)第75页/共81页解利用切比雪夫滤波器，预畸变的模拟截止频率等于cs为模拟低通滤波器的阻带边界频率。s将c与s以及s均对(T/2)归一化，得第76页/共81页=c=s/(T/2)=0.64982确定模拟Chebyshev滤波器的另两个参数：对应于的波动，即=1/2,2。求得最小的滤波器阶数N=3。根据这些参数，可以查表/计算获得传递函数为第77页/共81页三阶切比雪夫高通频响q模拟滤波器在=处的三阶传输零 点 通 过 高 通 变 换 后 出 现 在=0(z=1)处q高通滤波器所希望得到的。第78页/共81页数字低通数字低通数字低通数字低通Hp(ej)和H(ej)都是低通函数截止频率不相同当由变到时，相应也应由变到全通函数的阶数应为=1 式中以满足G(1)=1,G(-1)=-1的变换关系，且需。第79页/共81页代入u=ej，z=ej，则得频率间关系为第80页/共81页感谢您的观看！第81页/共81页