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1、会计学1无限长单位无限长单位(dnwi)脉冲响应脉冲响应IIR滤波器设计滤波器设计第一页，共125页。数字滤波器的设计数字滤波器的设计(shj)原理原理 数字滤波器一般是一个线性移不变系统。完全实现一个理想的频率特性在理论上是可以做到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤波器也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通常是频率特性指标。在误差范围内，往往有多个H(z)或h(n)满足(mnz)指标。因此，设计出的H(z)或h(n)不是唯一的。第1页/共125页第二页，共125页。11-12c0r通带过渡带阻带第2页/共125页第三页，共125页。通常以频率特性允许的误差来表示。频率响应(xing
2、yng)通常分为通带、过渡带、阻带三部分。在通带内，幅度响应(xingyng)以误差 逼近1，即在阻带内，幅度响应(xingyng)以误差逼近0，即中间(zhngjin)为过渡带，在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。第3页/共125页第四页，共125页。设有用信号为低频信号，干扰信号为高频设有用信号为低频信号，干扰信号为高频设有用信号为低频信号，干扰信号为高频设有用信号为低频信号，干扰信号为高频(o pn)(o pn)(o pn)(o pn)信号，用低通滤波器可以过信号，用低通滤波器可以过信号，用低通滤波器可以过信号，用低通滤波器可以过滤掉干扰信号，保留有用的的低频信号。滤掉干扰信号，
3、保留有用的的低频信号。滤掉干扰信号，保留有用的的低频信号。滤掉干扰信号，保留有用的的低频信号。设输入(shr)为一个低频正弦波与一个高频正弦波叠加而成。左边为时域波形(bxn)，右边为它的频谱。滤波前：滤波后：第4页/共125页第五页，共125页。数字滤波器的数学描述：1)差分(chfn)方程2)系统(xtng)函数第5页/共125页第六页，共125页。分类分类(fn li):递归系统递归系统 IIR(无线脉冲响应数字滤波器无线脉冲响应数字滤波器)非递归系统非递归系统 FIR(有限脉冲响应数字滤波器有限脉冲响应数字滤波器)高通高通 低通低通 带通带通 带阻带阻第6页/共125页第七页，共125
4、页。第7页/共125页第八页，共125页。确定系数、或零极点、，以使滤波器满足给定的性能要求第四章、五章讨论3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等;选择合适(hsh)的字长和有效数字的处理方法等(第六章)。数字滤波器的设计步骤：1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。2）用一个因果(yngu)稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求，即求h(n)的表达式。第8页/共125页第九页，共125页。设计(shj)方法：1）先设计(shj)一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综
5、合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计(shj)公式，设计(shj)起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计(shj)数字滤波器的工具。第9页/共125页第十页，共125页。2）最优化设计方法分两步：a)确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际(shj)频率响应的幅度特性（与所要求的理想频率响应的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，b)在此最佳准则下，求滤波(lb)的系数和通过不断地迭代运算，改变、，直到满足要求为止。第10页/共125页第十一页，共125页。以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如
6、作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿(mfng)”模拟滤波器。在 IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。第11页/共125页第十二页，共125页。4.2 4.2 4.2 4.2 常用常用常用常用(chn yn)(chn yn)(chn yn)(chn yn)模拟低通滤波模拟低通滤波模拟低通滤波模拟低通滤波器特性器特性器特性器特性 为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法，高通、带通、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由低通滤波器变换得到。模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系
7、统函数Ha(s)，使其逼近某个理想(lxing)滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。不难看出第12页/共125页第十三页，共125页。定义振幅平方函数式中Ha(s)模拟滤波器系统(xtng)函数Ha(j)滤波器的频率响应|Ha(j)|滤波器的幅频响应又S=j，2=-S2A(2)=A(-S2)|S=j第13页/共125页第十四页，共125页。问题：由A(-S2)Ha(S)对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(
8、s)的极、零点，则可得到(d do)Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。第14页/共125页第十五页，共125页。N为滤波器阶数，如图1其幅度平方(pngfng)函数：特点(tdin)：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f，幅频特性单调。三种模拟(mn)低通滤波器的设计：1）巴特沃兹滤波器(Butterworth滤波器)(巴特沃兹逼近)第15页/共125页第十六页，共125页。图1巴特沃兹滤波器振幅平方(pngfng)函数第16页/共125页第十七页，共125页。通带:使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带
9、：通带到阻带间过渡的频率范围c：通带边界频率。过渡带为零，阻带|H(j)|=0通带内幅度(fd)|H(j)|=const.，H(j)的相位是线性的。理想(lxing)滤波器第17页/共125页第十八页，共125页。图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母(fnm)/c1，(/c)2N 1,增加，A(2)快速减小。=c,，,幅度衰减 ，相当于3dB衰减点。第18页/共125页第十九页，共125页。振幅平方函数的极点：令分母为零，得 可见，Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀(jnyn)对称地分布在|S|=c的圆周上。例：为N=3阶BF振幅平方
10、函数的极点分布，如图。第19页/共125页第二十页，共125页。图2三阶(snji)A(-S2)的极点分布第20页/共125页第二十一页，共125页。考虑到系统的稳定性，知 DF的系统函数是由 S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别(fnbi)为：系统函数为：令，得归一化的三阶 BF：如果要还原的话，则有第21页/共125页第二十二页，共125页。2）切比雪夫（chebyshev）滤波器(切比雪夫多项式逼近)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果(rgu)阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减
11、足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。第22页/共125页第二十三页，共125页。振幅平方(pngfng)函数为有效(yuxio)通带截止频率与通带波纹有关的参量，大，波纹大。01VN（x）N阶切比雪夫多项式，定义为第23页/共125页第二十四页，共125页。如图1,通带内变化范围1c，随/c，0(迅速趋于零)当=0时，N为偶数(ush)，min，N为奇数，max，第24页/共125页第
12、二十五页，共125页。切比雪夫滤波器的振幅(zhnf)平方特性 第25页/共125页第二十六页，共125页。给定(idn)通带波纹值分贝数后，可求。有关参数的确定:a、通带截止频率c，预先给定(idn)b、通带波纹为第26页/共125页第二十七页，共125页。c、阶数N由阻带(zdi)的边界条件确定。（、A事先给定）第27页/共125页第二十八页，共125页。3、椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得(hud)较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为RN（，L）雅可比椭圆函数L表示波
13、纹性质的参量第28页/共125页第二十九页，共125页。N=5，的特性(txng)曲线可见，在归一化通带内（-11），在（0，1）间振荡，而超过L后，在间振荡。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。第29页/共125页第三十页，共125页。下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数(hnsh)椭圆滤波器的振幅平方函数(hnsh)图中和A的定义同切比雪夫滤波器rr第30页/共125页第三十一页，共125页。当c、r、和A确定(qudng)后，阶次N的确定(qudng)方法为：式中为第一类完全(wnqun)椭圆积分第31页/共125页第三十二页，共125页。上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的
14、特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。以 上(yshng)讨 论 了 由A（2）Ha(s),下面讨论由Ha(s)H(Z)的变换设计法。第32页/共125页第三十三页，共125页。4.3 4.3 根据模拟根据模拟根据模拟根据模拟(mn(mn)滤波器设计滤波器设计滤波器设计滤波器设计IIRIIR滤波器滤波器滤波器滤波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个(lin)基本原则：1
15、）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。2）Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面ReS0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|HP。第110页/共125页第一百一十一页，共125页。b.高通变换(binhun)或LP-HP变换(binhun)把如图2（a），在上述LP-LP变换(binhun)中，将Z代以Z,得LP-HP变换(binhun)关系：第111页/共125页第一百一十二页，共125页。原型低通的截止频率对应于高通的边界频率，欲将变换到，由（2）式，有：（2）式的频率关系(gunx)，如图2(b)中的曲线（实线）第112
16、页/共125页第一百一十三页，共125页。LP-Hp LP-Hp变换变换变换变换(binhun)(binhun)图2(a)LPHp变换(binhun)第113页/共125页第一百一十四页，共125页。LP-BPLP-BP变换把带通的中心(zhngxn)频率故N=2。由以上分析得变换关系：或如图3(a),全通函数(hnsh)取负号。第114页/共125页第一百一十五页，共125页。LP-BPLP-BP变换变换变换变换(binhun)(binhun)图3(a)LP-BP变换(binhun)第115页/共125页第一百一十六页，共125页。把变换(binhun)关系 代入（2）式得：消去 r1，得：
17、令确定(qudng)r1,r2：第116页/共125页第一百一十七页，共125页。可证明，其中r1,r2代入（2）式，则可确定(qudng)频率变换关系，如图 3（b）。第117页/共125页第一百一十八页，共125页。LP-BPLP-BP频率频率频率频率(pnl(pnl)关系关系关系关系 第118页/共125页第一百一十九页，共125页。LPBS如图4(a),LPBS变换把带阻的中心频率的变化范围为,故N=2又g(1)=1,所以，全通函数取正号。由以上分析(fnx)得变换关系：（1）或（2）第119页/共125页第一百二十页，共125页。LP-BSLP-BS变换变换变换变换(binhun)(
18、binhun)图4(a)LP-BS变换(binhun)第120页/共125页第一百二十一页，共125页。确定r1,r2：把变换关系代入（2）式得：其中，r1,r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面(qinmian)的分析相吻合。第121页/共125页第一百二十二页，共125页。LP-B SLP-B S频率变换频率变换频率变换频率变换(binhun)(binhun)关系关系关系关系第122页/共125页第一百二十三页，共125页。LP-BS LP-BS变换的又一种实现方法变换的又一种实现方法:由由低低通通到到带带阻阻的的变变换换同同样样可可以以通通过过旋旋转转变变换换来来完完成成,但但变变换换的的次次序序与与模模拟拟(mn(mn)低低通通到到数数字字带带阻阻的的次次序序不不同同,是是先先由由低低通通到到高高通通(低低阻阻),),再再利利用用3.4.33.4.3的方式由低阻到带阻的方式由低阻到带阻,即即 其其中中 的的求求取取可可利利用用低低通通到到高高通通公公式式,可可利利用用低低通通到到带带通通公公式式求求,最后可求得最后可求得 ,如书中表格内表达式。如书中表格内表达式。低通第123页/共125页第一百二十四页，共125页。第124页/共125页第一百二十五页，共125页。