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1、1一、方差的定义和计算1.定义 对r.v X，若 存在,则称D(X)为r.r.v X的方差。Variance【说明说明】3实际背景实际背景数学期望数学期望r.v的平均值的平均值方差方差r.v与平均值的平均偏离程度与平均值的平均偏离程度第2页/共31页第1页/共31页2第3页/共31页第2页/共31页3【例】设有两种牌号的手表，其走时误差情况如下表试问哪种牌号的手表质量较好？概率(牌号甲)概率(牌号乙)日误差(秒)【解】设两种手表的走时误差分别为 则第4页/共31页第3页/共31页4【例】设r.v r.v XN（，2），求D(X)【解】由上节计算得E(X)，又第5页/共31页第4页/共31页5【
2、例】设r.v r.v X（），求D(X)【解】由上节计算得E(X)，又【练】设r.v r.v XU（a,b），求D(X)【解】由上节计算得E(X)，又所以【例】设r.v r.v XE（），求D(X)【练】设r.v r.v Xb（1,p），求D(X)第6页/共31页第5页/共31页6证证二、方差的性质1.D(c)=0，（，（c为常数）为常数）;2.D(cX)=c 2 D(X)，（，（c为常数）为常数）;3.对于对于r.vX，Y，有，有特别当特别当X，Y相互独立时有：相互独立时有：独立独立若独立,则4.(常数常数)问题问题 若若X，Y相互独立，是否有相互独立，是否有第7页/共31页第6页/共31页
3、7【例】设r.v r.v Xb（n，p），求D(X)【解】因为二项分布来自n 重伯努利试验,故有其中第 次伯努利试验事件 发生第 次伯努利试验事件 发生独立同分布,所以又则则 Xib(1,p)第8页/共31页第7页/共31页8三、重要随机变量的期望和方差离散型离散型Xb(1,p)Xb(n,p)X()期望期望pn p方差方差p(1p)n p(1p)连续型连续型XU(a,b)XE()XN(，2)期望期望(a+b)/2方差方差(ab)2/1222第9页/共31页第8页/共31页9补充说明补充说明1.标准化随机变量标准化随机变量 一般地，若一般地，若r.vX的期望和方差存在，的期望和方差存在，且且D(
4、X)0，则称，则称为为X的标准化随机变量。的标准化随机变量。例如：若例如：若 则则易得：易得：E(Y)0，D(Y)12.相互独立相互独立r.v的线性组合的期望和方差的线性组合的期望和方差 特别地，若相互独立,且 则对于不全为零的常数 有第10页/共31页第9页/共31页10课堂练习课堂练习1.已知离散型已知离散型r.v X服从参数为服从参数为2的泊松的泊松分布，则随机变分布，则随机变 量量 Z=3X-2的数学期望的数学期望E(Z)=.E(X)=,D(X)=.2.设设r.v X 的密度函数为的密度函数为 ，则，则3.r.v X,Y独立独立,D(X)=6,D(Y)=3,则则D(2X-Y)=.4.X
5、N(3,1),YN(2,4),X,Y独立独立,则则X-2Y+1 .5.XE(2),YN(-2,4),X,Y独立独立,Z=X-Y,则则E(Z)=,E(Z 2)=.411/227N(0,17)422第11页/共31页第10页/共31页11四、切比雪夫不等式定理定理 设设r.v X具有数学期望具有数学期望E(X)，方差，方差D(X)2，则，则对于任意的正数对于任意的正数，不等式，不等式 成立。成立。证明证明 就连续型就连续型r.v的情况来证明。设的情况来证明。设X的概率密度为的概率密度为f(x)，则则xyO+-f(x)又又所以所以即即切比雪夫不等式切比雪夫不等式第12页/共31页第11页/共31页1
6、2end第13页/共31页第12页/共31页13【例例】已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X的平均值为的平均值为1 1元，元，标准差为标准差为0.10.1元，为使股价超过元，为使股价超过1+1+a元或低于元或低于1-1-a元元的概率小于的概率小于10%10%，用切比雪夫不等式求，用切比雪夫不等式求a.【解解】由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式令令亦即：估价在亦即：估价在0.680.68到到1.321.32之间的概率为之间的概率为90%90%第14页/共31页第13页/共31页C4-3C4-3协方差和相关系数协方差和相关系数第15页/共31页第14页/共31页15一、协方差的定义及其性质讨论
7、讨论 r.v X，Y之间的关系之间的关系故若设,则 相互独立若不独立,如何刻画它们之间的关系 相互独立,则若必不独立,它们之间必存在一定关系则的方差均存在,记若的协方差称为问题问题分析分析定义定义第16页/共31页第15页/共31页16性质1.2.3.4.5.6.7.相互独立若对任意常数有常用来计算协方差相互不独立的r.v的和的方差计算公式第17页/共31页第16页/共31页17二、相关系数回顾 协方差的意义相互独立必不独立之间必存在某种“关系”问题 这种“关系”到底是什么关系？又定义称为X,Y的相关系数考虑“标准化”的r.vr.v从直观上看kX,kY之间的关系与X,Y之间的关系应无本质差异,
8、但它们的协方差相差了k2倍 用标准化的r.vr.v的协方差来度量这种关系Cov(X,Y)的大小是否反映这种“关系”的密切程度?第18页/共31页第17页/共31页18问题 相关系数XY刻画了X，Y之间的什么关系？分析分析记均方误差考虑X,Y之间的线性关系,以近似地表示为常数令解得即有第19页/共31页第18页/共31页19第20页/共31页第19页/共31页20定理定理 的充要条件是存在常数的充要条件是存在常数a,b使得使得 定义定义相关正相关当时,称 与负相关当时,称 与不相关当时,称 与第21页/共31页第20页/共31页21相关系数大于0(正弱相关)的图形第22页/共31页第21页/共3
9、1页22正相关的图形（）第23页/共31页第22页/共31页23相关系数小于(负弱相关)的图形第24页/共31页第23页/共31页24负相关的图形()第25页/共31页第24页/共31页25独立和不相关的关系X,Y 相互独立相互独立X,Y 互不相关互不相关指指X,Y之间没有之间没有任何关系任何关系,当然当然也没有线性关系也没有线性关系指指X,Y之间没有之间没有线性关系线性关系,但可能但可能有其它关系有其它关系特例相互独立互不相关设则第26页/共31页第25页/共31页26不相关的两种情况图形第27页/共31页第26页/共31页27【例】【解】又因为设服从圆域上的均匀分布,试讨论的独立性与相关性.先求得的密度函数分别为不独立故不相关第28页/共31页第27页/共31页28作业:(p140)14,15(1),21,23,27,28，31,32预习:c44,复习全章（下次课是习题课）第29页/共31页第28页/共31页29【选做题】（2002考研数学一）第30页/共31页第29页/共31页30第31页/共31页第30页/共31页31感谢您的观赏！第31页/共31页