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1、考点梳理考点梳理(1)公式法公式法直接利用等差数列、等比数列的前直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和项和公式求和等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：1公式法与分组求和法第1页/共39页(2)分组求和法分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减别求和后相加减(1)倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列an的前的前n项中首末两端等项中首末两端等“距离距离”的两项的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前
2、的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项项和可用倒序相加法，如等差数列的前和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用项和公式即是用此法推导的此法推导的2倒序相加法与并项求和法第2页/共39页(2)并项求和法并项求和法在一个数列的前在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和并项求和形如形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解类型，可采用两项合并求解例如，例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一
3、些项把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和可以相互抵消，从而求得其和3裂项相消法第3页/共39页如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可项和即可用此法来求，如等比数列的前用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推项和公式就是用此法推导的导的4错位相减法第4页/共39页一种思路一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或
4、具备然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和两点提醒两点提醒在利用裂项相消法求和时应注意：在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项或有时前面剩下两项，后面也剩下两项【助学微博】第5页/共39页第6页/共39页A9 B99 C10 D100考点自测考点自测答案B第7页/共39页A110
5、B90 C90 D1102(2011天津)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为 ()答案D第8页/共39页A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn23(2013泉州月考)若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为 ()答案C第9页/共39页答案答案A第10页/共39页第11页/共39页第12页/共39页【例例1】(2011山东山东)在等比数列在等比数列an中，中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表
6、中的同一列中的任何两个数不在下表中的同一列.考向一分组转化求和考向一分组转化求和第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行3210第二行第二行6414第三行第三行9818第13页/共39页(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn满足：满足：bnan(1)nln an，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.审题视点审题视点(1)观察法；观察法；(2)合理分组利用求和公式求解，合理分组利用求和公式求解，同时注意对同时注意对n的奇偶性讨论的奇偶性讨论解解(1)当当a13时，不合题意；时，不合题意；当当a12时，当且仅当时，当且仅当a26，a318时，符合题意；时
7、，符合题意；当当a110时，不合题意时，不合题意因此因此a12，a26，a318，所以公比，所以公比q3，故故an23n1.第14页/共39页(2)因为因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当所以当n为偶数时，为偶数时，第15页/共39页第16页/共39页 某些数列的求和是将数列分解转化为某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的若干个可求和的新数列
8、的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化，特别注意在含有字母的将数列的通项合理分解转化，特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论数列中对字母的讨论第17页/共39页解解若若a1，则，则an111n，【训练1】求数列1,1a,1aa2，1aa2an1的前n项和Sn.第18页/共39页【例例2】考向二裂项相消法求和考向二裂项相消法求和第19页/共39页第20页/共39页第21页/共39页 使用裂项相消法求和时，要注意正负使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写项
9、相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的质上造成正负相消是此法的根源与目的第22页/共39页(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；第23页/共39页第24页/共39页第25页/共39页(1)确定常数确定常数k，并求，并求an；考向三错位相减法求和考向三错位相减法求和第26页/共39页第27页/共39页 (1)一般地，如果数列一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，求数列是等比数列，求数列anbn的前的前n项和时，可采用项和时，可采用错位相
10、减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解的公比，然后作差求解(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式第28页/共39页(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；【训练3】已知等差数列an满足a20，a6a810.第29页/共39页第30页/共39页第31页/共39页【命题研究命题研究】通过近三年的高考试题分析，对数列求通过近三年的高考试题分析，对数列求和的考查是高考命题的重点，常与求数列的
11、通项一和的考查是高考命题的重点，常与求数列的通项一起考查，多以解答题的形式出现，难度为中等偏上起考查，多以解答题的形式出现，难度为中等偏上【真题探究真题探究】(本小题满分本小题满分13分分)(2012湖北湖北)已知等已知等差数列差数列an前三项的和为前三项的和为3，前三项的积为，前三项的积为8.(1)求等差数列求等差数列an的通项公式；的通项公式；(2)若若a2，a3，a1成等比数列，求数列成等比数列，求数列|an|的前的前n项项和和规范解答规范解答10求数列求数列|an|的前的前n项和问题项和问题第32页/共39页教你审题教你审题 第第1步步 列方程组求列方程组求a1，d；第第2步步 令令a
12、n0确定正、负项；确定正、负项；第第3步步 分类讨论求和分类讨论求和规范解答规范解答(1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，则则a2a1d，a3a12d，第33页/共39页第34页/共39页阅卷老师手记阅卷老师手记 求有关数列求有关数列|an|的前的前n项和的问题，项和的问题，考生经常出现因解题思路不清晰导致出错，如：考生经常出现因解题思路不清晰导致出错，如：(1)未未想到分类讨论解题；想到分类讨论解题；(2)讨论过程中，对讨论过程中，对ai0(ai0)分别求和时出错分别求和时出错第35页/共39页求数列求数列|an|的前的前n项和一般步骤如下：项和一般步骤如下：第一步第一步：求数列
13、：求数列an的前的前n项和；项和；第二步第二步：令：令an0(或或an0)确定分类标准；确定分类标准；第三步第三步：分两类分别求前：分两类分别求前n项和；项和；第四步第四步：用分段函数形式下结论；：用分段函数形式下结论；第五步第五步：反思回顾：查看：反思回顾：查看|an|的前的前n项和与项和与an的前的前n项和的关系，以防求错结果项和的关系，以防求错结果第36页/共39页(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bnlog2an，求数列，求数列|bn|的前的前n项和项和Sn.【试一试】在等比数列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a3a52a4a6a3a9100，又4是a4与a6的等比中项第37页/共39页第38页/共39页