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1、数列求和的几种数列求和的几种(j zhn)方法的方法的第一页，共20页。四四、裂裂项项求求和和(qi(qi h)h)法法二、倒序二、倒序(do x)相加法相加法 三、错位三、错位(cu wi)(cu wi)相减法相减法五、分组求和法五、分组求和法一、直接求和法一、直接求和法第1页/共20页第二页，共20页。1 等差数列等差数列(dn ch sh li)求和公式：求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2)Sn=na1+n(n-1)d/22 等比数列求和等比数列求和(qi h)公式：公式：(1)Sn=1-qa1(1-qn)q1 q1(2)Sn=1-qa1-anq 当当q=1时时,Sn=na1
2、第2页/共20页第三页，共20页。练习练习(linx):求和求和1.1+2+3+n+（n+1n+1）答案答案(d n):Sn=（n+2)(n+1)/22.2+4+8+2n 答案答案(d n):Sn=2n+1-2方法一：方法一：直接求和法（公式法）直接求和法（公式法）第3页/共20页第四页，共20页。二、倒序二、倒序(do x)相加法相加法如果一个数列如果一个数列(shli)an(shli)an，与首末两项等距的两项之和等与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列相加，就得到一个常数列(
3、shli)(shli)的和，这一求和的方的和，这一求和的方法称为倒序相加法法称为倒序相加法.第4页/共20页第五页，共20页。三、错位三、错位(cu wi)(cu wi)相减法：相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和(qi h)(qi h)可采用错位相减法可采用错位相减法.第5页/共20页第六页，共20页。例例1 求数列求数列(shli)x,2x2,3x3,nxn，的前的前n项和。项和。解：解：当当x=0时时 Sn=0当当x=1时时 Sn=1+2+3+n=n(n+1)/2当当x1时
4、时 Sn=x+2x2+3x3+nxn xSn=x2+2x3+3x4+(n-1)xn+nxn+1 得：得：(1-x)Sn=x+x2+x3+xn-nxn+1 化简得：化简得：Sn=x(1-xn)/(1-x)2-nxn+1/(1-x)第6页/共20页第七页，共20页。0 (x=0)综合综合(zngh)得得 Sn=n(n+1)/2 (x=1)x(1-xn)/(1-x)2-nxn+1/(1-x)(x1）第7页/共20页第八页，共20页。小结小结(xioji)1:“错位相减法错位相减法(jinf)”求和求和,常应用于常应用于通项型如通项型如anbn的数列求和的数列求和,其中其中an为等差数列为等差数列,b
5、n 为等比数列为等比数列.第8页/共20页第九页，共20页。练习练习(linx)1求和求和(qi h):1/2+2/4+3/8+n/2n 方法方法(fngf):可以将等式两边同时乘以可以将等式两边同时乘以2或或1/2,然后利用然后利用“错位相减法错位相减法”求和求和.第9页/共20页第十页，共20页。四四、裂裂项项求求和和(qi(qi h)h)法：法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾(shuwi)(shu
6、wi)若若干干少少数数项项之之和和，这这一一求求和和方法称方法称 为裂向求和法为裂向求和法.第10页/共20页第十一页，共20页。例例2：求和：求和(qi h)解：解：数列数列(shli)的通项的通项公式为公式为第11页/共20页第十二页，共20页。小结小结2：本题利用的是本题利用的是“裂项法裂项法”，此法常此法常用于形如用于形如1/f(n)g(n)的数列求和，的数列求和，其中其中f(n),g(n)是关于是关于n（nN)的一次的一次函数。函数。把数列中的每一项都拆成两项的把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。最后剩下有限的几
7、项。方法：方法：对裂项公式的分析，通俗地对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？说，裂项，裂什麽？此方法应注此方法应注意：意：裂通项裂通项第12页/共20页第十三页，共20页。第13页/共20页第十四页，共20页。五五、分分 组组 求求 和和(qi(qi h)h)法：法：求求和和方方法法称称为为分分组组求求和和法法把把数数列列的的每每一一项项分分成成两两项项，或或把把数数列列的的项项“集集”在在一一块块(y(y kui)kui)重重新新组组合合，或或把把整整个个数数列列分分成成两两部部分分，使使其其转转化化为为等等差差或或等等比比数数列列，这这一方法叫分组求和法。一方法叫分组求和法。第14页
8、/共20页第十五页，共20页。例例 3：求和：求和(qi h)解：解：第15页/共20页第十六页，共20页。小结小结(xioji)3：本题本题(bnt)利用的是利用的是“分组求和法分组求和法”方法方法(fngf)：把数列的通项分解成几项，从而把数列的通项分解成几项，从而出现出现几个等差数列或等比数列，几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。再根据公式进行求和。第16页/共20页第十七页，共20页。练练习习(linx)3：若若数数列列an中中，an=-2 n-(-1)n，求，求S10和和S99 分析：利用分析：利用(lyng)分组分组求和法求和法第17页/共20页第十八页，共20页。总结总结
9、(zngji)：直接求和直接求和(qi h)（公（公式法）式法）等差、或等比数列用求和等差、或等比数列用求和公式，常数列直接公式，常数列直接(zhji)运算。运算。倒序相加法倒序相加法类比等差数列的求和方法。类比等差数列的求和方法。错位相减法错位相减法数列数列 anbn的求和，其中的求和，其中an是是等差数列，等差数列，bn是等比数列。是等比数列。裂项法裂项法分组求和法分组求和法把通项分解成几项，从而出现几把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和，个等差数列或等比数列进行求和，如如an+bn。常见求和方法常见求和方法适用范围及方法适用范围及方法数列数列1/f(n)g(n)的求和，其中的求和，其中 f(n),g(n)是关于是关于n的一次函数。的一次函数。第18页/共20页第十九页，共20页。课外作业：基础训练 等比数列(dn b sh li)的前n项和第19页/共20页第二十页，共20页。