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1、稳定性分析-第1页，本讲稿共26页Lyapunov稳定性定义稳定性定义系统状态的运动及平衡状态系统状态的运动及平衡状态稳定性的定义稳定性的定义Lyapunov第一法第一法Lyapunov第二法第三章 控制系统的稳定性分析2第2页，本讲稿共26页对非线性系统：一般有多个平衡点1 系统稳定性概述一、稳定性的基本概念1.平衡状态：设 为方程的解，如果存在 ，对所有的t使得 成立，称状态 为上述系统的平衡状态。对 若A非奇异，唯一的平衡点 （线性定常系统）若A奇异，平衡点,非唯一第3页，本讲稿共26页有则称 是Lyapunov意义下的稳定。如果系统的初始状态在 内，任意时刻状态 都在 内，即 2.稳定
2、的概念 以平衡点 为球心，取 和 为半径，在n维状态空间作出两个球域：任意取的正数（可以任意小）：是 取定后看能否找到的（1）Lyapunov意义下的稳定其中第4页，本讲稿共26页一般应与 有关。如 与 无关，称为是一致稳定。定常系统是一致稳定的。第5页，本讲稿共26页若 且 与 无关，则为全局一致渐近稳定。若 ，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大，（状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中 只能有一个平衡点。不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且则 为渐近稳定。若 与 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定。（2）渐近稳定第6页，本讲稿共26页 线性系统若是渐近稳
3、定，必为全局渐近稳定。非线性系统一般只能是小范围渐近稳定。第7页，本讲稿共26页（3）不稳定则平衡点 是不稳定的。无论 取得多小，从球域 出发的运动轨迹都会越出球域 ，第8页，本讲稿共26页单摆是渐近稳定的例子。第9页，本讲稿共26页 从上述定义看出，球域 限制着初始状态 的取值，球域 规定了系统自由响应 的边界。如果 为有界，则称 稳定。如果 不仅有界而且有 ，收敛于原点，则称 渐近稳定。第10页，本讲稿共26页2 Lyapunov第一法 基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。1.对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定判断。2.对于非线性不很严重的系统，则可以通过线性
4、化处理，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。2.1 线性系统的稳定判据线性定常系统 ，平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。第11页，本讲稿共26页线性定常系统 ,输出稳定的充要条件是其传递函数:的极点全部位于s的左半平面。例题4-1 设系统的状态方程为解 （1）有A阵的特征方程：系统的状态不是渐近稳定的。第12页，本讲稿共26页（2）由系统的传递函数传递函数s=-1位于s的左半平面，故系统输出稳定。第13页，本讲稿共26页2.2 非线性系统的稳定性设系统的状态方程为 ，平衡状态 ；为与x同维的矢量函数
5、，且对x具有联系的偏导数。为讨论系统在 处的稳定性，可以将非线性矢量函数 在 领域内展开成泰勒级数，有：第14页，本讲稿共26页在线性化的基础上，1）如果系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态 是渐近稳定的，而与R(x)无关。2）如果A的特征值至少有一个具有正实部，在原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。3)如果A的特征值至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，原非线性系统的平衡位置 的稳定性不能由A的特征值符号来确定，将取决于高价导数项R(x)第15页，本讲稿共26页例4-2 设系统状态方程为：第16页，本讲稿共26页第17页，本讲稿共26页2 Lyapunov第二法Ly
6、apunov第二法（间接法）。基本思路是从能量的观点进行稳定性分析，如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移而逐渐衰减，到达平衡状态时，能量达到最小值，那么这个平衡状态就是渐近稳定的。由于系统的复杂性和多样性，不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，Lyapunov定义了一个正定的标量函数V(x),作为虚构的广义能量函数，然后根据标量函数的导数的符号特征来判别系统的稳定性。第18页，本讲稿共26页二、函数的定号性 正定：仅当 时，有 时，负定：仅当 时，有 时，正半定：时，不定：时，可正可负。负半定：时，二次型函数：为实对称矩阵，是 的权矩阵函数 的定号性：其定号性与它的权矩阵
7、P的定号性是一致的。第19页，本讲稿共26页而P的定号性由Sylvester准则确定:P为正定的充要条件为：P的各阶主子式大于0，即：P为负定的充要条件为：P的各阶主子式负、正相间，第20页，本讲稿共26页 P为正半定的充要条件为：P的各阶主子式为正或零，即 P为负半定的充要条件为：P的各阶主子式满足负定的条件，但其中可以有等于0的。第21页，本讲稿共26页 线性系统：通常可取二次型函数 为Lyapunov函数。2.Lyapunov稳定性定理（Lyapunov第二法、直接法）一、Lyapunov函数 二、Lyapunov稳定性定理 设系统 ，假设 为它的一个平衡状态；如果标量函数 在一个邻域内
8、存在连续一阶偏导数。定理1：若 正定，负定，则原点是渐近稳定的。定理2：若 正定，负半定，在 时 不恒为零，则原点是渐近稳定的。定理3：若 正定，负半定，在 时 能恒为零，则原点是Lyapunov意义下的稳定。能量函数（标量函数）第22页，本讲稿共26页定理4：若 正定，正定，则原点是不稳定的.推论1：若 正定，正半定，在 时不恒为零，则原点是不稳定的。推论2：若 正定，正半定，在 时能恒为零，则原点是Lyapunov意义下的稳定。第23页，本讲稿共26页Lyapunov函数的选取不是唯一的第24页，本讲稿共26页 为负半定，由上述定理，应考察 时 是否恒为0的情况：可见只有平衡状态 时 ，符合定理2，为渐近稳定。第25页，本讲稿共26页（3）选负定，为渐近稳定。Lyapunov第二法给出了研究系统在平衡点稳定的充分条件，但不是必要条件。如未考虑 衰减振荡的情况等。所以，不能根据没有找到符合上面定理的 得出系统在平衡点不稳定的结论，也不能根据 为不定得出系统在平衡点不稳定的结论。第26页，本讲稿共26页