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1、立体几何中-向量法求空间角.空间的角：空间的角：空间的角常见的有：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条相空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求时，就主要求 范围内范围内 的角；的角；斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是面内这些特殊情况，线面角的范围也是 ；两个平面所成的角是用二面角的平面角来
2、两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是度量。它的范围是 。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。(0,2p p异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围：思考：思考：结论：结论：一、线线角：一、线线角：直线与平面所成角的范围：思考：思考：结论：结论：二、线面角：二、线面角：ll三、面面角：三、面面角：二面角的范围：法向量法法向量法注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向
3、量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角例例1 如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离。的距离。解：（解：（I）提示）提示;数量积为零数量积为零 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直所以异面直线线AB与与CD所成角的所成角的余弦余弦值为值为（III）解：）解：设设平面平面ACD的法向量的法向量为
4、为则则令令得得是平面是平面ACD的一个法向量，又的一个法向量，又所以点所以点E到平面到平面ACD的距离的距离例例2、如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的中点。中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切
5、值。ABCDPEGxyz所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为 方向朝面内，方向朝面内，方向朝面方向朝面外，属于外，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值 (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (3)二面角二面角BASO的余弦值的
6、余弦值OABCSxyz【测试】【测试】OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值 OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为OABCSxyz所以二面角所以二面角BASO的余弦值
7、为的余弦值为1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值一一.求点到平面的距离求点到平面的距离APO例例1 1、已知正方体、已知正方体ABCDABCD的边长为的边长为4 4，CGCG面面ABCDABCD，CGCG2 2，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，的中点，求点求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。ABCDGEFyxzH HO OP P二二.直线到平面的距离直线到平面的距离A AB BC Ca a例例2 2、如图，已
8、知边长为的、如图，已知边长为的4 422正三角形正三角形ABCABC中，中，E E、F F分别为分别为BCBC和和ACAC的中点，的中点，PAPA面面ABCABC，且，且PAPA2 2，设平面，设平面过过PFPF且与且与AEAE平行，平行，求求AEAE与平面与平面间的距离。间的距离。P Px xy yz zA AB BC CF FE EG G三、面面距离三、面面距离转化为线面距离或点面距离转化为线面距离或点面距离练习：已知正方体中的棱长为练习：已知正方体中的棱长为1.1.求平面求平面ABAB1 1C C与平面与平面A A1 1C C1 1D D间的距离。间的距离。BAaMNnab一、求异面直线
9、的距离一、求异面直线的距离方法指导方法指导:作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此异面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为方法指导方法指导:作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此异面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB
10、在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为例例2：已知正方体：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求异面直线求异面直线DA1与与AC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1xyz练习练习:如图如图,ASCDBxyz例例3、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCD，CG=2,=2,E、F分别是分别是AB、AD的的中点，求点中点，求点B B到平面到平面GEF的距离。的距离。DABCGFE如图点如图点P为平面外一点，点为平面外一点，点A为平面内的任为平面内的任一点，平面的法向量为一点，平面的法向量为n,过点过点P作平面
11、作平面 的垂的垂线线PO，记，记PA和平面和平面 所成的角为所成的角为，则点，则点P到平面的距离到平面的距离n APO 二、求点到平面的距离二、求点到平面的距离例例3、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz练习练习:SBCDAxyz例例5、在边长为、在边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平的中点，求平面面
12、AMN与平面与平面EFDB的距离。的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz三、求平行平面与平面间距离三、求平行平面与平面间距离小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值可取其射影的绝对值）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。平面的距离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。结论1anPAOMN结论2BAaMNnab