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1、 教学目的：教学目的：通过本节的教学使学生理解矩阵初等变换通过本节的教学使学生理解矩阵初等变换和初等方阵的概念和初等方阵的概念,掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.教学要求教学要求：理解矩阵初等变换和初等方阵的概念理解矩阵初等变换和初等方阵的概念,掌掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.教学重点：矩阵的初等变换和初等方阵的理论，矩阵的初等变换
2、和初等方阵的理论，会用会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.教学难点：矩阵初等变换的理论和初等方阵的关系矩阵初等变换的理论和初等方阵的关系.5 5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手段，也是线性代数的一个重要工具，变换手段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各向量间的线性关系、求的极大无关组及各向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着极其重要的
3、应用。极其重要的应用。引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程解解用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得（2）小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换用到如下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与与 相互替换）相互替换）（以替换）（以替
4、换）（以替换）（以替换）3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换故这三种变换是同解变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（方程组（1）的）的增广矩阵增广矩阵）的变换）的变换定义定义5下面的三种变换称为矩阵的下面的三种变换称为矩阵的初
5、等行变换初等行变换：(i).对调两行（对调对调两行（对调i、j行，记作行，记作rirj）（换法变换换法变换）(ii).以以非非0数数k乘以某一行的所有元素；乘以某一行的所有元素；（第（第i行乘行乘k，记作，记作kri）（）（倍法变换倍法变换）(iii).把把某某一一行行所所有有元元素素的的k倍倍加加到到另另一一行行对对应应的的元元素素上上去去（第第i行行的的k倍倍加加到到第第j行行上上，记记作作rj+kri）（消法变换消法变换）二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，即得矩阵，即得矩阵的初等列变换的定义的初等列变换的定义（所用的记号分别为（所用的记号分
6、别为）。）。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。其逆变换也是同一种初等变换。初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换定定义义如如果果矩矩阵阵A经经过过有有限限次次初初等等变变换换变变成成矩矩阵阵B，则则称称矩矩阵阵A与与矩矩阵阵B等等价价(Equivalent)，记为，记为AB。矩阵矩阵A A与矩阵与矩阵B B等价等价根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述根据定
7、义不难证明，矩阵的等价满足下述性质：性质：a)反身性反身性：AA；b)对称性对称性：若：若AB，则，则BA；c)传递性传递性：若：若AB，而，而BC，则，则AC。(取取k=1作倍法初等变换即可作倍法初等变换即可)(初等变换都是可逆的初等变换都是可逆的)(将两次的初等变换合并到一起对将两次的初等变换合并到一起对A作用即可作用即可)具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价定理定理5.1(证明过程见教材证明过程见教材28页页)注注:任一个矩阵任一个矩阵都有标准形、且唯一都有标准形、
8、且唯一（m,n,r三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形就是行阶梯形矩阵中非零行的行数）矩阵中非零行的行数）例例5.15.1 求矩阵求矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵.解解 对矩阵对矩阵A施初等行变换施初等行变换为A的标准形矩阵.在例在例1的计算中，我们既使用了初等行变换，也的计算中，我们既使用了初等行变换，也是用了初等列变换是用了初等列变换.但在某些场合只允许使用初等行但在某些场合只允许使用初等行变换变换.例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的矩阵上来，即有矩阵上来，即有1)行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵的特点是：行阶梯形矩阵的特点是：1）矩
9、阵的所有元素全为矩阵的所有元素全为0的行（如果存在的话）都集的行（如果存在的话）都集中在矩阵的最下面；中在矩阵的最下面；2）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元素全为素全为0.形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方元素全为元素全为0；每个阶梯仅有一行，阶梯数即是非零行的行；每个阶梯仅有一行，阶梯数即是非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第数；阶梯线的竖线后面的第1个元素即为首非零元个元素即为首非零元.2)行最简形矩阵：一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程
10、要解线性方程组组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵只须把增广矩阵化为行最简形矩阵.结论结论 设设A为为mn矩阵，则矩阵，则A必可用初等必可用初等行变换行变换化为化为行阶梯形行阶梯形矩阵矩阵.行最简形矩阵的特点是：行最简形矩阵的特点是：非零行的首非零元为非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在的列的其，且这些首非零元所在的列的其它元素全为它元素全为0.对行最简形矩阵再进行初等列变换，可得到对行最简形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如矩阵的标准形矩阵的标准形 请大家思考一下：矩
11、阵请大家思考一下：矩阵A的行阶梯形、行的行阶梯形、行最简形是否唯一？为什么？最简形是否唯一？为什么？定理定理5.2(请大家自证之请大家自证之.)三、三、初等矩阵初等矩阵 1 1、初等矩阵的概念、初等矩阵的概念 定义定义5.25.2由单位矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵.1）初等换法矩阵：对调两行（列）初等换法矩阵：对调两行（列）第i行第行 2）初等倍法初等倍法 矩阵：以数矩阵：以数k乘以某行（列）乘以某行（列）第第i行行 3）初等消法矩阵：以数）初等消法矩阵：以数k乘以某行（列）加到另一乘以某行（列）加到另一行（列）上去行（列）上去第第
12、 i 行行第第行行 例例5.2 设设求求P(1,3)A；A P(1,3)；P(2k)A；AP(1,3k).解解 将矩阵将矩阵A按行分块按行分块得按列分块得按列分块得由矩阵的分块乘法运算有由矩阵的分块乘法运算有可可以以直直接接验验证证，初初等等矩矩阵阵的的转转置置矩矩阵阵仍仍为同类型的初等矩阵；为同类型的初等矩阵；初初等等矩矩阵阵均均可可逆逆且且其其逆逆阵阵任任为为同同类类型型的的初等矩阵（初等矩阵（详见第三章详见第三章）矩矩阵阵初初等等变变换换与与初初等等矩矩阵阵有有着着非非常常密密切切的关系，容易证明下述定理的关系，容易证明下述定理5.3成立。成立。2.2.初等矩阵的性质初等矩阵的性质说明说
13、明:对矩阵对矩阵A A施行一次初等行（列）变换与用施行一次初等行（列）变换与用相应的初等矩阵左（右）乘相应的初等矩阵左（右）乘A A是等价的。是等价的。值得注意的是：值得注意的是：左乘消法矩阵左乘消法矩阵 时变化时变化A A的第的第i i行，行，右乘消法矩阵右乘消法矩阵 时变化时变化A A的第的第j j列列.3.初等矩阵的有关定理初等矩阵的有关定理定理定理5.35.3 用初等矩阵左乘用初等矩阵左乘A，相当于对，相当于对A进行相应的初进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘等行变换；用初等矩阵右乘A，相当于对，相当于对A进行相应的进行相应的初等列变换初等列变换.小结：1 1、深刻理解矩阵初等变换和初
14、等方阵的概念、深刻理解矩阵初等变换和初等方阵的概念.2 2、会用矩阵的初等变换将矩阵化成阶梯形、会用矩阵的初等变换将矩阵化成阶梯形、最简形和标准形最简形和标准形.矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着极其重要的应用。准形等方面有着极其重要的应用。1.求求A的标准形的标准形解解:课堂练习：课堂练习
15、：G就是所求的标准形形矩阵就是所求的标准形形矩阵（只需对行最简形（只需对行最简形作适当的初等列变换，就能化为标准形）作适当的初等列变换，就能化为标准形）2.解解不必直接作矩阵乘法，由性质知不必直接作矩阵乘法，由性质知相当于相当于把把A 的第的第 2 行加到第行加到第 3 行，行，即有即有即将单位矩阵的第即将单位矩阵的第 1、3 行交行交换后即得到换后即得到P2，相当于把相当于把的第的第 1 列与第列与第 3列进行交换，列进行交换，从而得从而得解解：可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,而得而得.而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:3.由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得