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1、第第5章章 特征值和特征向量、特征值和特征向量、矩阵的对角化矩阵的对角化第第5章章 特征值和特征向量、特征值和特征向量、矩阵的对角化矩阵的对角化矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量定义：定义：设A为复数C上的n阶矩阵，如果存在数C和非零的n维向量x，使得Ax=x，就称是矩阵A的特征值特征值，x是A的属于（或对应于）特征值的特征向量特征向量。注意：1)特征向量特征向量x0；2)特征值
2、问题是对方阵而言的特征值问题是对方阵而言的，本章的矩阵如不加说明，都是方阵。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量根据定义，n阶矩阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (IA)x=0有非零解的值，即满足方程 det(IA)=0的都是矩阵A的特征值。因此，特征值是的多项式det(IA)的根。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量定义：定义：设n阶矩阵A=(aij)，则：称为矩阵A的特征多项式特征多项式，IA称为A的特征矩阵特征矩阵，det(IA
3、)=0称为A的特征方程特征方程。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量显然，n阶矩阵A的特征多项式是的n次多项式。特征多项式的k重根也称为k重特征值。当n5时，特征多项式没有一般的求根公式，即使是三阶矩阵的特征多项式，一般也难以求根，所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法，它是计算方法课中的一个专题。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例例1：求矩阵的特征值和特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向
4、量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例解：矩阵A的特征方程为该特征矩阵的行列式的每行之和均为-3，将各列加到第1列，并将第1行乘-1加到第2、3行得：5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例故A的特征值为13，22（二重特征值）。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例当13时，由(1IA)x=0，即：得其基础解系为x1=(1,1,1)T，因此，k1x1（k1为非零任意常数）是A的对应于13的全部特征向
5、量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例当22时，由(2IA)x=0，即：得其基础解系为x2=(1,1,2)T，因此，k2x2（k2为非零任意常数）是A的对应于22的全部特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例例2：主对角元为a11,a22,ann的对角矩阵对角矩阵A或上（下）三角矩阵B的特征多项式是：|IA|=|IB|=(a11)(a22)(ann)故故A，B的的n个特征值就是个特征值就是n个主对角元个主对角元。
6、5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质定理：定理：若x1和x2都是A的属于特征值0的特征向量，则k1x1+k2x2也是A的属于0的特征向量（其中k1，k2是任意常数，但k1x1+k2x20）。证：证：由于x1，x2是齐次线性方程组(0IA)x=0的解，因此k1x1+k2x2也是上式的解，故当k1x1+k2x20时，是A的属于0的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质在在(0IA)x=0的解空间中，除零向量以外的全体解向的解空间中，
7、除零向量以外的全体解向量就是量就是A的属于特征值的属于特征值的全体特征向量的全体特征向量，因此(IA)x=0的解空间也称为矩阵矩阵A关于特征值关于特征值的特征子空间的特征子空间，记作V。n阶矩阵A的特征子空间是n维向量空间的子空间，它的维数为：dimV=nr(IA)5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质需要注意的是，n阶矩阵的特征值可能是复数，所以特征子空间一般是n维复向量空间Cn（见附录）的子空间。例1中矩阵A的两个特征子空间为：5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向
8、量的性质特征值和特征向量的性质定理：定理：设n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为1,2,n，则：证明过程见课本用*标注的部分。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质由前面定理的第2项可知：当当detA0（即（即A为可逆矩阵）为可逆矩阵）时，其特征值全为非零数；反之，奇异矩阵时，其特征值全为非零数；反之，奇异矩阵A至少有一至少有一个零特征值。个零特征值。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的。一个一个
9、特征向量不能属于不同的特征值特征向量不能属于不同的特征值，这是因为，如果x同时是A的属于特征值1,2(12)的特征向量，即有：Ax=1x 且 Ax=2x 则：1x=2x 即(1-2)x=0。由于1-2 0，则x=0，这与x0矛盾。矩阵的特征值和特征向量还有以下性质：5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质1：若是矩阵A的特征值，x是A的属于的特征向量，则：1)k是kA的特征值（k是任意常数）2)m是Am的特征值（m是正整数）3)当A可逆时，-1是A-1的特征值且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值k,
10、m,1/的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质证：证：1）省略。2）由已知条件Ax=x，可得：A(Ax)=A(x)=(Ax)=(x)即 A2x=2x 再继续施行上述步骤m-2次，就得：Amx=mx 故m是矩阵Am的特征值，且x也是Am对应于m的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质3)当A可逆时，0，由Ax=x可得：A-1(Ax)=A-1(x)=A-1x因此 A-1x=-1x故-1是A-1的特征值，且x也是A-1对应于
11、-1的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质2：矩阵A和AT的特征值相同。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质证：证：因为(I-A)T=(I)T-AT=I-AT，所以 det(I-A)=det(I-AT)因此，A和AT有完全相同的特征值。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质例3：设1）求A的特征值和特征向量；2）求可逆矩阵P，使P-1AP为对
12、角阵。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质解：1）A的特征值为1=2=0（二重特征值）和3=-2。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质当1=0时，由(1I-A)x=0，即Ax=0得基础解系x1=(1,1,0)T和x2=(-1,0,1)T 故A对应于1=0的全体特征向量为k1x1+k2x2=k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T 其中k1,k2为不全为零的任意常数。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似
13、矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质当3=-2时，由(3I-A)x=0，即：得基础解系为x3=(-1,-2,1)T，A对应于3=-2的全体特征向量为k3x3=k3(-1,-2,1)Tk3为非零任意常数。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质2）将Axi=ixi(i=1,2,3)排成矩阵等式取AP=P，且|P|=20，因此就得P-1AP=为对角阵。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义：定义：对于矩阵A和B，若存在可逆矩阵P，使P-1AP
14、=B，就称A相似于相似于B，记作AB。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质矩阵的相似关系也是一种等价关系，即也有以下三条性质。1）反身性：AA2）对称性：若AB，则BA3）传递性：若AB，BC，则AC证明略。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵有以下性质：1）P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P（其中k1,k2是任意常数）2）P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P)3）若AB，则AmBm（m为正整数）5.1
15、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质证：证：因为AB，所以存在可逆矩阵P，使 P-1AP=B于是 Bm=(P-1AP)(P-1AP)(P-1AP)=P-1AmP故 AmBm5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定理：定理：相似矩阵的特征值相同。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质证：证：只需证明相似矩阵有相同的特征多项式。设AB，则存在可逆矩阵P，使得：P-1AP=B于是|I-B|=|I-P-1AP|=
16、|P-1(I-A)P|=|P-1|I-A|P|=|I-A|5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质必须注意，该定理的逆命题不成立，例如：都以1为二重特征值，但对于任何可逆矩阵P，都有P-1IP=IA，故A和I不相似。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件所谓矩阵可对角化指的是，矩阵与对角阵相似。本节讨论矩阵可对角化的条件。其主要结论是：矩阵可对角化的充分必要条件是矩阵可对角化的充分必要条件是n阶矩阶矩阵有阵有n个线性无关的特征向量，或矩阵的每个特征值的个线性无关的特征向量，或矩阵的每个特征
17、值的（代数）重数等于对应特征子空间的（几何）维数（代数）重数等于对应特征子空间的（几何）维数。今后我们常将主对角元为a1,a2,an的对角阵记作diag(a1,a2,an)，或记作。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件从5.1节例3可见，当三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量x1,x2,x3时，取P=(x1,x2,x3)就有：P-1AP=diag(1,2,3)其中1,2,3分别是特征向量x1,x2,x3所对应的特征值，这表明，三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的充分条件。事实上它也是必要条件。下面给出一般结论。5.2 矩阵可对角化的条件
18、矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定理：定理：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件证：证：必要性：设 即：AP=P将P矩阵按列分块，表示成 P=(x1,x2,xn)则：5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件即：(Ax1,Ax2,Axn)=(1x1,2x2,nxn)于是：Axi=ixi (i=1,2,n)故x1,x2,xn是A分别对应于特征值1,2,n的特征向量。由于P可逆，所以它们是线性无关的，必要性得证。上述步骤显然可逆，所以
19、充分性也成立。5.1节例1中的A只存在两个线性无关的特征向量，所以不可对角化。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件由相似矩阵的特征值相同的定理可知：若A与对角阵相似，则的主对角元都是A的特征值。若不计k的排列方式，则是唯一的，称为A的相似标准型相似标准型。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定定理理：矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件证：证：设A的m个互不相同的特征值为1,2,m，其相应的特征向量分别为x1,x2,x
20、m，对m作归纳法，证明x1,x2,xm 线性无关。当m=1时，结论显然成立（因为特征向量x10）。设k个不同特征值1,2,k 的特征向量x1,x2,xk 线性无关，下面考虑k+1个不同特征值的特征向量的情况。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件设：a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1=0则：A(a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1)=0即：a11x1+a22x2+akkxk+ak+1k+1xk+1=0将第1式乘k+1，再减去第3式得：a1(k+1-1)x1+a2(k+1-2)x2+ak(k+1-k)xk=05.2 矩阵可对角化的条
21、件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件根据归纳假设x1,x2,xk 线性无关，所以：ai(k+1-i)x1=0,i=1,2,k由于：k+1i，i=1,2,k所以：ai=0，i=1,2,k将上式代入第1式，得：ak+1xk+1=0由于特征向量xk+10，故ak+10，故x1,x2,xk+1 线性无关。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件推论：推论：若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则A与对角阵相似。但必须注意必须注意，推论的逆不成立，如5.1节例3，A与对角阵相似，但特征值中0是二重特征根。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条
22、件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件*定理：定理：设1,2,m是n阶矩阵A的m个互异特征值，对应于i的线性无关的特征向量为x1,x2,xiri(i=1,2,m)，则由所有这些特征向量（共r1+r2+rm个）构成的向量组xi1,xiri|i=1,2,m是线性无关的。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件*定理：定理：设0是n阶矩阵A的一个k重特征值，对应于0的线性无关的特征向量的最大个数为l，则kl。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件例1：设实对称矩阵问：A是否与对角阵相似？若与对角阵相似，求对角阵及可逆矩
23、阵P，使得P-1AP=。再求Ak（k为正整数）。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件解：A的特征多项式5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件所以A的特征值1=-2（单根），2=2（三重根）。由(I-A)x=0，即：得1对应的特征向量为k1x1|x1=(1,1,1,1)T,k10。由(2I-A)x=0，即：x1+x2+x3+x4=05.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件得基础解系为x21=(1,-1,0,0)T x22=(1,0,-1,0)T x23=(1,0,0,-1
24、)TA有4个线性无关的特征向量，故A与对角阵相似。取：5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件则：的4个对角元依次是4个特征向量所对应的特征值。由于特征向量（或(I-A)x=0的基础解系）不唯一，所以P也不唯一。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件由A=PP-1，可得：5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件例2：设A=(aij)nn是主对角元全为2的上三角矩阵，且存在aij0(ij)，问A是否与对角阵相似？5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩
25、阵可对角化的条件解：设其中*为不全为零的任意常数。则：|I-A|=(-2)n即=2是A的n重特征值，而r(2I-A)1，所以(2I-A)x=0的基础解系所含向量个数n-1个，即A的线性无关的特征向量的个数n-1个，因此，A不与对角阵相似。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化上一节已指出，不是任何矩阵都与对角阵相似，然而实用中很重要的实对称矩阵一定可对角化，其特征值全为实数。而且对于任一个实对称矩阵A，存在正交矩阵T，使得T-1AT为对角阵，为了证明这些重要结论，先介绍复矩阵和复向量的有关概念和性质。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩
26、阵的对角化实对称矩阵的对角化定义：定义：元素为复数的矩阵和向量，称为复矩阵复矩阵和复向量复向量。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化定义：定义：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化由此定义可知：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化根据定义及共轭复数的运算性质，容易证明共轭矩阵有以下性质：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化n维复向量（以列的形式表示）x满足性质：这是因为，若x=(x1,x2,xn)T,xiC(i=1,2,
27、n)，则5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量虽然一般实矩阵的特征多项式是实系数多项式，但其特征根可能是复数，相应的特征向量也可能是复向量，然而实对称矩阵的特征值全是实数，（在实数域上）相应的特征向量是实向量，且不同特征值的特征向量是正交的。下面给以证明。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理：定理：实对称矩阵A的任一特征值都是实数。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量证：证：设是A的任一特征值。5.3
28、实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理：定理：实对称矩阵A对应于不同特征值的特征向量是正交的。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量证：设Axi=ixi,(xi0,i=1,2),12,AT=A，则：由于12，所以：故当x1,x2为实的特征向量时，x1与 x2正交(x1,x2为复向量的情形，利用附录A的知识，也可证明二者正交)。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化定理：定理：对于任一个n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得：T-1
29、AT=diag(1,2,n)5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化证：用数学归纳法。n=1时，结论显然成立。假设定理对任一个n-1阶实对称矩阵B成立，即存在n-1阶正交矩阵Q，使得Q-1BQ=1。下面证明，对n阶实对称矩阵A也成立。设：Ax1=1x1，其中x1是长度为1的特征向量。现将x1扩充为Rn的一组标准正交基 x1,x2,xn其中x2,xn不一定是A的特征向量，于是就有：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化记：P=(x1,x2,xn)（P为正交矩阵）并将上式右端矩阵用分块矩阵表示，上式可写为：5.3 实
30、对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化由于P-1=PT,(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=P-1AP，所以：因此，b=0,BT=B（即B为n-1阶实对称矩阵），代入得：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化根据归纳假设，构造一个正交矩阵：（不难验证STS=In），便有：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化取T=PS（两个正交矩阵之积仍是正交矩阵），T-1=S-1 P-1，则：T-1AT=diag(1,2,n)其中1,2,n是A的特征值。得证。5.3 实对称矩阵的对角化实对
31、称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化给定一个n阶实对称矩阵A，如何求正交矩阵T，使T-1AT=呢？首先由特征多项式：得到全部互异特征值1,m。由于A可对角化，根据前面定理，ri重特征值i对应ri个线性无关的特征向量5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化利用施密特正交化方法得到个ri相互正交的单位向量由前面定理，不同特征值对应的特征向量正交，得到为n个相互正交的单位特征向量，将其按列排成n阶矩阵，就是所求的正交矩阵T。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化例1：设求正交阵T，使T-1AT为对角阵。5
32、.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化解：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化得1=2，由(1I-A)x=0，即：得线性无关的特征向量x1=(2,-1,0)T,x2=(2,0,1)T。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化用施密特正交化方法，先正交化，得：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化再将1,2单位化得：对于2=-7，由(2I-A)x=0，即：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角
33、化得特征向量x3=(1,2,-2)T，单位化得y3=(1/3,2/3,-2/3)T，取正交矩阵则T-1AT=diag(1,2,3)=diag(2,2,-7)。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化例2：设实对称矩阵A和B是相似矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得T-1AT=B。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化证：由于AB，所以A和B有相同的特征值1,2,n，根据前面定理，对A和B分别存在正交矩阵T1和T2，使得：所以：T-1AT=B5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角
34、化例3：设n阶实对称矩阵A,B有完全相同的n个特征值，证明：存在正交矩阵T和n阶矩阵Q使得A=QT和B=TQ同时成立。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化证：由于实对称矩阵与对角阵相似，的对角元为n个特征值，所以，AB，即AB。由例2知存在正交矩阵T1，使得：5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化例4：设A,B都是n阶实对称矩阵，若存在正交矩阵T使T-1AT，T-1BT都是对角阵，则AB是实对称矩阵。5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化证：由(AB)T=BTAT=BA可知，此时AB对称的充要条件是AB可交换。因此只需证明AB=BA。根据已知条件，有：T-1AT=diag(1,2,n)T-1BT=diag(1,2,n)于是(T-1AT)(T-1BT)=(T-1BT)(T-1AT)=diag(11,nn)，因此，AB=BA,(AB)T=BA=AB。