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1、3.1 向量的概念及其运算向量的概念及其运算1.设设解解:第三章第三章 习题答案习题答案解解:2.已知已知解解:3.设设解解:4.写出向量写出向量的线性组合的线性组合,其中其中:(1)(2)(1)(2)5.设向量组设向量组问问:向量向量 可以由向量可以由向量写出其表达式写出其表达式.线性表示?若可以，解：设设 即即所以所以向量向量 可以由向量可以由向量则有则有:解方程解方程组组得：得：线性表示3.2线性相关与线性无关线性相关与线性无关一一.判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性(1)解解:由于由于 与与 对应分量不成比例对应分量不成比例,所以所以 与与 线性无关线性无关.(2)解
2、解:由于由于向量组中含有零向量向量组中含有零向量,所以向量组线性相所以向量组线性相关关(3)解解:向量组线性无关向量组线性无关.(4)解解:即有即有也即有也即有由于齐次线性方程组的系数行列式由于齐次线性方程组的系数行列式齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解,由于由于方法方法2:所以所以线性相关线性相关.(5)因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性解解:相关。相关。二.填空填空题题(1)已知向量组已知向量组线性相关线性相关,则则k=_.解解:则则有有:即即有有:2即即k =2时时,(2)设向量设向量组组线性无关线性无关,则则a,b,c 必必满满足
3、关系式足关系式_.abc 0解解:要使要使线性无关线性无关,则有则有所以所以 a,b,c 需需满满足足abc0.n维单位向量组维单位向量组(3)都可由都可由向量组向量组线性表示线性表示,则则r_ n.解解:因因为为n维单位向量组维单位向量组线性无关线性无关,且每个向量都能由向量组且每个向量都能由向量组线性表示线性表示,由课本由课本72页推论页推论1知知:三.选择题选择题线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是().中必有两个向量的分量对应中必有两个向量的分量对应(1)向量组向量组(A)向量组向量组不成比例不成比例;(B)向量组向量组中不含零向量中不含零向量;(C)向量组向量组中任意一个
4、向量都不能由其中任意一个向量都不能由其余余n-1个个向量线性表示向量线性表示;(D)存在全为零的数存在全为零的数使使成立成立.C(2)设设其中其中则有则有().(A)向量组向量组是任意实数是任意实数,总线性相关总线性相关;(B)向量组向量组总线性相关总线性相关;(C)向量组向量组总线性无关总线性无关;(D)向量组向量组总线性无关总线性无关.C四.若已知向量组若已知向量组证明证明线性无关线性无关,线性相关线性相关.由于由于向量组向量组证证:1、线性无关线性无关,则则线性无关线性无关.2、线性无关线性无关.(1)四.若已知向量组若已知向量组证明证明线性无关线性无关,线性无关线性无关.由于由于向量组
5、向量组证证:1、线性无关线性无关,线性相关线性相关.2、线性相关线性相关.(2)令令3、已知向量组已知向量组问问线性无关线性无关,是否线性无关？是否线性无关？解解:向量向量组组考察向量方程考察向量方程由于由于向量组向量组线性无关线性无关.3、已知向量组已知向量组问问线性无关线性无关,是否线性无关？是否线性无关？当当m为为偶数偶数时时，方程，方程组组有非零解，有非零解，则则向量向量组线组线性相关性相关解解:向量向量组组当当m为为奇数奇数时时，方程，方程组组有零解，有零解，则则向量向量组线组线性无关。性无关。五.设有向量组设有向量组问：向量问：向量 能否由向量组能否由向量组唯一线性表示唯一线性表示
6、?解解:由于向量组由于向量组线性相关线性相关,则向量则向量 只要向量组只要向量组线性无关线性无关,唯一线性表示唯一线性表示.必可由向量组必可由向量组线性无关线性无关.唯一线性表示唯一线性表示.由于由于所以向量组所以向量组因此向量因此向量 能由能由向量组向量组六.设已知向量组设已知向量组向量组向量组线性相关线性相关,线性表示？证明你的结论。线性表示？证明你的结论。解解:（1）,且表达式唯一。且表达式唯一。（2）(1)根据向量组线性相关性的性质可得：线性无关，问线性无关，问能否由能否由线性表示？证明你的结论。线性表示？证明你的结论。线性表示线性表示能由因为线性无关，线性无关，则线性无关，线性无关，
7、线性相关线性相关,又因为线性表示线性表示能由六.设已知向量组设已知向量组向量组向量组线性相关线性相关,线性表示？证明你的结论。线性表示？证明你的结论。用反用反证证法法证证明：明：解解:（1）即：即：（2）(2)代入上式得：线性无关，问线性无关，问能否由能否由线性表示？证明你的结论。线性表示？证明你的结论。不能由线性表示线性表示能由线性表示线性表示设设由（由（1），可设），可设即能由线性表示线性表示线性相关线性相关.与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立.一一.填空题填空题1、若、若解解:则向量组则向量组由于由于所以向量组所以向量组是线性是线性_.线性无关线
8、性无关.3.3 向量组的秩向量组的秩此向量组的部分组此向量组的部分组仍线性无关仍线性无关.应填应填:无关无关.无关无关2、设向量组设向量组()的秩为的秩为向量组向量组()的秩为的秩为相等相等解解:因为二向量组等价因为二向量组等价,则它们的秩相等则它们的秩相等.应填应填:相等或相等或且且()()，二.选择选择题题1、若向量组若向量组是向量组是向量组的极大的极大线性无关组线性无关组,则下列论断不正确的是则下列论断不正确的是().解解:由于向量组由于向量组是向量组是向量组的极大线性无关组的极大线性无关组,显然向量组显然向量组线性无关线性无关.而向量组而向量组线性相关线性相关,故故B此外此外,由排除法
9、知选项由排除法知选项(B)错误错误.故应选故应选(B).选项选项(A)正确正确.选项选项(C)正确正确.选项选项(D)也正确也正确.显然显然2、若向量组若向量组的秩的秩r ，则，则（）B向量组向量组向量组向量组线性无关；线性无关；线性相关；线性相关；存在一个向量存在一个向量可以由其余向量可以由其余向量线性表示；线性表示；任一向量都不能由其余向量线性任一向量都不能由其余向量线性表示；表示；当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；3、若向量组、若向量组都是向都是向量组量组则有则有().解解:同一向量组的极大线性无关组所含向量的个同一向量组的极大线性无
10、关组所含向量的个数数是相同的是相同的.故选项故选项(C)正确正确.C的极大无关组的极大无关组,解解:根据向量组的秩与向量个数的关系：根据向量组的秩与向量个数的关系：当向量组的秩小于向量个数时，向量组线性相关；当向量组的秩小于向量个数时，向量组线性相关；选项选项(B)正确正确.三三.求下列向量组的秩求下列向量组的秩(必须有解题过程必须有解题过程):解解:解解:当当时，时，当当时，时，当当时，时，四四.求下列向量组的一个极大线性无关组求下列向量组的一个极大线性无关组,并将其余并将其余向量用此极大线性无关组线性表示向量用此极大线性无关组线性表示.解解:无关组为无关组为向量组的极大线性向量组的极大线性
11、且有且有:2、解解:向量组的极大线性无关组为：向量组的极大线性无关组为：且有且有:五.已知向量组已知向量组(1)求求(2)求向量组的一个极大线性无关组，并将其余求向量组的一个极大线性无关组，并将其余解解:的秩为3的向量用极大线性无关组线性表示的向量用极大线性无关组线性表示。且且当当时，将矩阵的第时，将矩阵的第3行加到第四行可将第四行加到第四行可将第四行化为零行，则向量组的极大线性无关组为行化为零行，则向量组的极大线性无关组为六.设设n维基本单位向量组维基本单位向量组可由可由n维维向量组向量组线性表示线性表示,证明向量组证明向量组线性无关线性无关.证证:因因n维基本单位向量组维基本单位向量组线性
12、表示线性表示,而而n维维向量向量组组等价等价.可由可由n维维向量组向量组由于等价的向量组有相同由于等价的向量组有相同可由可由n维基本单位向量组线性表示维基本单位向量组线性表示,因此向量组因此向量组与向量组与向量组的秩的秩,而而所以所以因此向量组因此向量组线性无关线性无关.证毕证毕.七.设设证明证明:，证明：线性无关线性无关考虑向量方程：即：线性无关线性无关线性无关线性无关*八八.设设()若各向量组的秩分别为若各向量组的秩分别为:()()R()()=R()=()=3,R()=()=4,证明向量组证明向量组证证:因为向量组因为向量组的秩为的秩为3,而向量组而向量组中含中含3个向量个向量,所以向量组
13、所以向量组线性无关线性无关.同理同理,因为向量组因为向量组的秩为的秩为4,而向量组而向量组中含中含4个向量个向量,所以向量组所以向量组线性无关线性无关.又因为向量组又因为向量组的秩为的秩为3,但向量组但向量组中含中含4个向量个向量,故向量组故向量组线性相关线性相关.因此向量因此向量可由向量组可由向量组线性线性表示表示.即有即有向量方程向量方程由于向量组由于向量组线性无关线性无关.显然向量组显然向量组仍线性无关仍线性无关.因此向量组因此向量组的秩为的秩为4.一一.设设为什么为什么?解解:3.4 向量空间向量空间是向量空间是向量空间,不是向量空间不是向量空间.这是因为这是因为:则有则有而而若若对数
14、乘运算封闭对数乘运算封闭.这表明这表明而而又又是向量空间是向量空间.所以所以又又若若则有则有对加法运算封闭对加法运算封闭.这表明这表明所以所以但但显然显然不是向量空间不是向量空间.因此因此而而这表明这表明对数乘运算不封闭对数乘运算不封闭.二、二、1.向量向量下的坐标是（下的坐标是（)解解:在基2.已知已知 的两个基为：的两个基为：求由基求由基 到基到基 的过渡矩阵。的过渡矩阵。解解:设由基设由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为C则三三.设四维向量空间设四维向量空间V的两个基的两个基满足：满足：（1）求由基）求由基()到基到基()的过渡矩阵的过渡矩阵C;()()（2）求向量）求向量在基在基(
15、)下的坐标。下的坐标。解：解：四四.1.试证试证是是的一组基的一组基,并求并求一组标准正交基一组标准正交基.1.证证:先证先证线性无关线性无关.由于由于所以所以线性无关线性无关.令令都可用都可用即有即有再证任意再证任意3维向量维向量则有则有所以所以这表明任意这表明任意3维向量都可用维向量都可用因此因此3维向量组维向量组取值唯一取值唯一.唯一线性表示唯一线性表示.由于由于线性表示线性表示.生成的空间即为生成的空间即为证毕证毕.以下求以下求的一组标准正交基的一组标准正交基.则则令令再将再将单位化单位化.则则为为的一组标准正交基的一组标准正交基.(答案不唯一答案不唯一)2.设设证明：证明：由它们所生成的向量空间是由它们所生成的向量空间是证明证明:的分量构成的行列式的分量构成的行列式由向量由向量所以所以可以为向量空间V的一组基所以所以