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1、线性代数第10讲1 1第三章 线性方程组3.1 线性方程组的消元解法2 2考虑一般的线性方程组(3.1)的求解问题.方程组的矩阵形式为AX=b3 3Ax=b其中4 4把方程组(3.1)的系数矩阵A与常数项矩阵b放在一起构成的矩阵(3.2)称为线性方程组(3.1)的增广矩阵增广矩阵.6 6在中学代数中,已经学过用消元法解简单的线性方程组,这一方法也适用于求解一般的线性方程组(3.1),并可用其增广矩阵的初等变换表示其求解过程.7 7例例1.解线性方程组8 81010111113131515显然,方程组至都是同解方程组,因而是方程组的解.这个解法就称为消元法,至是消元过程,至是回代过程.上面的求解
2、过程,可以用方程组的增广矩阵的初等行变换表示:16161818由最后一个矩阵得到方程组的解x1=1,x2=3,x3=2.1919由前面的例子可以看出,用消元法解线性方程组的过程,实质上就是对该方程组的增广矩阵施以仅限于行的初等变换(称为初等行变换)的过程.解线性方程组时,为了书写简明,只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可.对方程组的增广矩阵施以行初等变换,相当于把原方程组变换成一个新方程组.下面对一般的线性方程组(3.1)论证新方程组是原方程组的同解方程组.2020对增广矩阵的行施以(1),(2)两种初等变换,分别相当于交换两个方程的次序及用非零数k乘某一方程的两边,显然不会改变方程的解.对增
3、广矩阵的行施以第(3)种初等变换,如将(A b)的第i行的k倍加于第j行,这相当于将原方程组的第i个方程乘以k加于第j个方程,于是第j个方程2121aj1x1+aj2x2+ajnxn=bj改变为 (aj1+kai1)x1+(aj2+kai2)x2+(ajn+kain)xn=bj+kbi即 aj1x1+aj2x2+ajnxn+k(ai1x1+ai2x2+ainxn)=bj+kbi显然,满足原方程组的解必满足新方程组,反之,满足新方程组的解必满足原方程组.于是,新方程组与原方程组是同解方程组.2222对这个矩阵的第二行到第m行,第二列到第n列再按以上步骤进行,如果有必要,可重新安排方程中未知量的次
4、序,最后可以得到如下形状的阶梯形矩阵2424其中aii0 (i=1,2,r)(3.3)2525其相应的阶梯方程组为其中aii0 (i=1,2,r)(3.4)26261.如果(3.4)中dr+10,则满足前r个方程的任何一组数k1,k2,kn,都不能满足0=dr+1这个方程,所以(3.4)无解,从而(3.1)也无解.2.如果(3.4)中dr+1=0,又有以下两种情况.2828(1)当r=n时,方程组(3.4)可写成(3.5)因aii0(i=1,2,n),所以它有唯一解.从(3.5)中最后一个方程解出xn,再代入第n-1个方程,求出xn-1.如此继续下去,则可求出其它未知量,得出它的唯一解.292
5、9它由n-r个自由未知量xr+1,xn取不同值而得不同的解.如果取xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r,其中c1,c2,cn-r为任意常数,则方程组(3.7)有如下无穷多解:(3.7)3131它是(3.4)的无穷多个解的一般形式,也是(3.1)的无穷多个解的一般形式.(3.8)3232总之,解线性方程组的步骤是:用初等行变换化方程组(3.1)的增广矩阵为阶梯形矩阵,根据dr+1不等于零或等于零判断原方程组是否有解.如果dr+10,则有r(A)=r,而r(A b)=r+1,即r(A)r(A b),此时方程组(3.1)无解;如果dr+1=0,则有r(A)=r(A b)=r,此时方程组(3
6、.1)有解.而当r=n时,有唯一解;当rn时,有无穷多解.然后,回代求出解.由以上讨论可得出以下定理.3333定理定理3.1 线性方程组(3.1)有解的充分必要条件是:r(A b)=r(A).且当r(A b)=n时有唯一解;当r(A b)n时有无穷多解.例1中的线性方程组是三元方程组,由于r(A)=r(A b)=3,所以方程组有唯一解.3434例例2.解线性方程组解解:对方程组的增广矩阵(A b)施以初等行变换,化为阶梯形矩阵.3535因为r(A b)=r(A)=24,故方程有无穷多解.接上式进行回代有36363737取x3=c1,x4=c2(其中c1,c2为任意常数),则方程组的全部解为38
7、38例例3.解线性方程组解解:3939因为r(A)=3,r(A b)=4r(A),所以原方程无解.4040例例4.a取何值时,线性方程组有解,并求其解.4141解解:当a1时,r(A)=r(A b)=3,方程组有唯一解4242当a=1时,r(A)=r(A b)=13,方程组有无穷多个解:设x2=c1,x3=c2(c1,c2为任意常数),于是得到方程组的一般解4343当线性方程组(3.1)中的常数项均为零时,这样的线性方程组称为齐次线性方程组,其一般形式为(3.9)4444方程组(3.9)恒有解,因为它至少有零解.由定理3.1可知,当r(A)=n时,(3.9)只有零解;当r(A)n时,(3.9)有无穷多个解,即除零解外还有非零解.4545定理定理3.2 齐次线性方程组(3.9)有非零解的充分必要条件是:r(A)n.推论推论 当mn时,齐次线性方程组(3.9)有非零解.证证:因为r(A)min(m,n)=mn,由定理3.2知(3.9)有非零解.4646例例5.解齐次线性方程组解解:4747因r(A)=24,所以方程组有非零解.对增广矩阵继续施以初等变换48484949设x3=c1,x4=c2(c1,c2为任意常数),于是得到方程组的一般解为5050作业 习题三(A)第157页开始第1题5151