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1、线性代数第21讲1 11990年考研题年考研题(8分分)求一个正交变换,化二次型的标准形.解解 f的矩阵为2 23 3得A的全部特征值为l1=l2=0,l3=9.4 4x1-2x2+2x3=0,x2,x3为自由变元,x1=2x2-2x3,令x2=1,x3=0,得x1=2,因此x1=(2,1,0),令x2=0,x3=1,得x1=-2,因此x2=(-2,0,1),x1,x2是对应于l1=l2=0的两个线性无关的特征向量,但是它们并不正交,因此要正交化,根据施密特正交化公式,令y1=x1=(2,1,0),6 6其实,为了暂避免分数,不妨令y2=(-2,4,5)T再将y1=(2,1,0),y2=(-2
2、,4,5)单位化,令7 7对于l3=9,求方程组(9I-A)x=o的基础解系8 8x3为自由变元,令x3=1,则x1=1/2,x2=-1,因此(1/2,-1,1)T是对应于l=9的特征向量,为了暂时避免分数,不妨令y3=(1,-2,2)T,作为基础解系,再对y3进行单位化,令1010现在我们得到了对应于l1=l2=0和l3=9的三个已经单位化的,相互正交的特征向量:11111991年考研题年考研题(6分分)设A是n阶正定阵,I(原题为E)是n阶单位阵,证明A+I的行列式大于1.13131988年考研题年考研题(8分分)已知矩阵与相似(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.1
3、515解解:因A与B相似,因此它们有相同的特征多项式,即|lI-A|=|lI-B|1616|lI-B|=(l-2)(l-y)(l+1)=l2-(2+y)l+2y(l+1)=l3-(2+y)l2+2yl+l2-(2+y)l+2y=l3-(1+y)l2+(y-2)l+2y1818|lI-B|=l3-(1+y)l2+(y-2)l+2y由|lI-A|=|lI-B|,比较各幂次系数,得2=2y,因此y=1,2x-1=y-2=-1,2x=0,因此x=0,1919x=0,y=1,因此因为A与B相似,而B是对角阵,因此A的特征值为l1=2,l2=1,l3=-1.2020对于l1=2,求解方程组(2I-A)x=
4、o,x2=x3=0,x1是自由变元,令x1=1,则p1=(1,0,0)T是对应于l1=2的一个特征向量.2121对于l2=1,求解方程组(I-A)x=o,x1=0,x2=x3,x3是自由变元,令x3=1=x2,则p2=(0,1,1)T是对应于l2=1的一个特征向量.2222l1=2p1=(1,0,0)T l2=1 p2=(0,1,1)T l3=-1p3=(0,-1,1)T令则P可逆,且有P-1AP=B24241999年考研题(3分)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是_2525解:A的元素全为1,即A的特征多项式为将每一列都加到第一列2626再将各行减去第1行.2828得l1=n,l2=l3=ln=0.2929解解:对方程组的增广矩阵进行初等变换其中的-3+a(a-2)=a2-2a-3=a2-2a+1-4=(a-1)2-22=(a-3)(a+1)3131可看出,当a=-1时,方程无解.应填-1.3232