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1、科学与工程计算方法主要内容 常微分数值计算方法简介 偏微分方程数值计算方法 （差分法、有限元法、有限体积法）统计方法简介选讲内容 计算流体力学方法简介 计算电磁学方法简介主要参考书 科学与工程计算方法 北京理工大学出版社 数值计算方法 北京理工大学出版社等 偏微分方程数值解法 清华大学出版社、华中理工大学出版社等 微分方程的数值方法(英文)springer出版社 实用多元统计方法与SAS系统 北京大学出版社 计算电磁学的数值方法 清华大学出版社常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题第一节第一节 几种经典方法几种经典方法求解常微分方程初值问题的数值解，就是寻求准确解 在一系列离散节点 上的近似
2、值 只有初值问题的解存在且唯一时，使用数值解法才有意义，这一前提条件由下 面定理保证。1:欧拉法(欧拉折线法)向前、向后欧拉(Euler)公式。以上方法称为欧拉法或欧拉折线法。欧拉公式的几何意义 欧拉法的其它解释：2:改进的欧拉法(梯形法)欧拉法形式简单，计算方便，但曲线的曲率较大时，欧拉法的效果差。于是，对欧拉法进行改进，用梯形公式计算 得到改进的欧拉公式称为改进的欧拉法，也称为梯形法。先用欧拉公式3:预估一校正法 预估校正公式也常写成下列形式：公式的局部截断误差公式的局部截断误差欧拉法的局部截断误差欧拉法的局部截断误差近似解与准确解比较，欧拉法的结果大致只有两位有效数字，而预估校正法的结果
3、则 有3位有效数字。四四 显式龙格显式龙格库塔法库塔法 一 泰勒级数法 设有初值问题由泰勒展开式 即公式(2)为k阶方法。所以这种方法实际上不能用来解初值问题。二 龙格库塔方法(R-K方法)R-K方法不是通过求导数的方法构造近似公式，而是通过计算不同点上的函数值，并对这些函数值作线性组合，构造近似公式，再把近似公式与解的泰勒展开式进行比较，使前面的若干项相同，从而使近似公式达到一定的阶数。先分析欧拉法与预估校正法。与二阶龙格库塔公式的讨论方法类似，只需8个参数满足满足条件(6)的一族公式(5)统称为三阶龙格库塔公式。一个比较简单的三阶龙格龙塔公式是(6)(6)式中13个待定常数需满足下列11个
4、方程的方程组和吉尔公式例 用标准四阶龙格库塔方法求解初值问题解 计算过程和结果 五、常用的五、常用的线线性多步公式性多步公式四阶Adams显式公式四阶Adams隐式公式1.Adams公式公式（二）（二）Milne公式公式（三）（三）Hamming公式公式 第二节：常微分方程组与高阶方程的数值解法第二节：常微分方程组与高阶方程的数值解法 经典方法的推广经典方法的推广前面几节介绍了一阶微分方程初值问题的各种数值解法，这些解法同样适用 于一阶微分方程组与高阶方程。首先从简单的开始，下面仅就两个未知函数的方程组和二阶方程为例说明各种方法的计算公式。3四阶标准龙格库塔公式 4四阶亚当斯显式公式 高阶方程高阶方程 我们以二阶方程为例来说明高阶方程的数值解法。降阶，引进新的变量z=y，则方程化为一阶微分方程组初值问题 于是上面的方法我们都可以推广到这个等价方程组。