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1、画法几何及工程制图画法几何及工程制图第第四四章章 直线直线与与平面的平面的图解法图解法 1 1、平行平行 2 2、相交相交 3 3、垂直、垂直 4 4、点、直线、平面的综合题、点、直线、平面的综合题相对位置包括相对位置包括平行、相交平行、相交。直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行包包括括包包括括直线与平面相交（包含垂直）直线与平面相交（包含垂直）平面与平面相交（包含垂直）平面与平面相交（包含垂直）直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面的相对位置的相对位置直线与平面平行的几何条件：直线与平面平行的几何条件：如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行，则如果空间一直线与平面
2、上的任何一条直线平行，则这条直线必平行于该平面。这条直线必平行于该平面。ABCDF一、直线与平面平行一、直线与平面平行4-1 平行平行根据上述几何条件可得有根据上述几何条件可得有关线、面平行的作图问题：关线、面平行的作图问题：1.判断直线与平面是否平行；判断直线与平面是否平行；2.作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；3.作平面与已知直线平行。作平面与已知直线平行。fgfg结论：直线结论：直线AB不平行于不平行于CDE平面。平面。baabcededcOX例例1 判断直线判断直线AB是否是否平行于平行于CDE平面。平面。（一）直线与一般位置平面平行（一）直线与一般位置平面平行n a c b
3、 m abcmn例例2：已知空间一点：已知空间一点M及平面及平面ABC，求作过点，求作过点M且平行于平面且平行于平面ABC的直线。的直线。有无数解有无数解有多少解？有多少解？XO（一）直线与一般位置平面平行（一）直线与一般位置平面平行正平正平线线c b a m abcmn唯一唯一解解n 例例3：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。XO（一）直线与一般位置平面平行（一）直线与一般位置平面平行XabcabcddeeL 当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投影平行于直线的同面投影。影平行于直线的同面投影。如图所示：如图所示：
4、bc/aed，则，则BC/AED.（二）直线与投影面垂直面平行（二）直线与投影面垂直面平行EFDACB二、平面与平面平行二、平面与平面平行面面平行的面面平行的几何条件几何条件 若一平面内的若一平面内的两条两条相交相交相交相交直线对应平行直线对应平行于另一平面内于另一平面内的的两条两条相交相交相交相交直线直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。平面与平面平行平面与平面平行若两若两投影面垂直面相互平行投影面垂直面相互平行，则它们则它们具有积聚性具有积聚性的那组的那组投影必相投影必相互平行互平行。两平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有：1.判别两个平面是否平行；判别两个平面是否平行；
5、2.作已知平面的平行平面；作已知平面的平行平面；平行平行平行平行c f b d e a abcdefXOf h abcdefha b c d e XO例例6：试判断两平面是否平行。：试判断两平面是否平行。m n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO（一）两一般位置平面平行（一）两一般位置平面平行Xabcdefghabcdefghmmnn结论：两平面不平行。结论：两平面不平行。例例7 判断平面（判断平面（AB/CD)和（和（EF/GH)是否平行是否平行例例8：已知定平面由平行两直线：已知定平面由平行两直线AB和和CD给定，给定，试过点试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已
6、知平面。em n mnf e fsr s rk kXO结论：因为结论：因为PH平行平行SH，所以两平面平行。，所以两平面平行。XO（二）两同一投影面垂直面平行（二）两同一投影面垂直面平行 当两同一投影面的垂直面相互平行时，当两同一投影面的垂直面相互平行时，它们具有积聚性的同面投影互相平行。它们具有积聚性的同面投影互相平行。例例9：试判断两平面是否平行。：试判断两平面是否平行。Xcdecdekk1212Xcdecdek k1122L 当两特殊位当两特殊位置平面相互置平面相互平行时，它平行时，它们具有积聚们具有积聚性的同面投性的同面投影互相平行。影互相平行。例例10 过过K点作平面平行于点作平面平
7、行于CDE。直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交（1）求交点、交线）求交点、交线（2）判断投影的可见性）判断投影的可见性4-2 相交相交 求交点并判断可见性求交点并判断可见性交点的性质：交点的性质：1.是直线与平面的是直线与平面的公有点公有点;2.是可见与不可见是可见与不可见的分界点。的分界点。直线与平面相交直线与平面相交BKA要讨论的问题是：要讨论的问题是：一、特殊位置的相交问题一、特殊位置的相交问题abcmnc n b a m 步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直
8、线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面段在平面前，故正面投影上前，故正面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。K,1(2)作作 图图k21XO例例11：求铅垂面：求铅垂面ABC 与一般位置与一般位置直线直线MN的交点，并判别其可见性。的交点，并判别其可见性。（一）一般位置直线与投影面垂直面相交（一）一般位置直线与投影面垂直面相交 直线直线MN为铅垂线，其水为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故平投影积聚成一个点，故交点交点K的水平投影也积聚在的水平投影也积
9、聚在该点上。该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。用面上用面上定点法定点法km(n)bm n c b a ac1(2)K,21例例1212：求铅垂线：求铅垂线与一般位置平与一般位置平面面ABCABC的交点，并判别其可见性。的交点，并判别其可见性。步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析作作 图图XO（二）投影面垂直线与一般位置平面相交（二）投影面垂直线与一般位置平面相交AD（三）两投影面垂直面相交（三）两投影面垂直面相交这时求两平面的交这时求两平面的交线，实质上是求一线，实质上是求
10、一般位置平面上的两般位置平面上的两条边线与投影面垂条边线与投影面垂直面相交求交点的直面相交求交点的问题；作图时可以问题；作图时可以用交线的一个投影用交线的一个投影必定在投影面垂直必定在投影面垂直面的积聚投影上的面的积聚投影上的思路，通过一般位思路，通过一般位置平面上取线的方置平面上取线的方法求得。法求得。下面举例说明：下面举例说明：（四）投影面垂直面与一般位置平面相交（四）投影面垂直面与一般位置平面相交Xabcabcdefgd(g)e(f)k1k1k2k2 1 212()例：求例：求 ABCABC和四边形和四边形DEFGDEFG两平面的两平面的交线，并判别可见性。交线，并判别可见性。（一）一般
11、位置直线与平面相交（一）一般位置直线与平面相交bm c b a acnnm2 1 kK 用用辅助平面法求辅助平面法求一般一般位置直位置直线与线与一般一般位置位置平面平面交交点的步骤：点的步骤：PH12XO1、含已知直线作特殊位置辅助平面、含已知直线作特殊位置辅助平面（垂直面）；（垂直面）；2、求辅助平面与已知平面的交线；、求辅助平面与已知平面的交线；3、求交线与已知直线的交点，该交、求交线与已知直线的交点，该交点即为所求；点即为所求；4、判别可见性。、判别可见性。343（4）二、一般位置的相交问题二、一般位置的相交问题12（1）以铅垂面为辅助平面求线面交点）以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1
12、 步骤：步骤：1过过EF作铅垂平面作铅垂平面P。2求求P平面与平面与ABC的的交线交线。3求交线求交线与与EF的交点的交点K。2 kK XO343（4）1 2（2）以正垂面为辅助平面求线面交点）以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk 步骤：步骤：1过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。XO 两一般位置平面相交，求两一般位置平面相交，求交线步骤：交线步骤：1用求直线与平面交点的用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共方法，作出两平面的两个共有点有点K、E。ll n m m n PVQV1 2 21K kee2连接两个共
13、有点，画连接两个共有点，画出交线出交线KE。XO方法一：线面交点法方法一：线面交点法（二）两一般位置平面相交（二）两一般位置平面相交3(3)454(5）解题思路（线面交点法）：解题思路（线面交点法）：把两个一般位置平面相把两个一般位置平面相交求交线的问题，转化交求交线的问题，转化为求两条一般位置直线为求两条一般位置直线与平面的交点问题与平面的交点问题（即即回到课本回到课本P.62一般位置的一般位置的直线与平面相交的解题思直线与平面相交的解题思路路）。）。3判断可见性。判断可见性。676(7)方法二：求相交两平面的共有点，除利用直线与平面的交点外，还可利用三面共点的原理来作出属于两平面的共有点。
14、几何条件：几何条件：如果空间一直如果空间一直线与某一平面垂直，线与某一平面垂直，则这条直线必垂直则这条直线必垂直于该平面内的所有于该平面内的所有直线。直线。反之：反之：如果某直线垂如果某直线垂直于平面内的任意直于平面内的任意两条相交直线，则两条相交直线，则则该直线与平面互则该直线与平面互相垂直。相垂直。一、直线与一般位置平面垂直一、直线与一般位置平面垂直4-3垂直垂直定理定理1 如果一条直线与某平面垂直，则这条直线的如果一条直线与某平面垂直，则这条直线的H投影投影垂直于该平面内水平线的垂直于该平面内水平线的H投影；直线的投影；直线的V投影垂直于该投影垂直于该平面内正平线的平面内正平线的V投影投
15、影。knk n XO水平线水平线正平线正平线定理定理2（逆）（逆）如果一直线的如果一直线的H投影垂直于某平面内水投影垂直于某平面内水平线的平线的H投影；同时直线的投影；同时直线的V投影垂直于该平面内正投影垂直于该平面内正平线的平线的V投影，则这条直线必垂直于该平面。投影，则这条直线必垂直于该平面。XO例例1：已知平面：已知平面 BDF及平面外一点及平面外一点K，试过点，试过点K作平作平面的垂线。面的垂线。a cac n nXOh hhhh h（a）（c）（b）例例3：试过定点：试过定点K作特殊位置平面的作特殊位置平面的垂线。垂线。二、直线与投影面垂直面垂直二、直线与投影面垂直面垂直AD三、两一
16、般位置平面垂直三、两一般位置平面垂直几何条件：几何条件：如果空间某平面内有一条直线与另一平面垂直，如果空间某平面内有一条直线与另一平面垂直，则这两个平面互相垂直。则这两个平面互相垂直。V 反之，反之，如果两平面互相垂直，则由属于第一个平面内的任意如果两平面互相垂直，则由属于第一个平面内的任意一点向第二个平面所作的垂线必属于第一个平面。一点向第二个平面所作的垂线必属于第一个平面。于是利用垂线上于是利用垂线上点的这个投影特性，就能判别两平面是否垂直。点的这个投影特性，就能判别两平面是否垂直。两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直Xgabcgabc(1)作垂线；作垂线；ff(2)求垂足；求垂足
17、；(3)求实长。求实长。L作图步骤作图步骤例：例：求点求点G到到 ABC平面的距离。平面的距离。4-4 点、直线、平面的综合题点、直线、平面的综合题 kk距离距离的的实长实长解题要点：解题要点：1、作垂线、作垂线;2、求垂足、求垂足;3、连接线段、连接线段,求实长求实长.作图结果要求作图结果要求：表示：表示距离的线段的投影、距离的线段的投影、实长都须作出。实长都须作出。aacdecedXO例：求图中点例：求图中点A A到平面到平面CDECDE的距离。的距离。Pvg 例：例：试过点试过点K作已知平面作已知平面 BDF的垂面。的垂面。ha cac h g解题思路：解题思路：1.1.做垂线；做垂线；
18、2.2.做包含垂线的垂面。做包含垂线的垂面。例：例：试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面所给定的平面是否垂直。是否垂直。f fd d结论：结论：因为因为AD直线不在直线不在 ABC平面上，平面上，所以两平面所以两平面不垂直。不垂直。解题思路：解题思路：1.1.过平面过平面ABCABC内任一点做内任一点做平面平面GKHGKH的垂线；的垂线；2.2.判断垂线是否在平面判断垂线是否在平面ABCABC内。内。例：平面由两平行线例：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是是否垂直于该平面。否垂直于该平面。e f ef不垂直不垂直XO例：试过定点例：试
19、过定点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF垂直。垂直。EQ分析分析过已知点过已知点A作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线EF，并交于点并交于点K，连接，连接AK，AK即为所求。即为所求。FAK解题要点：解题要点：1、作垂面、作垂面;2、求垂足、求垂足;3、连接点和垂足、连接点和垂足.作图作图2 1a efaf e 1 22 1PV1 2k kb c f h a e abcefh1(2)平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的的交点交点m 、b c 与与f h 的交点的交点n 即即为两个共有点的正面投影，故为两个共有点的正面投
20、影，故m n 即即交线交线MN的正面投影的正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FH上，上，在上方，在上方，点点在在BC上，上，在下方，故在下方，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。mn 2 nm 1 例例1：求两平面的交线：求两平面的交线MN，并判别可见性。并判别可见性。步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析作作 图图XO例例13 求求DE直线与直线与 ABC的的交点。交点。Xdeabcabcdekk1,212()例例14 求求EF直线与直线与 ABC的的交点。交点。Xabcabcefe(f)(k)11k3 4 34()从几何元素有积聚性的投影入手从几何元素有积聚性的投影入
21、手,先利用公有性得到先利用公有性得到交点的一个投影交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。再根据从属关系求出交点的另一个投影。可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。求交线并判别可见性求交线并判别可见性1.交线是两平面的公有线。交线是两平面的公有线。（凡两平面的公有点都在交（凡两平面的公有点都在交线上）线上）2.交线的投影是直线，可由交线的投影是直线，可由其上两个公有点的投影确定。其上两个公有点的投影确定。3.求一平面内的一直线与另求一平面内的一直线与另一平面的交点来确定公有点一平面的交点来确定公有点（转化为线、面交点问题）。（转化为线、面交点问题）。二、平面与平面相交二、平面与平面相交要讨论的问题是：要讨论的问题是：Xabcdabcdefgh(e)f(h)gABCDEFGHK1K2k1k1k211k22 323()K3k3k3 实际交线应实际交线应在两平面投影的在两平面投影的公共范围之内。公共范围之内。例例3 求求 ABCD和和 EFGH两平面的交线。两平面的交线。