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1、关于画法几何及工程制图第四直线与平面的图解法第1页，讲稿共45张，创作于星期二相对位置包括相对位置包括平行、相交平行、相交。直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行包包括括包括直线与平面相交（包含垂直）直线与平面相交（包含垂直）平面与平面相交（包含垂直）平面与平面相交（包含垂直）直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面的相对位置的相对位置第2页，讲稿共45张，创作于星期二直线与平面平行的几何条件：直线与平面平行的几何条件：如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行，则如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行，则这条直线必平行于该平面。这条直线必平行于该平面。ABCDF一、直线
2、与平面平行一、直线与平面平行4-1 平行平行根据上述几何条件可得有关线、根据上述几何条件可得有关线、面平行的作图问题：面平行的作图问题：1.判断直线与平面是否平行；判断直线与平面是否平行；2.作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；3.作平面与已知直线平行。作平面与已知直线平行。第3页，讲稿共45张，创作于星期二fgfg结论：直线结论：直线AB不平行于不平行于CDE平面。平面。baabcededcOX例例1 判断直线判断直线AB是否平行于是否平行于CDE平面。平面。（一）直线与一般位置平面平行（一）直线与一般位置平面平行第4页，讲稿共45张，创作于星期二n a c b m abcmn例例2
3、：已知空间一点：已知空间一点M及平面及平面ABC，求作过点，求作过点M且平行于平面且平行于平面ABC的直线。的直线。有无数解有多少解？有多少解？XO（一）直线与一般位置平面平行（一）直线与一般位置平面平行第5页，讲稿共45张，创作于星期二正平线c b a m abcmn唯一解n 例例3：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。XO（一）直线与一般位置平面平行（一）直线与一般位置平面平行第6页，讲稿共45张，创作于星期二XabcabcddeeL 当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投影平行当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投影平行于直线的同面投影。于直线的同面
4、投影。如图所示：如图所示：bc/aed，则则BC/AED.（二）直线与投影面垂直面平行（二）直线与投影面垂直面平行第7页，讲稿共45张，创作于星期二EFDACB二、平面与平面平行二、平面与平面平行面面平行的面面平行的几何条件几何条件 若一平面内的若一平面内的两条两条相交相交相交相交直线对应平行直线对应平行于另一平面内的于另一平面内的两条两条相交相交相交相交直线直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。第8页，讲稿共45张，创作于星期二平面与平面平行平面与平面平行若两若两投影面垂直面相互平行投影面垂直面相互平行，则它，则它们们具有积聚性具有积聚性的那组的那组投影必相互平行投影必相互平行。两
5、平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有：1.判别两个平面是否平行；判别两个平面是否平行；2.作已知平面的平行平面；作已知平面的平行平面；平行平行平行平行c f b d e a abcdefXOf h abcdefha b c d e XO第9页，讲稿共45张，创作于星期二例例6：试判断两平面是否平行。：试判断两平面是否平行。m n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO（一）两一般位置平面平行（一）两一般位置平面平行第10页，讲稿共45张，创作于星期二Xabcdefghabcdefghmmnn结论：两平面不平行。结论：两平面不平行。例例7 判断平面（判断平面（AB/CD)和
6、（和（EF/GH)是否平行是否平行第11页，讲稿共45张，创作于星期二例例8：已知定平面由平行两直线：已知定平面由平行两直线AB和和CD给定，试过点给定，试过点K作一作一平面平行于已知平面平面平行于已知平面。em n mnf e fsr s rk kXO第12页，讲稿共45张，创作于星期二结论：因为结论：因为PH平行平行SH，所以两平面平行。，所以两平面平行。XO（二）两同一投影面垂直面平行（二）两同一投影面垂直面平行 当两同一投影面的垂直面相互平行时，它们具当两同一投影面的垂直面相互平行时，它们具有积聚性的同面投影互相平行。有积聚性的同面投影互相平行。例例9：试判断两平面是否平行。：试判断两
7、平面是否平行。第13页，讲稿共45张，创作于星期二Xcdecdekk1212Xcdecdek k1122L 当两特殊位置当两特殊位置平面相互平行平面相互平行时，它们具有时，它们具有积聚性的同面积聚性的同面投影互相平行。投影互相平行。例例10 过过K点作平面平行于点作平面平行于CDE。第14页，讲稿共45张，创作于星期二直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交（1）求交点、交线）求交点、交线（2）判断投影的可见性）判断投影的可见性4-2 相交相交第15页，讲稿共45张，创作于星期二 求交点并判断可见性求交点并判断可见性交点的性质：交点的性质：1.是直线与平面的公是直线与平面的公有
8、点有点;2.是可见与不可见的是可见与不可见的分界点。分界点。直线与平面相交直线与平面相交BKA要讨论的问题是：要讨论的问题是：第16页，讲稿共45张，创作于星期二一、特殊位置的相交问题一、特殊位置的相交问题abcmnc n b a m 步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，其水是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线平投影积聚成一条直线，该直线与与mn的交点即为的交点即为K点的水平投点的水平投影。影。求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故段在平面前，故正面投影上正面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可
9、见性。还可通过重影点判别可见性。K,1(2)作作 图图k21XO例例11：求铅垂面：求铅垂面ABC 与一般位置直线与一般位置直线MN的交点，并判别其可见性。的交点，并判别其可见性。（一）一般位置直线与投影面垂直面相交（一）一般位置直线与投影面垂直面相交第17页，讲稿共45张，创作于星期二 直线直线MN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。的水平投影也积聚在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。用面上定点法km(n
10、)bm n c b a ac1(2)K,21例例1212：求铅垂线：求铅垂线与一般位置平面与一般位置平面ABCABC的交点，并判别其可见性。的交点，并判别其可见性。步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析作作 图图XO（二）投影面垂直线与一般位置平面相交（二）投影面垂直线与一般位置平面相交第18页，讲稿共45张，创作于星期二AD（三）两投影面垂直面相交（三）两投影面垂直面相交第19页，讲稿共45张，创作于星期二这时求两平面的交线，这时求两平面的交线，实质上是求一般位置实质上是求一般位置平面上的两条边线与平面上的两条边线与投影面垂直面相交求投影面垂直面相交求交点的问题；作图时交点的问题；作图时可
11、以用交线的一个投可以用交线的一个投影必定在投影面垂直影必定在投影面垂直面的积聚投影上的思面的积聚投影上的思路，通过一般位置平路，通过一般位置平面上取线的方法求得。面上取线的方法求得。下面举例说明：下面举例说明：（四）投影面垂直面与一般位置平面相交（四）投影面垂直面与一般位置平面相交Xabcabcdefgd(g)e(f)k1k1k2k2 1 212()例：求例：求ABCABC和四边形和四边形DEFGDEFG两平面的交线，两平面的交线，并判别可见性。并判别可见性。第20页，讲稿共45张，创作于星期二（一）一般位置直线与平面相交（一）一般位置直线与平面相交bm c b a acnnm2 1 kK 用
12、辅助平面法求一般用辅助平面法求一般位置直线与位置直线与一般一般位置位置平面平面交点的步骤：交点的步骤：PH12XO1、含已知直线作特殊位置辅助平面、含已知直线作特殊位置辅助平面（垂直面）；（垂直面）；2、求辅助平面与已知平面的交线；、求辅助平面与已知平面的交线；3、求交线与已知直线的交点，该交点、求交线与已知直线的交点，该交点即为所求；即为所求；4、判别可见性。、判别可见性。343（4）二、一般位置的相交问题二、一般位置的相交问题第21页，讲稿共45张，创作于星期二12（1）以铅垂面为辅助平面求线面交点）以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1 步骤：步骤：1过过EF作铅垂平面作铅垂平面P。2求求
13、P平面与平面与ABC的交的交线线。3求交线求交线与与EF的的交点交点K。2 kK XO343（4）第22页，讲稿共45张，创作于星期二1 2（2）以正垂面为辅助平面求线面交点）以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk 步骤：步骤：1过过EF作正垂作正垂平面平面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交点的交点K。XO第23页，讲稿共45张，创作于星期二 两一般位置平面相交，求交线步两一般位置平面相交，求交线步骤：骤：1用求直线与平面交点的方法，用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点作出两平面的两个共有点K、E。ll n m m n PVQV1 2 21K
14、kee2连接两个共有点，画出交线连接两个共有点，画出交线KE。XO方法一：线面交点法方法一：线面交点法（二）两一般位置平面相交（二）两一般位置平面相交3(3)454(5）解题思路（线面交点法）：解题思路（线面交点法）：把两个一般位置平面相交把两个一般位置平面相交求交线的问题，转化为求求交线的问题，转化为求两条一般位置直线与平面两条一般位置直线与平面的交点问题的交点问题（即回到课本即回到课本P.62一般位置的直线与平面一般位置的直线与平面相交的解题思路相交的解题思路）。）。3判断可见性。判断可见性。676(7)第24页，讲稿共45张，创作于星期二 方法二：求相交两平面的共有点，除利用直线与平面的
15、交点外，还可利用三面共点的原理来作出属于两平面的共有点。第25页，讲稿共45张，创作于星期二 几何条件：几何条件：如果空间一直线如果空间一直线与某一平面垂直，则与某一平面垂直，则这条直线必垂直于该这条直线必垂直于该平面内的所有直线。平面内的所有直线。反之：反之：如果某直线垂直如果某直线垂直于平面内的任意两条于平面内的任意两条相交直线，则则该直相交直线，则则该直线与平面互相垂直。线与平面互相垂直。一、直线与一般位置平面垂直一、直线与一般位置平面垂直4-3垂直垂直第26页，讲稿共45张，创作于星期二定理定理1 如果一条直线与某平面垂直，则这条直线的如果一条直线与某平面垂直，则这条直线的H投影垂直于
16、投影垂直于该平面内水平线的该平面内水平线的H投影；直线的投影；直线的V投影垂直于该平面内正平线投影垂直于该平面内正平线的的V投影投影。knk n XO水平线正平线第27页，讲稿共45张，创作于星期二定理定理2（逆）（逆）如果一直线的如果一直线的H投影垂直于某平面内水平线的投影垂直于某平面内水平线的H投影；同时直线的投影；同时直线的V投影垂直于该平面内正平线的投影垂直于该平面内正平线的V投影，投影，则这条直线必垂直于该平面。则这条直线必垂直于该平面。XO第28页，讲稿共45张，创作于星期二例例1：已知平面：已知平面BDF及平面外一点及平面外一点K，试过点，试过点K作平面的垂作平面的垂线。线。a
17、cac n nXO第29页，讲稿共45张，创作于星期二h hhhh h（a）（c）（b）例例3：试过定点：试过定点K作特殊位置平面的垂线。作特殊位置平面的垂线。二、直线与投影面垂直面垂直二、直线与投影面垂直面垂直第30页，讲稿共45张，创作于星期二AD三、两一般位置平面垂直三、两一般位置平面垂直几何条件：几何条件：如果空间某平面内有一条直线与另一平面垂直，则这两个平如果空间某平面内有一条直线与另一平面垂直，则这两个平面互相垂直。面互相垂直。V第31页，讲稿共45张，创作于星期二 反之，反之，如果两平面互相垂直，则由属于第一个平面内的任意一如果两平面互相垂直，则由属于第一个平面内的任意一点向第二
18、个平面所作的垂线必属于第一个平面。点向第二个平面所作的垂线必属于第一个平面。于是利用垂线上点的这于是利用垂线上点的这个投影特性，就能判别两平面是否垂直。个投影特性，就能判别两平面是否垂直。两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直第32页，讲稿共45张，创作于星期二Xgabcgabc(1)作垂线；作垂线；ff(2)求垂足；求垂足；(3)求实长。求实长。L作图步骤作图步骤例：例：求点求点G到到 ABC平面的距离。平面的距离。4-4 点、直线、平面的综合题点、直线、平面的综合题 第33页，讲稿共45张，创作于星期二kk距离的实长解题要点：解题要点：1、作垂线、作垂线;2、求垂足、求垂足;3、连接
19、线段、连接线段,求实长求实长.作图结果要求作图结果要求：表示距：表示距离的线段的投影、实长离的线段的投影、实长都须作出。都须作出。aacdecedXO例：求图中点例：求图中点A A到平面到平面CDECDE的距离。的距离。Pv第34页，讲稿共45张，创作于星期二g 例：例：试过点试过点K作已知平面作已知平面BDF的垂面。的垂面。ha cac h g解题思路：解题思路：1.1.做垂线；做垂线；2.2.做包含垂线的垂面。做包含垂线的垂面。第35页，讲稿共45张，创作于星期二例：例：试判断试判断ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面是否所给定的平面是否垂直。垂直。f fd d结论：结论
20、：因为因为AD直线不在直线不在 ABC平面上，平面上，所以两平面不所以两平面不垂直。垂直。解题思路：解题思路：1.1.过平面过平面ABCABC内任一点做平内任一点做平面面GKHGKH的垂线；的垂线；2.2.判断垂线是否在平面判断垂线是否在平面ABCABC内。内。第36页，讲稿共45张，创作于星期二例：平面由两平行线例：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否垂是否垂直于该平面。直于该平面。e f ef不垂直不垂直XO第37页，讲稿共45张，创作于星期二例：试过定点例：试过定点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF垂直。垂直。第38页，讲稿共45张，创作于星期二EQ分析分
21、析过已知点过已知点A作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线EF，并交于点并交于点K，连接，连接AK，AK即为所求。即为所求。FAK解题要点：解题要点：1、作垂面、作垂面;2、求垂足、求垂足;3、连接点和垂足、连接点和垂足.第39页，讲稿共45张，创作于星期二作图作图2 1a efaf e 1 22 1PV1 2k k第40页，讲稿共45张，创作于星期二b c f h a e abcefh1(2)平面平面EFH是一水平面，它的正是一水平面，它的正面投影有积聚性。面投影有积聚性。a b 与与e f 的交的交点点m 、b c 与与f h 的交点的交点n 即为即为两个共有点的正面投影，故两个共有点的
22、正面投影，故m n 即即交线交线MN的正面投影的正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FH上，上，在上方，在上方，点点在在BC上，上，在下方，故在下方，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。mn 2 nm 1 例例1：求两平面的交线：求两平面的交线MN，并判别可见性。并判别可见性。步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析作作 图图XO第41页，讲稿共45张，创作于星期二例例13 求求DE直线与直线与ABC的交的交点。点。Xdeabcabcdekk1,212()例例14 求求EF直线与直线与ABC的交的交点。点。Xabcabcefe(f)(k)11k3 4 34()从几何元素有积聚
23、性的投影入手从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到交点先利用公有性得到交点的一个投影的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。再根据从属关系求出交点的另一个投影。可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。第42页，讲稿共45张，创作于星期二求交线并判别可见性求交线并判别可见性1.交线是两平面的公有线。（凡交线是两平面的公有线。（凡两平面的公有点都在交线上）两平面的公有点都在交线上）2.交线的投影是直线，可由其交线的投影是直线，可由其上两个公有点的投影确定。上两个公有点的投影确定。3.求一平面内的一直线与另一求一平面内的一直线与另一平面的交点来确定公有点（转平面的交点来确定公有点（转化为线、面交点问题）。化为线、面交点问题）。二、平面与平面相交二、平面与平面相交要讨论的问题是：要讨论的问题是：第43页，讲稿共45张，创作于星期二Xabcdabcdefgh(e)f(h)gABCDEFGHK1K2k1k1k211k22 323()K3k3k3 实际交线应在实际交线应在两平面投影的公共两平面投影的公共范围之内。范围之内。例例3 求求 ABCD和和 EFGH两平面的交线。两平面的交线。第44页，讲稿共45张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第45页，讲稿共45张，创作于星期二