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1、第七章第七章 点的运动学点的运动学第第7 7章章 点的运动学点的运动学 描述点运动的变矢量法描述点运动的变矢量法 描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐标法 描述点运动的弧坐标法描述点运动的弧坐标法 结论与讨论结论与讨论第七章第七章 点的运动学点的运动学运动方程运动方程 变矢量法中变矢量法中变矢量法中变矢量法中 ，运动方程用点在任意瞬时运动方程用点在任意瞬时运动方程用点在任意瞬时运动方程用点在任意瞬时t t 的的的的位置矢量位置矢量位置矢量位置矢量 r r(t t)表示。表示。表示。表示。r r=r r(t t)xzyOrPrPrP7-1 7-1 矢量法矢量法1.1.1.1.运动方程运动方程
2、运动方程运动方程 r(t)简称为简称为简称为简称为 位矢位矢。第七章第七章 点的运动学点的运动学r r(t t)r r(t+t+t t)vxzyOPP r 2.2.速速速速 度度度度 t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:矢径矢径矢径矢径 r r(t t)t+t+t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:矢径矢径矢径矢径 r r(t+t+t t)或或或或 r r(t t)+)+r r(t t)速速 度度 描述点在描述点在描述点在描述点在 t t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。瞬时运动快慢和运动方向的力学量。瞬时运动快慢和运动方向的力学量。瞬时运动快慢和运动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一
3、致；速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。第七章第七章 点的运动学点的运动学v v v v3.3.3.3.加加加加 速速速速 度度度度 xzyOPr r(t t)vPrv v t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:速度速度速度速度 v v(t t)t+t+t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:速度速度速度速度 v v(t t+t t)或或或或 v v(t t)+)+v v(t t)第七章第七章 点的运动学点的
4、运动学7-2 7-2 7-2 7-2 直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法 1.1.1.1.运动方程运动方程运动方程运动方程 xzyO Oy yx xz zj ji ik kr ra av vP P 不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有 3 3个自由度，在直角坐标个自由度，在直角坐标个自由度，在直角坐标个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由系中，点在空间的位置由系中，点在空间的位置由系中，点在空间的位置由3 3个方程确定：个方程确定：个方程确定：个方程确定：x =f1(t)y =f2(t)z =f3(t)第七章第七章 点的运动学点的运动学 2
5、.2.2.2.速速速速 度度度度 xzyO Oy yx xz zj ji ik kr ra av vP P将矢径表示成将矢径表示成将矢径表示成将矢径表示成:(OxyzOxyz)为定参考系为定参考系为定参考系为定参考系:第七章第七章 点的运动学点的运动学 3.3.3.3.加加加加 速速速速 度度度度 xzyO Oy yx xz zj ji ik kr ra av vP P第七章第七章 点的运动学点的运动学例例例例 题题题题 1 1椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构求：求：求：求：P P点的运动方程、速度、加速度。点的运动方程、速度、加速度。点的运动方程、速度、加速度。点的运动方程、速度、加
6、速度。1 1、建立固定参考系、建立固定参考系、建立固定参考系、建立固定参考系OxyOxy；2 2、将所考察的点置于坐、将所考察的点置于坐、将所考察的点置于坐、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；标系中的一般位置；标系中的一般位置；标系中的一般位置；3 3、根据已知的约束条件、根据已知的约束条件、根据已知的约束条件、根据已知的约束条件列写点的运动方程。列写点的运动方程。列写点的运动方程。列写点的运动方程。第七章第七章 点的运动学点的运动学P P点的运动方程：点的运动方程：点的运动方程：点的运动方程：P P 点的轨迹方程点的轨迹方程点的轨迹方程点的轨迹方程P P点的速度：点的速度：点的速度：点的速
7、度：P P点的加速度：点的加速度：点的加速度：点的加速度：第七章第七章 点的运动学点的运动学xOyCMu解：建立图示直角坐标系解：建立图示直角坐标系运动方程运动方程:速度速度:Ev 例例例例 题题题题 2 2第七章第七章 点的运动学点的运动学速度速度:加速度加速度:xOyCMua第七章第七章 点的运动学点的运动学7-3 7-3 自然法自然法弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程 如果点沿着已知的轨迹运动，则点的如果点沿着已知的轨迹运动，则点的如果点沿着已知的轨迹运动，则点的如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走运动方程，可用点
8、在已知轨迹上所走运动方程，可用点在已知轨迹上所走运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。过的弧长随时间变化的规律描述。过的弧长随时间变化的规律描述。过的弧长随时间变化的规律描述。弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：1 1、有坐标原点、有坐标原点、有坐标原点、有坐标原点(一般在轨迹上一般在轨迹上一般在轨迹上一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)；2 2、有正、负方向、有正、负方向、有正、负方向、有正、负方向(一般以点的一般以点的一般以点的一般以点的运动方向作为正向运动方向作为正向运动方向作为正向运动
9、方向作为正向)；3 3、有相应的坐标系、有相应的坐标系、有相应的坐标系、有相应的坐标系(自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系)。s=f(t)第七章第七章 点的运动学点的运动学s-s+P PT T(切线切线切线切线)N N(主法线主法线主法线主法线)自然轴系自然轴系B B(副法线副法线副法线副法线)自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系P PTNBTNBP空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；T 过动点过动点过动点过动点P P的密切面内的密切面内的密切面内的密切面内 的切线，其正向指向的切线，其正向指向的切线，其正向指向的切线，其正向指向 弧坐标正向；弧坐标正向；弧坐标正
10、向；弧坐标正向；N 密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向的直线，其正向指向的直线，其正向指向的直线，其正向指向 曲率中心；曲率中心；曲率中心；曲率中心；B 过动点过动点过动点过动点P P垂直于切线垂直于切线垂直于切线垂直于切线 和主法线的直线，其和主法线的直线，其和主法线的直线，其和主法线的直线，其 正向由正向由正向由正向由B BT T N N 确定确定确定确定。第七章第七章 点的运动学点的运动学s-s+P PT T(切线切线切线切线)N(主法线主法线)B B(副法线副法线副法线副法线)自然轴系的自然轴系的自然轴系的自然轴系的 基矢量基矢
11、量 n nb b 跟随动点在轨跟随动点在轨迹上作空间曲线迹上作空间曲线运动。运动。自然轴系的自然轴系的自然轴系的自然轴系的 特点特点特点特点b=n第七章第七章 点的运动学点的运动学第七章第七章 点的运动学点的运动学其中其中其中其中:所以所以所以所以的方向与的方向与的方向与的方向与P P点的切线方向一致点的切线方向一致点的切线方向一致点的切线方向一致而而而而速速速速 度度度度第七章第七章 点的运动学点的运动学点的速度在切线轴上的投影等于点的速度在切线轴上的投影等于点的速度在切线轴上的投影等于点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。弧坐标对时间的一阶导数。弧坐标对时间的一阶导数。弧坐标
12、对时间的一阶导数。若若若若,则则则则，即点沿着即点沿着即点沿着即点沿着s s+的方向运动；的方向运动；的方向运动；的方向运动；反之点沿着反之点沿着反之点沿着反之点沿着s s的方向运动；的方向运动；的方向运动；的方向运动；中中中中 v v和和和和 分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。第七章第七章 点的运动学点的运动学根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式 加加加加 速速速速 度度度度?第七章第七章 点的运动学
13、点的运动学 n n P P 当当当当 0 0 时时时时，和和和和 以及以及以及以及 同同同同处于处于处于处于P P点的密切面内，这点的密切面内，这点的密切面内，这点的密切面内，这时时时时，的极限方向垂直于的极限方向垂直于的极限方向垂直于的极限方向垂直于 ，亦即亦即亦即亦即 n 方向方向方向方向。第七章第七章 点的运动学点的运动学加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式第七章第七章 点的运动学点的运动学弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然
14、轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度第七章第七章 点的运动学点的运动学几点讨论几点讨论几点讨论几点讨论 切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；即即即即 a ab bb=b=0,0,表明加速度表明加速度表明加速度表明加速度 a a 在副法线
15、方向没有分量；在副法线方向没有分量；在副法线方向没有分量；在副法线方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量 v v 和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量 a a 都位于密切面内。都位于密切面内。都位于密切面内。都位于密切面内。a第七章第七章 点的运动学点的运动学s解：建立图示弧坐标解：建立图示弧坐标OMAB2C加速度加速度:速度速度:运动方程运动方程:va已知：已知：R，=t(为常数为常数）求：求：(1)小环小环M 的运动方程、速度、加速的运动方程、速度、加速度度(2)小环小环M 相对于相对于 AB 杆的速度、加速杆的速度、加速度度 例例例例 题题题题
16、 3 3第七章第七章 点的运动学点的运动学OMAB2C(2)建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系运动方程运动方程:速度速度:加速度加速度:xy第七章第七章 点的运动学点的运动学解：由已知的运动方程可知解：由已知的运动方程可知已知点作平面曲线运动，其运动程：已知点作平面曲线运动，其运动程：x=x(t)，y=y(t)求：任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及曲率半径。求：任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及曲率半径。例例例例 题题题题 4 4第七章第七章 点的运动学点的运动学解：由例解：由例2的计算结果得的计算结果得:求例求例2任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及任意瞬时该点的切向加速度、法向
17、加速度及曲率半径。曲率半径。例例例例 题题题题 5 5xOyCMu第七章第七章 点的运动学点的运动学 描述点运动的三种方法比较描述点运动的三种方法比较 变矢量法变矢量法变矢量法变矢量法结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式数表示成标量及其导数的形式数表示成标量及其导数的形式数表示成标量及其导数的形式。直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角
18、坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法实际问题中，一种广泛应用的方法实际问题中，一种广泛应用的方法实际问题中，一种广泛应用的方法。弧坐标法弧坐标法弧坐标法弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。更加清晰。更加清
19、晰。更加清晰。结论与讨论结论与讨论第七章第七章 点的运动学点的运动学 点的运动学应用的两类问题点的运动学应用的两类问题点的运动学应用的两类问题点的运动学应用的两类问题 第一类问题：第一类问题：第一类问题：第一类问题：已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。第二类问题：第二类问题：第二类问题：第二类问题：已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和
20、已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。第七章第七章 点的运动学点的运动学 速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度大小速度大小速度大小速度大小速度方向速度方向速度方向速度方向速度大小的变化率速度大小的变化率速度方向的变化率速度方向的变化率第七章第七章 点的运动学点的运动学
21、点沿着一螺旋线自外向内点沿着一螺旋线自外向内点沿着一螺旋线自外向内点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时运动。点所走过的弧长与时运动。点所走过的弧长与时运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断间的一次方成正比。请判断间的一次方成正比。请判断间的一次方成正比。请判断点的运动性质：点的运动性质：点的运动性质：点的运动性质：(A)越跑越快；越跑越快；(C)加速度越来越大；加速度越来越大；(D)加速度越来越小。加速度越来越小。(B)越跑越慢；越跑越慢；第七章第七章 点的运动学点的运动学运动方程的极坐标形式运动方程的极坐标形式运动方程的极坐标形式运动方程的极坐标形式(t)0在极坐标在极坐标在极坐标在极坐标 (,)中中中中，(0，0)为极坐标基矢量。为极坐标基矢量。为极坐标基矢量。为极坐标基矢量。运动方程可以表示为运动方程可以表示为运动方程可以表示为运动方程可以表示为(t)f1(t)(t)f2(t)(t t)P PvP=?aP=?0第七章第七章 点的运动学点的运动学