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1、电动力学知识点归纳及典型例题分析 一、知识点归纳 知识点 1：一般情况下，电磁场的基本方程为：.0;BDJtDHtBE（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0J）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：.0;0;BDtDHtBE（齐次的麦克斯韦方程组）知识点 2：位移电流及与传导电流的区别。答：我们知道恒定电流是闭合的：在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 现在我们考虑电流激发磁场的规律：.0JB 取两边散度，由于0B，因此上式只有当0 J时才能成立。在非恒定情形下，一般有0 J，因而 式与电荷守恒定律发生矛盾。
2、由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改 式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。把 式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量DJ，它和电流J合起来构成闭合的量 *,0DJJ并假设位移电流DJ与电流J一样产生磁效应，即把 修改为 DJJB0。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0tJ电荷密度与电场散度有关系式 .0 E两式合起来得：.00tEJ与*式比较可得DJ的一个可能表示式 位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的
3、。知识点 3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0tJdVtdsJSV 恒定电流的连续性方程为：0J 知识点 4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各的定义方法；P 与P；M 与 j；E、D 与 p 以及 B、H 与 M 的关系。答：极化强度矢量 p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一
4、类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量 P 描述，它等于物理小体积V内的总电偶极矩与V之比，.VpPiip为第 i 个分子的电偶极矩，求和符号表示对V内所有分子求和。磁化强度矢量 M：介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度MJ。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流 i 的小线圈，线圈面积为 a，则与分子电流相应的磁矩为：介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度 M 表示，它定义为物理小体积V内的总磁
5、偶极矩与V之比，知识点 5：导体表面的边界条件。答：理想导体表面的边界条件为：.,0HnEn.0,BnDn。它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。知识点 6：在球坐标系中，若电势不依赖于方位角，这种情形下拉氏方程的通解。答：拉氏方程在球坐标中的一般解为：mPRdRcmPRbRaRmnmnnnmnnmmnmnnnmnnmsincoscoscos,1,1 式中nmnmnmnmdcba和,为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。cosmnP为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不依赖于方位角，这球形下通解为：cos,cos1nnnnnnn
6、PPRbRa为勒让德函数，nnba 和是任意常数，由边界条件确定。知识点7：研究磁场时引入矢势A 的根据；矢势A 的意义。答：引入矢势A 的根据是：磁场的无源性。矢势A 的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有 A 的环量才有物理意义，而每点上的A（x）值没有直接的物理意义。知识点 8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。平面时谐电磁波的性质：（1）电磁波为横波，E 和
7、 B 都与传播方向垂直；（2）E 和 B 同相，振幅比为 v；（3 E 和 B 互相垂直，EB 沿波矢 k 方向。知识点 9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。答：区别:（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在导体中）。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。知识点 10：电磁场用
8、矢势和标势表示的关系式。答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：tAEAB 知识点11：推迟势及达朗贝尔方程。答：推迟势为：00,4,4,dvrcrtxJtxAdvrcrtxtx 达朗贝尔方程为：011120222202222tcAtcJtAcA 知识点 12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理：真空中的光速相对
9、于任何惯性系沿任一方向恒为 c，并与光源运动无关。知识点 13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式。答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）：2222211cvxcvttzzyycvvtxx 洛伦兹反变换式：2222211cvxcvttzzyycvvtxx 速度变换公式：222222211111cvucvuucvucvuucvuvuuxzzxyyxxx 知识点 14：导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系。答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。基本假设为：光速不变原理（狭义相对论把一切惯性系中的光速都是 c 作为基本假设，这就是光速不变
10、原理）、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。当惯性系S（即物体）运动的速度cV 时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。知识点 15：四维力学矢量及其形式。答：四维力学矢量为：（1）能量动量四维矢量（或简称四维动量）：Wcipp,（2）速度矢量：dtdxddxU（3）动量矢量：Ump0（4）四维电流密度矢量：icJJUJ,0（5）四维空间矢量
11、：ictxx,（6）四维势矢量：ciAA,（7）反对称电磁场四维张量：xAxAF（8）四维波矢量：cwikk,知识点 16：事件的间隔：答：以第一事件P 为空时原点（0，0，0，0）;第二事件Q 的空时坐标为：（x,y,z,t），这两事件的间隔为：两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况：（1）若两事件可以用光波联系，有 rct，因而02s（类光间隔）；（2）若两事件可用低于光速的作用来联系，有ctr，因而有02s（类时间隔）；（a）绝对未来；（b）绝对过去。（3）若两事件的空间距离超过光波在时间 t 所能传播的距离，有ctr，因而有02s（类空间隔）。知识点 17：导体的静电平衡条件及导
12、体静电平衡时导体表面的边界条件。答：导体的静电平衡条件：（1）导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上；（2）导体内部电场为零；（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。导体静电平衡时导体表面的边界条件：知识点 18：势方程的简化。答：采用两种应用最广的规范条件：（1）库仑规范：辅助条件为.0A（2）洛伦兹规范：辅助条件为：.012tcA 例如：对于方程组：02022222)1(1AtJtcAtAcA（适用于一般规范的方程组）。若采用库仑规范，可得：)0(1103022222AJtctAcA；若采用洛伦兹规范，可得：011120222202222tcAtcJ
13、tAcA（此为达朗贝尔方程）。知识点 19：引入磁标势的条件。答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所环绕，或者说，该区域是没有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：LLdHj00 知识点 20：动钟变慢：S 系中同地异时的两事件的时间间隔，即S系中同一地点12xx，先后（12tt）发生的两事件的时间间隔12tt在 S 系的观测：称为固有时，它是最短的时间间隔，.t 知识点 21：长度收缩（动尺缩短）尺相对于S系静止，在S系中观测12xxl在 S 系中观测12tt 即两端位置同时测定 2212121cvxxxx ),(112012220lxxlxxcvll 0l称为固有长度，固有长度最长
14、，即ll 0。知识点 22：电磁场边值关系（也称边界上的场方程）知识点 24：电磁波的能量和能流 平面电磁波的能量为：221BEw 平面电磁波的能流密度为：.)(2nEEnEHES 能量密度和能流密度的平均值为：知识点 25：波导中传播的波的特点：电场E和磁场H不同时为横波。通常选一种波模为oEz的波，称为横电波（TE）；另一种波模为0zH的波，称为横磁波（TM）。知识点 26：截止频率 定义:能够在波导内传播的波的最低频率cw称为该波模的截止频率。计算公式:(m,n)型的截止频率为：22,bnamwmnc；若 ab，则10TE波有最低截止频率.212110,awc若管内为真空，此最低截止频率
15、为ac 2，相应的截止波长为：.210,ac（在波导中能够通过的最大波长为2a）知识点 28：静电场是有源无旋场：.0;0EqPE（此为微分表达式）稳恒磁场是无源有旋场：.;00jBB（此为微分表达式）知识点 29：相对论速度变换式：.111;112222222cvucvudtdzucvuvudtdxucvucvudtdyuxzzxxxxyy其反变换式根据此式求zyxuuu。知识点 30：麦克斯韦方程组积分式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。答：麦克斯韦方程组积分式为：SVSLSLSsdBdVsdEsdtEjl dBsdtBl dE01000 麦克斯韦方程组微分式为：00000BEtEj
16、BtBE 依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。三、典型试题分析 1、证明题：1、试由毕奥沙伐尔定律证明0B 证明：由式：030144dvrxJdvrrxJB又知：11xJrrxJ，因此 rdvxJAAdvrxJB004 4式中 由 0AB 所以原式得证。2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.tAE 证：在一般的变化情况中，电场 E 的特性与静电场不同。电场 E一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场
17、与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势 A 在内。tBEAB式代入得：0tAE，该式表示矢量tAE是无旋场，因此它可以用标势描述，tAE。因此，在一般情况下电场的表示式为：.tAE。即得证。3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式2201cvll。答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿 x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若物体后端经过1P点（第一事件）与前端经过2P点（第二事件）相对于同时，则21PP定义为上测得的物体长度。物体两端在上的坐标设为21xx 和。在上1P点的坐标为1x，2P点的坐标为2x，两端分别经过1P和2P的时刻为21tt。
18、对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 22222221111,1cvvtxxcvvtxx，两式相减，计及21tt，有 .*1221212cvxxxx式中12xx 为上测得的物体长度l（因为坐标21xx 和是在上同时测得的），12xx 为上测得的物体静止长度0l。由于物体对静止，所以对测量时刻21tt 和没有任何限制。由*式得2201cvll。4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系.E 答：由于静电场的无旋性，得：0dlE 设21CC 和为由点点到21PP的两条不同路径。21CC 与合成闭合回路，因此 012CCdlEdlE 即 21CCdlEdlE 因此，电荷由与路径无关，点时电场对它所作的
19、功点移至21PP而只和两端点有关。把单位正电荷由,21PP点移至电场 E 对它所作的功为：,21PPdlE这功定义为点点和21PP的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，2112PPdlEPP由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为dl的两点的电势差为.dlEd由于，dldzzdyydxxd 因此，电场强度E 等于电势的负梯度 .E 5、试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程jA2。答：已知恒定磁场方程）（10JB（在均匀线性介质内），把）代入（1)2(AB得矢势 A 的微分方程 .JA由矢量分析公式 .2AAA若取 A 满足规范条件0A
20、，得矢势 A 的微分方程 0.2AJA 6、试由电场的边值关系证明势的边值关系.11122n 证：电场的边值关系为：*.$,01212DDnEEn，*式可写为 12nnDD 式中n为由介质 1 指向介质 2 的法线。利用EED及,可用标势将 表为：势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程2。答：已知静电场方程为：)2.()1(,0DE并知道)3.(E在均匀各向同性线性介质中，ED，将（3）式代入（2）得 2，为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。答：麦克斯韦方程组 txExjxBxBtxBxExxE00000)()()(
21、表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到 txBxE)(2，再把第四个方程对时间求导，得到 2200txEtxB，从上面两个方程消去 txB，得到 022002txExE。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是.100c 9、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件.0;0121212BBnDDnEEn 解：nnfVSDDDDnSDnSDnSdVsdD121212.即：对于磁场B，
22、把0sdBS应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：01212BBnBBnn即：作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l，短边边长为l。因为0dlE，作沿狭长矩形的 E的路径积分。由于l比l小得多，当0l时，E 沿l积分为二级小量，忽略沿l的路径积分，沿界面切线方向积分为：012lElEtt 即：*,012ttEE。*可以用矢量形式表示为：012tEE 式中 t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。令矩形面法线方向单位矢量为t，它与界面相切，显然有#tnt 将 式式代入#，则$,012tnEE，利用混合积公式BACCBA，改写#
23、式为：012nEEt此式对任意t都成立，因此 012nEE，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程022EkE 答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有HBED,，把时谐电磁波的电场和磁场方程：.,iwtiwtexBtxBexEtxE代入麦氏方程组.0,0,BDtDHtBE 消去共同因子iwte后得.0,0,HEEiwHHiwE在此注意一点。在0w的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于0E，因而0 H，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式
24、导出。取第一式旋度并用第二式得 EwE2 由EEEE22，上式变为.,022wkEkE此为亥姆霍兹方程。11、设和A是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数txZ,（赫兹矢量），若令.1,2tZcAZ证明 证明：和A满足洛伦兹规范，故有 2、计算题：1、真空中有一半径为0R接地导体球，距球心为0Raa 处有一点电荷 Q，求空间各点的电势。解：假设可以用球内一个假想点电荷Q来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q应在OQ连线上。关键是能否选择Q的大小和位置使得球面上0的条件使得满足？考虑到球面上任一点P。边界条件要求.0rQrQ式中 r 为 Q 到 P 的距离，的距离。到为PQr
25、因此对球面上任一点，应有）常数。（1QQrr 由图可看出，只要选Q的位置使则,OPQPOQ）常数。（20aRrr 设Q距球心为 b，两三角形相似的条件为 3.,2000aRbaRRb或由（1）和（2）式求出)4.(0QaRQ（3）和（4）式确定假想电荷Q的位置和大小。由Q和镜象电荷Q激发的总电场能够满足在导体面上0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点 p 的电势是：cos2cos2414122022000RbbRaQRRaaRQarQRrQ 式中 r为由Q到 P 点的距离，r为由Q到 P 点的距离，R 为由球心 O 到 P 点的距离，的夹角。与为OQOP 4、电荷 Q 均匀分布于
26、半径为 a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：作半径为 r 的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值 E，并沿径向。当时，ar 球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得 ,402QErdsE 因而 ,420rQE写成矢量式得 .430arrQrE 若,ar 则球面所围电荷为：.34343433333aQraQrr 应用高斯定理得：.43032aQrErdsE 由此得*.430araQrE 现在计算电场的散度。当时ar E 应取 式，在这区域0r，由直接计算可得 0,03rrr 因而 arrrQE.0430 当时ar E 应取*式，由直接计算得 ar
27、aQraQE.43403030 10、静止长度为0l的车厢，以速度v相对于地面 S 运行，车厢的后壁以速度为0U向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：S 系的观察者看到长度为201l的车厢以i vvv运动，又看到小球以i uu追赶车厢。小球从后壁到前壁所需的时间为：202200020022122122212001222020020220202002002201111111111111uu 1012cvucvullcvulcvxxcvttcvttulttcvucvultcvucvucvucvuvvuvucvuvvucvltlxx，或，。13、内外半径分别为 a 和 b
28、 的球形电容器，加上wtvvcos0的电压，且不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度Dj及穿过半径RbRa的球面的总位移电流DJ。解：位移电流密度为：穿过半径 RbRa的球面的总位移电流DJ为：wtabRwvRRjJDDsin2440022 17、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为0l，它们以相同速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：S系观察到 S的速度 222 121cvvcvvvvv S测得 S的尺子长度是 222202220141vcvclcvvll 运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值有关，S
29、测得S的尺子长度也是 22220vcvcl。19、设有一随时间变化的电场wtEEcos0，试求它在电导率为，介电常数为的导体中，引起的传导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下，传导电流起主要作用，什么情况下位移电流其主要作用。解：可知传导电流为：ij，位移电流为：wjjEwtwwtEttEjDD.sincos00。当w时，传导电流起主要作用；当w时，位移电流起主要作用。20、已知矢势 izyxA)(5222，求 B，若kjAA65 ，A与A 是否对应同一电磁场。解：22、矢势j xBAi yBA00，其中0B为常数，它们对应着同一磁场，因此，AA求式中的标量函数。解：zfxyBj xBi yBAA000，