2022年《电动力学》知识点归纳及典型例题分析.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -电动力学学问点归纳及典型例题分析一、学问点归纳E Bt学问点 1：一般情形下,电磁场的基本方程为：H D J ;（此为麦克斯t. D ;. B 0 .韦方程组）；在没有电荷和电流分布（0 J 0 的情形）的自由空间（或匀称E Bt介质）的电磁场方程为：H D;（齐次的麦克斯韦方程组）t. D ;0. B .0学问点 2：位移电流及与传导电流的区分；答：我们知道恒定电流是闭合的：J0 .恒定电流在交变情形下,电流分布由电荷守恒定律制约,它一般不再闭合；一般说来,在非恒定情形下,由电荷守恒定律有J .0t现 在

2、我 们 考 虑电 流 激发 磁 场 的 规 律：B 0J . 取 两 边 散 度 , 由 于B 0,因此上式只有当 J 0 时才能成立；在非恒定情形下,一般有J 0,因而 式与电荷守恒定律发生冲突；由于电荷守恒定律是精确的普遍规律,故应修改 式使听从普遍的电荷守恒定律的要求；把 式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量 J D,它和电流J 合起来构成闭合的量 J J D 0 , * 并假设位移电流 J D 与电流 J 一样产生磁效应,即把 修改为 B 0 J J D；此式两边的散度都等于零,因而理论上就不再有冲突；由电荷守恒定律细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

3、- - - - - - - - 第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Jt0 .电荷密度与电场散度有关系式E0.两式合起来得：J0E0 .与 * 式比较可得JD的一个可能表示式tJ D0E.t位移电流与传导电流有何区分：位移电流本质上并不是电荷的流淌,而是电场的变化；它说明,与磁场的变化会感应产生电场一样, 电场的变化也必会感应产生磁场；而传导电流实际上是电荷的流淌而产生的；学问点 3：电荷守恒定律的积分式和微分式,及恒定电流的连续性方程；答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：SJ.

4、dsVtdVM 各的.Jt0恒定电流的连续性方程为：. J0学问点 4：在有介质存在的电磁场中,极化强度矢量p 和磁化强度矢量定义方法； P 与P；M 与 j；E、D 与 p 以及 B、H 与 M 的关系；答：极化强度矢量 p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和, 没有电偶极矩； 另一类介质分子的正负电中心不重和,有分子电偶极矩,但是由于分子热运动的无规性,在物理小体积内的平均电偶极矩为零,因而也没有宏观电偶极矩分布； 在外场的作用下, 前一类分子的正负电中心被拉开,后一类介质的分子电偶极矩平均有肯定取向性,因此都显现宏观电偶极矩分布；而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量

5、 P 描述,它等于物理小体积 V 内的p i总电偶极矩与 V 之比,P . ip 为第 i 个分子的电偶极矩,求和符号表示V对 V 内全部分子求和；磁化强度矢量 M ：介质分子内的电子运动构成微观分子电流,由于分子电流取向的无规性, 没有外场时一般不显现宏观电流分布；在外场作用下, 分子电流显现有规章取向, 形成宏观磁化电流密度 J M；分子电流可以用磁偶极矩描述；把分子电流看作载有电流 i 的小线圈,线圈面积为mia.a,就与分子电流相应的磁矩为：介质磁化后,显现宏观磁偶极矩分布,用磁化强度M 表示,它定义为物理小体 第 2 页,共 18 页 积V 内的总磁偶极矩与V 之比,细心整理归纳 精

6、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Mm i.VP.P ,jMM,D0EP,HBM0学问点 5：导体表面的边界条件；答：抱负导体表面的边界条件为：nE,0.n.D,；它们可以形象地n.B0 .nH表述为：在导体表面上,电场线与界面正交,磁感应线与界面相切；学问点 6：在球坐标系中,如电势不依靠于方位角,这种情形下拉氏方程的通解；答：拉 氏 方 程 在 球 坐 标 中 的 一 般 解 为：n b nm m n d nm mR , , a n

7、m R n 1 P n cos cos m c nm R n 1 P n cos sin mn , m R n , m R式中 a nm , b nm , c nm 和 d nm 为任意的常数,在详细的问题中由边界条件定出；P n m cos为缔合勒让德函数；如该问题中具有对称轴,取此轴为极轴,就电势 不依靠于方位角,这球形下通解为：a n R n bn n1 P n cos , P n cos 为勒让德函数,a 和 b n 是任意常数,由n R边界条件确定；学问点 7：争论磁场时引入矢势A 的依据；矢势 A 的意义；答：引入矢势 A 的依据是：磁场的无源性；矢势 A 的意义为：它沿任一闭合回

8、路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量；只有 A 的环量才有物理意义,而每点上的A（x）值没有直接的物理意义；学问点 8：平面时谐电磁波的定义及其性质； 一般坐标系下平面电磁波的表达式；答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式；它是传播方向肯定的电磁波, 它的波阵面是垂直于传播方向的平面,播方向的平面上,相位等于常数；平面时谐电磁波的性质：（1）电磁波为横波, E 和 B 都与传播方向垂直；（2）E 和 B 同相,振幅比为 v；（3 E 和 B 相互垂直, E B 沿波矢 k 方向；也就是说在垂直于波的传细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

9、 - - - - 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学问点 9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区分；电磁波在导体中的透 射深度依靠的因素；答：区分 :（1）在真空和抱负绝缘介质内部没有能量的损耗,电磁波可以无衰减地传播（在真空和抱负绝缘介质内部）；（ 2）电磁波在导体中传播,由于导体内有自由电子, 在电磁波电场作用下, 自由电子运动形成传导电流, 由电流产 生的焦耳热使电磁波能量不断损耗； 因此,在导体内部的电磁波是一种衰减波 （在 导体中）；在传播的过程中,电磁能量转化为热

10、量；电磁波在导体中的透射深度依靠于：电导率和频率；学问点 10：电磁场用矢势和标势表示的关系式；答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：EBAAt学问点 11：推迟势及达朗贝尔方程；x ,t4x,trdvcdv40r答：推迟势为：,trAx ,tJxc0r达朗贝尔方程为：2A1 2 c 12A0J2 t22c2t20.A10c2t学问点 12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容；答：（1）相对性原理：全部的惯性参考系都是等价的；物理规律对于全部惯性参考系都可以表为相同的形式；也就是不论通过力学现象, 仍是电磁现象, 或其他现象,都无法觉察出所处参考系的任何“ 肯定运动”；相

11、对性原理是被大量试验事实所精确检验过的物理学基本原理； （2）光速不变原理： 真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c,并与光源运动无关；学问点 13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -xxvtxxvt1v21v2c2c2yyvx洛伦兹反变换式：yy1vx答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）：z zzz ttttc2c21v22vuuxvc2

12、c2x1vuxc2速度变换公式：uuy1 vuv cx22yuu12c21 vcvu xz2z1c2学问点 14：导出洛仑兹变换时,应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同 伽利略变换二者的关系；答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性；基本假设为： 光速不变原理 （狭义相对论把一切惯性系中的光速都是 c 作为 基本假设,这就是光速不变原理） 、空间是匀称的并各向同性,时间是匀称的、运动的相对性； 洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系, 所涉及的速率都远小于光速； 洛仑兹变换是存在于相对 论力学中的一种变换关系,并假定涉及的速率等于光速；当惯性系 S

13、 （即物体）运动的速度 V c 时,洛伦兹变换就转化为伽利略变换,也就是说, 如两个惯性 系间的相对速率远小于光速,就它以伽利略变换为近似；学问点 15：四维力学矢量及其形式；答：四维力学矢量为：（ 1）能量动量四维矢量（或简称四维动量）： 第 5 页,共 18 页 pp,iW（2）速度矢量：Udxdx（3）动量矢量：pm 0 U（4）cddt四维电流密度矢量：J0 U,JJ,ic（5）四维空间矢量：xx,ict（6）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

14、 - - - - - - - -四维势矢量：AA,i（7）反对称电磁场四维张量：FAA（8）xxc四维波矢量：kk,iwc学问点 16：大事的间隔：答：以第一大事 P 为空时原点（ 0,0,0,0）;其次大事 Q 的空时坐标为：（x,y,z,t）,这两大事的间隔为：s2c2t2x22y22z22c2t2r2式中的rxyz为两大事的空间距离；两大事的间隔可以取任何数值；在此区分三种情形：（1）如两大事可以用光波联系,有rct,因而s2ct0（类光间隔）；（2）如两大事可用低于光速的作用来联系,有r,因而有s20（类时间隔）；（a）肯定将来；（b）肯定过去；有（3）如两大事的空间距离超过光波在时间

15、t 所能传播的距离,有rct,因而s20（类空间隔）；学问点 17：导体的静电平稳条件及导体静电平稳时导体表面的边界条件；答：导体的静电平稳条件：（1）导体内部不带电,电荷只能分布在于导体表面上；（2）导体内部电场为零；（3）导体表面上电场必沿法线方向,因此导体表面为等势面；整个导体 的电势相等；导体静电平稳时导体表面的边界条件：常量；n.学问点 18：势方程的简化；答：采纳两种应用最广的规范条件：（1） 库仑规范：帮助条件为. A0 .（2） 洛伦兹规范：细心整理归纳 精选学习资料 帮助条件为：.A1t0 . 第 6 页,共 18 页 c2 - - - - - - - - - - - - -

16、 - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例如：对于方程组：2A12A.A1t0J（适用于一c2t2c22t.A0般规范的方程组）；如采纳库仑规范,可得：2A12A1t0J；c2t2c230如采纳洛伦兹规范,可得：2A.A0 （此为达朗贝尔方程） ；12A0Jc 21t 222.c2t2t01A0c2学问点 19：引入磁标势的条件；答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所围绕,或者说,该区域是没有传导电流分布的单连通区域,用数学式表示为：Hjd00.LL学问点 20：动钟变慢： S 系中同地异时的两大事

17、的时间间隔,即t1 S 系中同一地点x2x1,先后（t2t1）发生的两大事的时间间隔t2在 S 系的观测：t2t1t2t11v2x2x 1c2v2cx 2x 1t2t 1tt 11v2t2t12v21c2c2t.称为固有时,它是最短的时间间隔,学问点 21：长度收缩（动尺缩短）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -尺相对于 S 系静止,在 S 系中观测lx2x 1在 S 系中观测t2t1即两端位置同

18、时测定x2x 1x 2x 1ll01v2x2x 1l0,x2x 1l1v2c2c20l 称为固有长度,固有长度最长,即l 0l；学问点 22：电磁场边值关系（也称边界上的场方程）nE2E 10 ,nH2H1,n.D2D1,n.B2B 10 .学问点 24：电磁波的能量和能流平面电磁波的能量为：wE2E1 B2EnEE2n .平面电磁波的能流密度为：SH能量密度和能流密度的平均值为：w1E02*1B 02,E02n.22S1ReEH122学问点 25：波导中传播的波的特点：电场 E 和磁场 H 不同时为横波；通常选一种波模为E zo的波,称为横电波（TE）；另一种波模为Hz0的波,称为横磁波（

19、TM ）；学问点 26：截止频率定义 :能够在波导内传播的波的最低频率w 称为该波模的截止频率；运算公式 : m,n型的截止频率为：m2n2 第 8 页,共 18 页 wc ,mnab；如 ab,就TE10波有最低截止频率1wc ,102a1.如管内为真空,此最低截止频率为c 2 ,2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -相应的截止波长为：c ,102a .（在波导中能够通过的最大波长为2a）学问点 28：静电场是有源无旋场

20、：.EP;（此为微分表达式）q0稳恒磁场是无源有旋场：.BE.0;其反变换式依据此式0 ;0j.（此为微分表达式）Buxdyuy1v2c2y1dtvu xu xc2学问点 29：相对论速度变换式：udx v.dt11vu x2uc2u z dzvz2cdt1vuxc2求ux；uyuz学问点 30：麦克斯韦方程组积分式和微分式,及建立此方程组依据的试验定律；答：麦克斯韦方程组积分式为：LE.ldSSB.d sE.d stLB.ld0j0tSE.d s1VdV0B.d s0S细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 18 页 - - -

21、 - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -EB t麦克斯韦方程组微分式为：.B0j00EtE0. B 0依据的试验定律为： 静电场的高斯定理、 静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理；三、典型试题分析1、证明题：0J xdv1dvA又知：1、试由毕奥沙伐尔定律证明. B0证明：由式：B40Jx3rdvr4rJx式中Jx11Jx, 因 此B40由rrrA0JxdvA.4r.B.A0所以原式得证；E2、试由电磁场方程证明一般情形下电场的表示式t证：在一般的变化情形中,电场E 的特性与静电场不同；电场E一

22、方面受到电 第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - 荷的激发, 另一方面也受到变化磁场的激发,后者所激发的电场是有旋的；因此在一般情形下, 电场是有源和有旋的场, 它不行能单独用一个标势来描述；在变化情形下电场与磁场发生直接联系,因而电场的表示式必定包含矢势A 在内；BA式代入EB得：EA0,该式表示矢量EA是无旋ttt场,因此它可以用标势描述,EA；因此,在一般情形下电场的表t示式为：EA.；即得证；t细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

23、 -3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式ll01v2；c2答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系；如下列图, 设物体沿 x 轴方向运动,以固定于物体上的参考系为 ；如物体后端经过 1P 点（第一大事）与前端经过 P 点（其次大事）相对于 同时,就 P 1P 2 定义为 上测得的物体长度；物体两端在 上的坐标设为 x 和 x 2；在 上 P 点的坐标为 1x ,P 点的坐标为 x ,两端分别经过 P 和 P 的时刻为 t 1 t 2；对这两大事分别应用洛伦兹变 换 式 得 x 1 x 1 vt2 1 , x 2 x 2 vt2 2, 两 式 相 减 , 计 及 t 1 t 2,

24、 有1 vc 2 1 vc 2x 2 x 1 x 2 x 12 * . 式中 x 2 x 1 为 上测得的物体长度 l（由于坐标 x 和 x 2 是在v1 2c上同时测得的）,x 2 x 1 为 上测得的物体静止长度 0l ；由于物体对 静止,2所以对测量时刻 t 和 t 2 没有任何限制；由 * 式得 l l 01 v2；c4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系 E .答：由于静电场的无旋性,得：E . dl 0 设 C 和 C 2 为由 P 1 点到 P 2 点 的两条不同路径；C 与C 2 合成闭合回路,因此 E . dl E . dl 0C 1 C 2即 E . dl E . d

25、l 因 此,电 荷 由C 1 C 2P 1 点移至 P 2 点时电场对它所作的功 与路径无关,而只和两端点有关；把单位正电P 2荷由P点移至P 2,电场 E 对它所作的功为：E.dl,这功定义为P 1 点和P 2点的电P 1P 2dl由势差；如电场对电荷作了正功,就电势下降；由此,P 2P 1E.P 1这定义,只有两点的电势差才有物理意义,一点上的电势的肯定数值是没有物理细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

26、 - - -意义的；d相距为dl的两点的电势差为dE.dl.由于xdxydyzdz.dl,因此,电场强度E 等于电势的负梯度E.j；5、试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程2A答 ： 已 知 恒 定 磁 场 方 程 B 0J（1）（ 在 均 匀 线 性 介 质 内 ）, 把B A 2 代入（ 1）得矢势 A 的微分方程 A J . 由矢量分析公式A . A 2 A . 如取 A 满意规范条件 . A 0,得矢势 A 的微分方2程 A J . A 02 16、试由电场的边值关系证明势的边值关系 2 1 .1 n证：电场的边值关系为：n.E2E 1,0.$, * 式可写为D2nD1 nnD2D1

27、*式中 n 为由介质 1 指向介质 2 的法线；利用DE及E,可用标势将表为：2211.1n势的边值关系即得证；7、试由静电场方程证明泊松方程2；2E.3在匀称各向同性线答：已知静电场方程为：.E1,0 并知道D.2 性介质中,DE,将（ 3）式代入（ 2）得,为自由电荷密度；于是得到静电势满意的基本微分方程,即泊松方程；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程

28、；答：麦克斯韦方程组Bx.Ex x Etx说明,变化的磁场可以激发Ex 0 Bx0t.Bx0jx00电场,而变化的电场又可以激发磁场, 因此,自然可以推论电磁场可以相互激发,形成电磁波； 这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到,在真空的无源区域, 电荷密度和电流密度均为零, 在这样的情形下, 对麦克斯韦方程的其次个方程取旋度并利用第一个方程,得到2E x B x,再把第四个方程对时间求t2导,得到 B x0 0 E2 x,从上面两个方程消去 B x,得到t t t22 E xE x 0 0 2 0； 这 就 是 标 准 的 波 动 方 程 ； 对 应 的 波 的 速 度 是t1c .0 09、试

29、由 麦 克 斯 韦 方 程 组 证 明 电 磁 场 的 边 界 条 件n E 2 E 1 0 ; n . D 2 D 1 ; n . B 2 B 1 0 .D . d s dVS V解：即：S n D 2 S n D 1 S .n D 2 D 1 fD 2 n D 1 n对于磁场 B,把 B d s 0 应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上,重复以S上推导可得：B 2nB 1n 即：nB 2B 10作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路,矩形回路所在平面与界面垂直,矩形长边边长为l ,短边边长为l ；由于Edl0,作沿狭长矩形的E 第 13 页,共 18 页 的路径积分；由于l 比l 小得

30、多,当l0时,E 沿l 积分为二级小量,忽略 沿l 的 路 径 积 分 , 沿 界 面 切 线 方 向 积 分 为 ：E2tlE 1 tl0即 ：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -E2tE 1t0 ,*； * 可以用矢量形式表示为：E2E 1t0式中 t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量；令矩形面法线方向单位矢量为 t ,它与界面相切,明显有 t n t #将 # 式代入 式, 就 E 2 E 1 n t ,0 $,

31、 利 用 混 合 积 公 式A B C C A B,改写 # 式为：t E 2 E 1 n 0 此式对任意 t 都成立,因此 E 2 E 1 n 0,此式表示电场在分界面切线方向重量是连续的；10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程 2E k 2E 0答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程；在肯定的频率下,有DE,BH,把时谐电磁波的电场和磁场方程：Ex ,tExeiwt,代入麦氏Bx ,tBxeiwt.EB,消去共同因子eiwt后得EEiwH,在此留意一点；t D方程组H,HiwE,0 ,t 0 ,D在wH0 .B0.0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的；取第一式的散度,由于E0,

32、因而H0,即得第四式；同样,由其次式可导出第三式；在此,在肯定频率下,只有第一、二式是独立的,其他两式可由以上两式导出；取 第 一 式 旋 度 并 用 第 二 式 得2Ek2E.Ew2E由EE2E2E,上式变为0,此为亥姆霍兹方kw程；11、设A 和是满意洛伦兹规范的矢势和标势,现引入一矢量函数Zx, （赫 第 14 页,共 18 页 兹矢量）,如令.Z,证明A1Z.c2t证明：A 和满意洛伦兹规范,故有细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

33、- - - - -.A1t0 .c2.Z 代入洛伦兹规范,有：,0即.A.1ZQ,求.A1.t.Zc2c 2tA1Z.c2taaR 0处有一点电荷2、运算题：1、真空中有一半径为R 接地导体球,距球心为空间各点的电势；解：假设可以用球内一个假想点电荷 Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用；由对称性, Q 应在 OQ 连线上；关键是能否挑选 Q 的大小和位置使得球面上 的条件使得满意？考虑到球面上任一点P；边界条件要求QQ0.式中 r 为 Q 到 P 的距离, 第 15 页,共 18 页 - - - - - - - - - rrr 为Q到P的距离；因此对球面上任一点,应有rQ常数；（ 1）由图可看rQ出,只要选 Q 的位置使OQPOPQ,就rR 0常数；（2）设 Q 距 球 心 为b , 两 三 角 形 相 似 的 条 件 为rabR 0,或b2 R 0.3由（1）和（ 2）式求出QR 0Q.4 （3）和（ 4）式确R 0aaa定假想电荷 Q 的位置和大小；由 Q 和镜象电荷 Q 激发的总电场能够满意在导风光上 的边界条件,因此是 空 间 中 电 场 的 正 确 解 答 ； 球 外 任 一 点p的 电 势 是 ：410QR 0Q4102 Ra2Q2Ra co