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1、20062006 年湖南高考试卷年湖南高考试卷科目：数学（文史类）（试题卷）注意事项注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。2考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请用铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5 毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。3考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。4.本试卷共 5
2、 页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。姓名准考证号绝密启用前绝密启用前数数学学（文史类）本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分.选择题部分 1 至 2 页.非选择题部分 3 至 5 页.时量 120 分钟.满分 150 分.参考公式:如果事件A、B互斥，那么P(A B)P(A)P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概kknk率是Pn(k)CnP(1 P)球的体积公式V 4R3,球的表面积公式S 4R2，其中R表示球的半径3一选择题：本大题共一选择题：本大题共1010 小题，每小题
3、小题，每小题5 5 分，共分，共5050 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1函数y log2x的定义域是A(0,1B.(0,+)C.(1,+)D.1,+)2已知向量a (2,t),b (1,2),若t t1时，ab；t t2时，a b，则At1 4,t2 1B.t1 4,t21C.t1 4,t2 1D.t1 4,t213.若(ax 1)的展开式中x的系数是 80，则实数 a 的值是A-2B.2 2C.34D.24过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60则该截面的面积是
4、AB.2 C.3D.2 35“a=1”是“函数f(x)xa在区间1，）上为增函数”的A充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6在数字 1,2，3 与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列53个数是A6B.12C.18D.247圆x2 y24x4y 10 0上的点到直线x y14 0的最大距离与最小距离的差是A36B.18 C.6 2D.5 28设点P 是函数f(x)sinx的图象 C 的一个对称中心，若点P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值，则f(x)的最小正周期是4D.24A2B.C.9过双曲线 M：x2y2h21的左顶点 A 作斜率为
5、 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C，且AB BC，则双曲线 M 的离心率是A510B.C.5D.102310.如图 1：OMAB，点 P 由射线 OM、线段 OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OP xOA yOB，则实数对（x,y）可以是B1 32 2A(,)B.(,)4 43 31 31 7C.(,)D.(,)4 45 5MO图 1A二填空题：本大题共二填空题：本大题共 5 5 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 2020 分，把答案填在答题上部分，把答案填在答题上部对应题号对应题号的横上的横上.11.若数列an满足：a11,an1
6、 2an.n 1，2，3.则a1a2 an.12.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有 40 人，乙班 50 人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分，乙班的平均成绩是 81 分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.x 113.已知x y 1 0则x2 y2的最小值是.2x y 2 014.过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有条.15.若f(x)asin(x)3sin(x)是偶函数，则 a=.44三解答题：本大题共小题，共三解答题：本大题共小题，共 8080 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应
7、写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分分）sin(2)2cos1,(0,),求 的值.已知3 sincos()17.（本小题满分分）某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到 0.01)：()恰好有两家煤矿必须整改的概率；()某煤矿不被关闭的概率；()至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分4 分）如图 2，已知两个正四棱锥 P-ABCD 与Q-ABCD 的高都是 2，AB=4
8、.()证明 PQ平面 ABCD；()求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；()求点 P 到平面 QAD 的距离.APDBCQ图 219.（本小题满分 14 分）3.a（）讨论函数f(x)的单调性；已知函数f(x)ax33x21（）若曲线y f(x)上两点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直，且线段AB 与 x 轴有公共点，求实数 a 的取值范围.20.（本小题满分 14 分）在 m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若 1ijm 时 PiPj（即前面某数大于后面某数），则称 Pi与 Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n1)n(n1)321的逆序数为 an，如
9、排列 21 的逆序数a11，排列 321 的逆序数a3 6.（）求 a4、a5，并写出 an的表达式；aa（）令bnnn1，证明2n b1b2 bn 2n3，n=1,2,.an1an21.（本小题满分 14 分）x2y2已知椭圆 C1：1，抛物线 C2：(y m)2 2px(p 0)，且 C1、C2的公共弦 AB 过43椭圆 C1的右焦点.（）当AB x轴时，求 p、m 的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上；4（）若p 且抛物线 C2的焦点在直线 AB 上，求 m 的值及直线 AB 的方程.3参考答案：110：DCDAABCBCDC11.2n1,12.85,13.5,14.6,1
10、5.-3.1函数y log2x的定义域是log2x0，解得 x1，选 D.a (2,t),b (1,2),t 42向量若t t1时，ab，1；t t2时，a b，t2 1，选C.3(ax)3(1)210a3x3=80 x3，则实数a的值是 2，选 D（ax 1)5的展开式中x3的系数C534过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60，则截面圆的半径是1R=1，该截面的面积是，选 A.25若“a 1”，则函数f(x)|x a|=|x1|在区间1,)上为增函数；而若f(x)|x a|在区间1,)上为增函数，则 0a1，所以“a 1”是“函数f(x)
11、|x a|在区间1,)上为增函数”的充分不必要条件，选A.36在数字 1，2，3 与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，先排列 1，2，3，有A3 62种排法，再将“”，“”两个符号插入，有A2 2种方法，共有 12 种方法，选 B.7圆x2 y24x4y 10 0的圆心为(2，2)，半径为 32，圆心到到直线x y14 0的距离为|2214|2 532，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62，选2C.8设点P 是函数f(x)sinx的图象 C 的一个对称中心，若点P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值，最小正周期为，选 B.42y29 过双曲线M:x 21的左顶点A(1，0)
12、作斜率为 1 的直线l：y=x1,若l与双曲线Mby2的两条渐 近线x 2 0分别相交于 点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方 程组 代入消 元得b22x x 121b222(b 1)x 2x1 0，x1+x2=2x1x2，又|AB|BC|,则 B 为 AC 中x x 1121b21x c14点，2x1=1+x2，代入解得，b2=9，双曲线M的离心率 e=10，选 D.ax 12210如图，OMAB，点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OP xOA yOB，uuu rr11uuu由图知，x0，当 x=时，即OC=OA，P 点在线段44uu
13、u r1uuu ruuu r5uuu r135DE 上，CD=OB，CE=OB，而0 时，2.a2若x(,0)，则f(x)0，所以f(x)在区间(,)上是增函数；a22若x(0,)，则f(x)0，所以f(x)在区间(0,)上是减函数；aa22若x(,)，则f(x)0，所以f(x)在区间(,)上是增函数；aa（i i）当 a0 时，22若x(,)，则f(x)0，所以f(x)在区间(,)上是减函数；aa22若x(0,)，则f(x)0，所以f(x)在区间(0,)上是减函数；aa22若x(,0)，则f(x)0，所以f(x)在区间(,0)上是增函数；aa若x(0,)，则f(x)0，所以f(x)在区间(0
14、,)上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线y f(x)上的两点 A、B 的纵坐标为函数的极值，且函数y f(x)在x 0,x 24323处分别是取得极值f(0)1，f()21.aaaaa2因为线段 AB 与 x 轴有公共点，所以f(0)f()0.a即(4a2故(a1)(a3)(a4)0,且a 0.(a1)(a3)(a4)331)(1)0.所以 0.aaa2解得1a0 或 3a4.即所求实数 a 的取值范围是-1，0)3，4.20.解（）由已知得a410,a515，an n(n1)21（）因为bnn(n1).2anann2nn2n1 2 2,n 1,2,，an1ann2nn2n所以b1b2
15、bn 2n.又因为bnnn222 2,n 1,2,，n2nnn2111111所以b1b2 bn 2n2()()()1324nn222 2n3.n1n2综上，2n b1b2 bn 2n3,n 1,2,.=2n321.解（）当 ABx 轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，所以 m0，直线 AB 的方程为x=1，从而点 A 的坐标为（1，因为点 A 在抛物线上，所以此时 C2的焦点坐标为（33）或（1，）.2299 2p，即p.489，0），该焦点不在直线 AB 上.16（）解法一当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB的方程为y k(x1).y k(x1)由x2y2
16、消去 y 得(34k2)x28k2x4k212 0.13 4设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则 x1,x2是方程的两根，x1x28k23 4k2.yAOBx因为 AB 既是过 C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以AB (2AB (x1111x1)(2x2)4(x1 x2)，且222pp4)(x2)x1 x2 p x1 x2.22341 4(x1 x2).32从而x1 x28k21616所以x1x2，即.9934k2解得k2 6,即k 6.21因为 C2的焦点F(,m)在直线y k(x1)上，所以m k.33即m 当m 66.或m 336时，直线 AB 的方程为y
17、 6(x1)；36时，直线 AB 的方程为y 6(x1).3当m 解法二当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为y k(x1).828(y m)x2由3消去 y 得(kxk m)x.3y k(x1)2因为 C2的焦点F(,m)在直线y k(x1)上，3212k8所以m k(1)，即m k.代入有(kx)2x.3333424k2即k x(k2)x 0.3922设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则 x1,x2是方程的两根，x1x24(k22)3k2.y k(x1)由x2y2消去 y 得(34k2)x28k2x4k212 0.13 42由
18、于 x1,x2也是方程的两根，所以x1x28k34k2.从而4(k22)63k28k23 4k2.解得k2 6,即k .因为 C2的焦点F(23,m)在直线y k(x1)上，所以m 13k.即m 63或m 63.当m 63时，直线 AB 的方程为y 6(x1)；当m 63时，直线 AB 的方程为y 6(x1).解法三设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,因为 AB 既过 C1的右焦点F(1,0)，又是过 C2的焦点F(23,m)，所以AB (xp11)(xp22)x1 x2 p (22x(2121)2x2).即x21 x23(4 p)169.由（）知x，于是直线AB的斜率k y1 x22 y1xm02 x12 3m，31且直线AB的方程是y 3m(x1),所以y1 y2 3m(x1 x22)2m3.又因为3x124y1212，所以y y3(x1 x2)4(y1 y2)213x224y2212x x 0.21将、代入得m223，即m 663或m 3.当m 63时，直线 AB 的方程为y 6(x1)；当m 63时，直线 AB 的方程为y 6(x1).