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1、专题 14 解析几何(2）解析几何大题：10 年 10 考，每年 1 题命题的特点：20112015 年和 2019 年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018 年的载体连续 3 年都是抛物线，2010 年的载体是椭圆 1（2019 年）已知点A，B关于坐标原点O对称，AB|4，M过点A,B且与直线x+20相切（1）若A在直线x+y0 上，求M的半径；(2）是否存在定点P，使得当A运动时，MA|MP|为定值？并说明理由【解析】(1）M过点A,B且A在直线x+y0 上，点M在线段AB的中垂线xy0 上，设M的方程为：
2、（xa）2+（ya）2R2（R0),则 圆心M（a,a）到直线x+y0 的距离d22a，又AB|4，在 RtOMB中，d2+（12|AB）2R2,即2224R2a 又M与x2 相切，a+2R 由解得0R2a 或4R6a，M的半径为 2 或 6；(2)线段AB为M的一条弦O是弦AB的中点,圆心M在线段AB的中垂线上,设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2|MA|2，M与直线x+20 相切，|MA|x+2|，|x+2|2|OM2+OA|2x2+y2+4，y24x,M的轨迹是以F（1，0）为焦点x1 为准线的抛物线，MA|MP|x+2|MP|x+1|MP+1|MF|MP+1，当MA|MP
3、为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1,0），存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|MP为定值 2（2018 年）设抛物线C:y22x，点A(2,0）,B（2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN【解析】（1）当l与x轴垂直时，x2，代入抛物线解得y2,M(2，2）或M（2，2），直线BM的方程：y12x+1，或:y12x1（2)证明：设直线l的方程为l：xty+2，M（x1，y1），N（x2,y2），联立直线l与抛物线方程得222yxxty，消x得y22ty40，即y1+y22t,y1y24，则有kBN+kBM1
4、12yx+222yx 222112121222222yyyyyyxx1212122222y yyyxx0,直线BN与BM的倾斜角互补,ABMABN 3（2017 年)设A，B为曲线C：y24x上两点，A与B的横坐标之和为 4(1）求直线AB的斜率;（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【解析】（1）设A(x1,214x)，B（x2，224x）为曲线C:y24x上两点，则直线AB的斜率为k22121244xxxx14(x1+x2)1441；（2）设直线AB的方程为yx+t，代入曲线C：y24x，可得x24x4t0，即有x1+x24，x1x24t，再由
5、y24x的导数为y12x，设M（m,24m)，可得M处切线的斜率为12m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得12m1，解得m2，即M（2,1），由AMBM可得，kAMkBM1，即为221212114422xxxx1,化为x1x2+2（x1+x2）+200，即为4t+8+200，解得t7 则直线AB的方程为yx+7 4(2016 年）在直角坐标系xOy中,直线l:yt（t0）交y轴于点M，交抛物线C：y22px（p0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H（1）求；（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由【解析】（1）将直线l与抛物线方程联立，解得P（22tp，
6、t），M关于点P的对称点为N,2xx22tp，2yyt，N（2tp，t），ON的方程为yptx，与抛物线方程联立,解得H（22tp，2t)yy2；(2)由（1）知kMH2pt,直线MH的方程为y2ptx+t，与抛物线方程联立,消去x可得y24ty+4t20，16t244t20,直线MH与C除点H外没有其它公共点 5（2015 年)已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C:（x2)2+（y3）21 交于点M、N两点（1）求k的取值范围;(2)若12，其中O为坐标原点,求MN【解析】（1)由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程为ykx+1，即kxy+10 由已知可得圆C的圆
7、心C的坐标（2，3),半径R1 故由223 11kk 1,故当473k473，过点A（0,1)的直线与圆C：（x2）2+（y3）21 相交于M，N两点（2）设M（x1,y1)；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为ykx+1，代入圆C的方程（x2）2+（y3）21，可得(1+k2)x24（k+1）x+70，x1+x224 11kk，x1x2271k，y1y2（kx1+1)(kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+1271kk2+k24 11kk+12212411kkk,由x1x2+y1y22212481kkk12,解得 k1，故直线l的方程为 yx+1，即 xy+10
8、圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径 所以MN|2 6(2014 年)已知点P（2，2），圆C：x2+y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A，B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM时，求l的方程及POM的面积【解析】（1）由圆C：x2+y28y0，得x2+（y4）216,圆C的圆心坐标为（0,4）,半径为 4 设M（x,y），则C,4x y，2,2xy 由题意可得：C0 即x（2x）+（y4）（2y）0 整理得:（x1）2+(y3）22 M的轨迹方程是（x1）2+（y3）22(2）由(1）知M的轨迹是以点N(1,3）为圆心，2为半径的圆，由于OP|
9、OM|，故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上，从而ONPM kON3，直线l的斜率为13 直线PM的方程为1223yx,即x+3y80 则O到直线l的距离为2284 10513 又N到l的距离为1 1 3 3 810510 ，|PM2104 102 255 14 104 10162555S 7（2013 年）已知圆M：（x+1）2+y21，圆N:（x1）2+y29，动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C（1）求C的方程；（2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A，B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|【解析】(1）由圆M:（x+1）2+y21，可知圆心M（1，0
10、）；圆N：（x1）2+y29,圆心N（1，0），半径 3 设动圆的半径为R，动圆P与圆M外切并与圆N内切，|PM+|PNR+1+（3R)4，而NM|2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点,4 为长轴长的椭圆，a2，c1，b2a2c23 曲线C的方程为22143xy（x2）（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于PM|PN2R2312，所以R2，当且仅当P的圆心为（2，0)，R2 时,其半径最大,其方程为（x2）2+y24 l的倾斜角为 90，则l与y轴重合，可得AB2 3 若l的倾斜角不为 90，由于M的半径 1R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则1QRQr，可得Q（
11、4，0），所以可设l：yk(x+4），由l于M相切可得:2311kk，解得24k 当24k 时，联立22224143yxxy,得到 7x2+8x80 1287xx，1287x x|AB|2211kxx2228818144777 ,由于对称性可知：当24k 时，也有|AB187 综上可知：AB2 3或187 8（2012 年）设抛物线C：x22py（p0)的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点（1）若BFD90，ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比
12、值【解析】(1）由对称性知:BFD是等腰直角，斜边BD|2p 点A到准线l的距离FF2dp ，ABD的面积SABD4 2，11D224 222dpp，解得p2,所以F坐标为（0，1），圆F的方程为x2+（y1）28（2)由题设200,2xxp（00 x），则F 0,2p，A，B，F三点在同一直线m上,又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称 由点A,B关于点F对称得：200,2xxpp 2022xppp 2203xp，得:33,2pp，直线m:32223pppyxp3302pxy，22xpy22xyp33xyp3xp切点3,36pp，直线n：33633ppyx3306xyp,坐标原点到m,n距
13、离的比值为32p：336p 9(2011 年)在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x+1 与坐标轴的交点都在圆C上（1)求圆C的方程；（2）若圆C与直线xy+a0 交与A，B两点，且OAOB，求a的值【解析】（1）法一：曲线yx26x+1 与y轴的交点为（0，1)，与x轴的交点为(3+22，0)，（322，0）可知圆心在直线x3 上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有 32+（t1)2（22)2+t2,解得t1，故圆C的半径为22313t，所以圆C的方程为（x3)2+(y1）29 法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F0，x0,y1 有 1+E+F0，y0,x2 6x+10 与x2+Dx+F0
14、 是同一方程,故有D6，F1，E2，即圆方程为x2+y26x2y+10（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组220319xyaxy，消去y,得到方程 2x2+（2a8）x+a22a+10,由已知可得判别式5616a4a20 在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x24a，x1x22212aa,由于OAOB可得x1x2+y1y20，又y1x1+a，y2x2+a，所以可得 2x1x2+a(x1+x2)+a20 由可得a1，满足5616a4a20故a1 10(2010 年）设F1，F2分别是椭圆E：x2+22yb1（0b1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且A
15、F2|，|AB|，BF2|成等差数列（1)求AB|；（2）若直线l的斜率为 1,求b的值【解析】（1）由椭圆定义知AF2+AB|+|BF24，又 2AB|AF2|+|BF2，得43 （2）l的方程式为yx+c，其中21cb,设A(x1,y1）,B（x2,y2）,则A,B两点坐标满足方程组2221yxcyxb,化简得（1+b2）x2+2cx+12b20 则12221cxxb,2122121bx xb 因为直线AB的斜率为 1,所以212 xx，即21423xx 则22421212222224 14 1 28849111bbbxxx xbbb 解得22b 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集
16、整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.