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1、专题 7 立体几何（2)立体几何大题:10 年 10 考，每年 1 题第 1 小题多为证明垂直问题，第 2 小题多为体积计算问题（2014 年是求高)1（2019 年）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA14，AB2，BAD60，E,M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE;（2）求点C到平面C1DE的距离 【解析】（1)连结B1C，ME,M，E分别是BB1，BC的中点，MEB1C，又N为A1D的中点,ND12A1D，由题设知A1B1/DC,B1C/A1D，ME/ND,四边形MNDE是平行四边形，MNED，又MN 平面C1DE,MN平面C1DE(2
2、）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DEBC,DEC1C，DE平面C1CE，故DECH，CH平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离,由已知可得CE1，CC14，C1E17，故CH4 1717，点C到平面C1DE的距离为4 1717 2(2018 年）如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3,ACM90，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明:平面ACD平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ23DA,求三棱锥QABP的体积 【解析】（1）在平行四边形ABCM中，ACM90，ABAC，又ABDA且ADACA，AB面AD
3、C，AB 面ABC，平面ACD平面ABC；（2）ABAC3，ACM90，ADAM3 2，BPDQ23DA2 2,由（1)得DCAB，又DCCA，DC面ABC，三棱锥QABP的体积V11DC33S C121DC333S12113 333323 1 3(2017 年）如图，在四棱锥PABCD中,ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积 【解析】（1）在四棱锥PABCD中,BAPCDP90,ABPA，CDPD，又ABCD,ABPD，PAPDP,AB平面PAD，AB 平面PAB，平面PAB平面
4、PAD（2)设PAPDABDCa，取AD中点O,连结PO,PAPDABDC,APD90，平面PAB平面PAD，PO底面ABCD，且AD22aa2a，PO22a，四棱锥PABCD的体积为83，由AB平面PAD,得ABAD，VPABCDCD13S四边形1D312232aaa 313a83,解得a2，PAPDABDC2，ADBC2 2,PO2，PBPC442 2，该四棱锥的侧面积：S侧SPAD+SPAB+SPDC+SPBC 1D2+12+1DDC2+221CC22 11112 22 22 22 2822222 6+2 3 4(2016 年)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P
5、在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积 【解析】(1）PABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影,PD平面ABC，则PDAB，又E为D在平面PAB内的正投影，DE面PAB，则DEAB,PDDED，AB平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则ABPG,又PAPB，G是AB的中点;（2）在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影 正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PBPA，PBPC
6、,又EFPB,所以EFPA,EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心 由（1）知,G是AB的中点，所以D在CG上,故CD23CG 由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB，所以DEPC，因此PE23PG，DE13PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2,PG3 2，PE2 2 在等腰直角三角形EFP中,可得EFPF2 所以四面体PDEF的体积V13DESPEF132122243 5(2015 年）如图,四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点,BE平面ABCD(1)证明：平面A
7、EC平面BED；(2）若ABC120,AEEC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积 【解析】（1）四边形ABCD为菱形,ACBD,BE平面ABCD，ACBE，则AC平面BED，AC 平面AEC,平面AEC平面BED；（2)设ABx,在菱形ABCD中，由ABC120，得AGGC32x，GBGD2x,BE平面ABCD，BEBG，则EBG为直角三角形，EG12ACAG32x，则BE22GG22x，三棱锥EACD的体积V11C GD32 3624x63,解得x2，即AB2，ABC120,AC2AB2+BC22ABBCcosABC4+4212 22 12，即AC2 3，在三个直角三角形EBA
8、,EBD，EBC中，斜边AEECED，AEEC，EAC为等腰三角形,则AE2+EC2AC212,即 2AE212，AE26,则AE6,从而得AEECED6，EAC的面积S11C66223，在等腰三角形EAD中，过E作EFAD于F，则AE6，AF1D21212，则EF 22615，EAD的面积和ECD的面积均为S1252 5，故该三棱锥的侧面积为 3+2 5 6（2014 年）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若ACAB1,CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高 【解析】（1）连接BC1，
9、则O为B1C与BC1的交点，侧面BB1C1C为菱形,BC1B1C,AO平面BB1C1C，AOB1C，AOBC1O，B1C平面ABO,AB 平面ABO，B1CAB；(2）作ODBC，垂足为D，连接AD，作OHAD，垂足为H，BCAO，BCOD，AOODO，BC平面AOD，OHBC，OHAD，BCADD，OH平面ABC，CBB160，CBB1为等边三角形，BC1，OD34，ACAB1，OA12B1C12,由OHADODOA，可得AD22D74，OH2114,O为B1C的中点,B1到平面ABC的距离为217，三棱柱ABCA1B1C1的高217 7（2013 年）如图,三棱柱ABCA1B1C1中，CA
10、CB，ABAA1,BAA160（1）证明：ABA1C;(2）若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积 【解析】（1）如图，取AB的中点O,连结OC,OA1，A1B 因为CACB,所以OCAB 由于ABAA1，160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB 因为OCOA1O，所以AB平面OA1C 又A1C 平面OA1C，故ABA1C；（2）由题设知ABC与AA1B都是边长为 2 的等边三角形，所以1C3 又1C6，则22211CC,故OA1OC 因为OCABO,所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高 又ABC的面积C3S，故三棱柱ABCA1B1C1的体积C1V3
11、33S 8（2012 年）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面,ACB90，ACBC12AA1，D是棱AA1的中点（1）证明：平面BDC1平面BDC（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 【解析】（1）由题意知BCCC1，BCAC，CC1ACC,BC平面ACC1A1，又DC1 平面ACC1A1，DC1BC 由题设知A1DC1ADC45,CDC190，即DC1DC，又DCBCC,DC1平面BDC,又DC1 平面BDC1,平面BDC1平面BDC;（2）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1，由题意得V11121 132 12，又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1,（VV1
12、）：V11:1，平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为 1：1 9（2011 年）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形DAB60，AB2AD,PD底面ABCD（1）证明：PABD；（2）设PDAD1，求棱锥DPBC的高 【解析】（1）因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BD3 D，从而BD2+AD2AB2，故BDAD，又PD底面ABCD，可得BDPD,所以BD平面PAD故PABD(2）解：作DEPB于E，已知PD底面ABCD，则PDBC，由(1）知，BDAD，又BCAD，BCBD 故BC平面PBD，BCDE，则DE平面PBC 由题设知PD1,则BD3，PB2 根据DEPBPDB
13、D，得DE32,即棱锥DPBC的高为32 10（2010 年）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高(1)证明：平面PAC平面PBD;（2）若AB6,APBADB60，求四棱锥PABCD的体积 【解析】（1)因为PH是四棱锥PABCD的高 所以ACPH，又ACBD,PH,BD都在平PHD内，且PHBDH 所以AC平面PBD 故平面PAC平面PBD（2)因为ABCD为等腰梯形,ABCD,ACBD，AB6 所以HAHB3 因为APBADB60，所以PAPB6,HDHC1 可得PH3 等腰梯形ABCD的面积为S12ACBD2+3,所以四棱锥的体积为
14、V13（2+3）332 33 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.