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1、 上海市普陀区 2019届高三下学期 4 月二模试题-数学-作者:_ -日期:_ 2 上海市普陀区 2019 高三数学二模试卷 一、填空题（每小题 4 分，共 56 分）1已知集合221,0,1xxBaA，若AB ，则实数a的取值范围是 2函数cos()sin()yxx的最小正周期为 3在等差数列na中，已知,13,2321aaa则654aaa 4若2tan，是直线bkxy的倾斜角，则=（用的反正切表示）5设(12i)34iz（i 为虚数单位），则|z 6直角坐标系xoy内有点 A（2，1），B（0，2），将线段AB绕直线1y 旋转一周，所得到几何体的体积为 7.已知平面向量1122(,),(
2、,)ax ybxy，若2,3,6aba b，则1122xyxy 8设1,0aa，行列式34210231Dxa中第 3 行第 2 列的代数余子式记作y，函数 xfy 的反函数经过点 1,2，则 a=9某学生参加 3 门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为45，3,525，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 10已知P是椭圆22221(0)xyabab上的一点，12,F F为椭圆的左、右焦点，则1211PFPF的最小值为 11已知na是等差数列，设nnaaaT21()nN某学生设计了一个求nT的算法框图（如图），图中空白处理框中
3、是（第 11 题结束 开输入 n n5 Tnn2输出Y N 3 用n的表达式对nT赋值，则空白处理框中应填入：nT_ 12不等式12sinxayx对一切非零实数,x y均成立，则实数a的范围为 13平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义11,P x y、22,Q xy两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Qxxyy，已知点1,0B，点 M 是直线30(1)kxykk上的动点，(,)d B M的最小值为 14当n为正整数时，用()N n表示n的最大奇因数，如(3)3,(10)5,NN，设(1)(2)(3)(4)(21)(2)nnnSNNNNNN，则数列1(2)nnSSn的前n项和的表
4、达式为 二、选择题（每小题 5 分，共 20 分）15已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（）（A）若l,ml,则m；（B）若/l,m,则 ml/；（C）若l,/m,则 ml；（D）若l,ml,则/m；16以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（）（A）笛卡儿解析几何；（B）帕斯卡概率论；（C）康托尔集合论；（D）祖暅之复数论；17已知各项均不为零的数列na,定义向量1(,)nnna ac，(,1)nn nb，*nN.下列命题中真命题是（）(A)若*nN总有/nncb成立，则数列na是等差数列(B)若*nN总有/nncb成立，则数列na是等比数列(C)若*nN总有nncb成
5、立，则数列na是等差数列(D)若*nN总有nncb成立，则数列na是等比数列 4 18方程sincos0 xxx的正根从小到大地依次排列为12,na aa，则正确的结论为（）（A）102nnaa（B）1212nnnaaa （C）1212nnnaaa （D）1212nnnaaa 三、解答题（12+14+14+16+18，共 74 分）19已知向量wxabwxasin3,1,1,cos1（w为常数且0w），函数 baxf在R上的最大值为2（1）求实数a的值；（2）把函数 xfy 的图象向右平移6w个单位，可得函数 xgy 的图象，若 xgy 在4,0上为增函数，求w的最大值 20已知三棱柱111A
6、BCABC的侧棱与底面垂直，11,AAABACABAC M是1CC的中点，N是BC的中点，点P在11AB上，且满足111APAB（1）证明：PNAM；（2）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。1A P 1B B 1C 5 21近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为 10万件，每件小挂件的销售价格平均为 100元，生产成本为 80 元。从今年起工厂投入 100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本，预计产量每年递增 1 万件。设第 n年每件小挂件的生产成本80()1g nn元，若玉制产品的销售价格不变，第 n年的年利
7、润为万元（今年为第 1年）（1）求利润的表达式()f n;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？6 22存在对称中心的曲线叫做有心曲线显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径（1）已知点11,2P，求使PAB面积为72时，椭圆2213xy的直径AB所在的直线方程；（2）若过椭圆2213xy的中心作斜率为k的直线交椭圆于,M N两点，且椭圆的左、右焦点分别为12,F F，若以M为圆心，2MF长度为半径作M，问是否存在定圆R，使得M恒与R相切？若存在，求出R的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆221xy的一条直径的两个
8、端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1请对上述定理进行推广说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分 23已知数列 na中，10a，*13()2nnaanN（1）试求1a的值，使数列 na是一个常数列；7（2）试求1a的取值范围，使得数列 na是单调增数列；（3）若 na不为常数列，设*1()nnnbaanN，nS为数列 nb的前n项和，请你写出1a的一个值，使得12nS 恒成立，并说明理由。上海市普陀区 2019 高三数学二模试卷答案 一、填空题（每小题 4 分，共 56 分）1已知集合221,0,1xxBaA，若AB ，则实数a
9、的取值范围是 2函数cos()sin()yxx的最小正周期为 3在等差数列na中，已知,13,2321aaa则654aaa 4若2tan，是直线bkxy的倾斜角，则=（用的反正切表示）5设(12i)34iz（i 为虚数单位），则|z 6直角坐标系xoy内有点 A（2，1），B（0，2），将线段AB绕直线1y 旋转一周，所得到几何体的体积为 7.已知平面向量1122(,),(,)ax ybxy，若2,3,6aba b，则1122xyxy 8设1,0aa，行列式34210231Dxa中第 3 行第 2 列的代数余子式记作y，函数 xfy 的反函数经过点 1,2，则 8 9某学生参加 3 门课程的考
10、试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为45，3,525，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 10已知P是椭圆22221(0)xyabab上的一点，12,F F为椭圆的左、右焦点，则1211PFPF的最小值为 11已知na是等差数列，设nnaaaT21()nN某学生设计了一个求nT的算法框图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对nT赋值，则空白处理框中应填入：nT_ 12不等式12sinxayx对一切非零实数,x y均成立，则实数a的范围为 13平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义11,P x y、22,Q xy两点之间的“直
11、角距离”为1212(,)d P Qxxyy，已知点1,0B，点 M 是直线30(1)kxykk上的动点，(,)d B M的最小值为 14当n为正整数时，用()N n表示n的最大奇因数，如(3)3,(10)5,NN，设(1)(2)(3)(4)(21)(2)nnnSNNNNNN，则数列1(2)nnSSn的前n项和的表达式为 二、选择题（每小题 5 分，共 20 分）15已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（）（A）若l,ml,则m；（B）若/l,m,则 ml/；（C）若l,/m,则 ml；（D）若l,ml,则/m；16以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（）（第 11题结束
12、开输入 n n5 Tnn2输出Y N 9（A）笛卡儿解析几何；（B）帕斯卡概率论；（C）康托尔集合论；（D）祖暅之复数论；17已知各项均不为零的数列na,定义向量1(,)nnna ac，(,1)nn nb，*nN.下列命题中真命题是（）(A)若*nN总有/nncb成立，则数列na是等差数列(B)若*nN总有/nncb成立，则数列na是等比数列(C)若*nN总有nncb成立，则数列na是等差数列(D)若*nN总有nncb成立，则数列na是等比数列 18方程sincos0 xxx的正根从小到大地依次排列为12,na aa，则正确的结论为（）（A）102nnaa （B）1212nnnaaa （C）1
13、212nnnaaa （D）1212nnnaaa 三、解答题（12+14+14+16+18，共 74 分）19已知向量wxabwxasin3,1,1,cos1（w为常数且0w），函数 baxf在R上的最大值为2（1）求实数a的值；（2）把函数 xfy 的图象向右平移6w个单位，可得函数 xgy 的图象，若 xgy 在4,0上为增函数，求w的最大值 20已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，11,AAABACABAC M是1CC的中点，N是BC的中点，点P在11AB上，且满足111APAB（1）证明：PNAM；（2）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。1
14、0 21近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为 100元，生产成本为 80元。从今年起工厂投入 100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1 万件。设第 n年每件小挂件的生产成本80()1g nn元，若玉制产品的销售价格不变，第 n年的年利润为万元（今年为第 1年）（1）求利润的表达式()f n;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？11 22存在对称中心的曲线叫做有心曲线显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径（1）已知点11,2
15、P，求使PAB面积为72时，椭圆2213xy的直径AB所在的直线方程；（2）若过椭圆2213xy的中心作斜率为k的直线交椭圆于,M N两点，且椭圆的左、右焦点分别为12,F F，若以M为圆心，2MF长度为半径作M，问是否存在定圆R，使得M恒与R相切？若存在，求出R的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆221xy的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1请对上述定理进行推广说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分 23已知数列 na中，10a，*13()2nnaanN（1）试求1a的值，使数列 na是一个常数列
16、；12（2）试求1a的取值范围，使得数列 na是单调增数列；（3）若 na不为常数列，设*1()nnnbaanN，nS为数列 nb的前n项和，请你写出1a的一个值，使得12nS 恒成立，并说明理由。1、(0,1)2、3、42 4、arctan 2 5、5 6、23 7、23 8、4a 9、37125 10、2a 11、2940nn 12、1,3 13、32 (1)kk 14、1443n 15、C 16、D 17、A 18、B 解：（1）()1cos3sin2sin()16f xxaxxa 因为函数()f x在R上的最大值为2，所以32a故1a （2）由（1）知：6sin2wxxf，把函数 6s
17、in2wxxf的图象向右平移w6个单位，可得函数()2sinyg xx又()yg x在0,4上为增函数，()g x的周期2Tw即02w 所以w的最大值为 2 解：(1)以1,AB AC AA分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系Axyz则111111(,1),0,1,.()01 10,.222222PNAMPN AMPNAM 1A P 1B B N 1C 13（2）显然平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n 则21sincos,15()24PN nPN nPN n（*）于是问题转化为二次函数求最值，而0,2，当最大时，sin最大，即tan最大()2除外，由（*）式：解：（1）8080(10
18、)()(10)100(10)100100011nf nnnnnn（2）80(10)()10001nf nn，故9100080(1)1ynn，当8n 时，()f n最大，最高利润为 520 万元。时，maxmax2 5(sin),(tan)25解：（1）设直线AB的方程为ykx，代入椭圆方程得22113xk，则222112,2113kkdABkk 解2221172412133kkkSkk得23k 故直线AB的方程为23yx （2）存在R：22(2)12xy与M恒相切，圆心N为椭圆的左焦点.1F由椭圆的定义知，1222 3MFMFa122 3.MFMF两圆相内切。（3）根据结论的一般性程度给与不同
19、的评分（问题1-4 层）过圆2220 xyrr的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1 14 若过圆2220 xaybrr的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1过椭圆222210,0 xyabab的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值22ba过有心圆锥曲线221(0)mxnymn的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值mn证明：设曲
20、线上任一直径,AB P为异于,A B的曲线上任一点。设11111111,APBPyyyyA x yBxyP x ykkxxxx，因为,A P在曲线上，所以221221APBPyykkxx mn 解：（1）由132nnnaaa及0,na 得3.2na 132a时，na为常数数列。(2)1nnaa=13322nnaa11.33222nnnnaaaa13320,22nnaa 1nnaa与1nnaa同号。要使1nnaa对任意正整数 n 都成立，只须210,aa即113,2aa解得130.2a当1302a时，1nnaa对任何正整数n成立。（3）选择12a 时，由（2）的结论知10.nnaa 1221321213211112.nnnnnnnnSbbbaaaaaaaaaaaaaaa 又121,32nnnaaa解得13.2na故1312222nnSa