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1、.XX 省 XX 中英文学校 2019-2020 学年高二数学上学期全科竞赛试题 考试时间：120 分钟；试卷满分：150 分 第卷选择题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的特点,问第 100 项为 A.10 B.14 C.13 D.100 2.已知实数x,y满足 ,若直线kxy+1=0经过该可行域,则实数k的最大值是 A.1 B.C.2 D.3 3.设数列an、bn都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37等于 A.0 B.37
2、C.100 D.37 4.已知等差数列中,前 n 项和为,若,则等于 A.12 B.33 C.66 D.11 5.若实数 x、y 满足 ,则 Z=的取值范围为 A.,4 ,+B.,2 ,+C.2,D.4,6.等差数列an的前三项依次为 a1,a+1,2a+3,则此数列的第 n 项 an=A.2n5 B.2n3 C.2n1 D.2n+1 7.若 3a+4b=ab,a0 且 b0,则 a+b 的最小值是 A.B.C.D.8.已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c,若3 cos2 cosaCcA,1tan3A,则角B的度数为 A120 B135 C60 D45.9.已知等比数列 na
3、的n前项积为nT,若2228loglog2aa,则9T的值为 A.512 B.512 C.1024 D.1024 10.在ABC 中,内角 A,B 所对的边分别为 a,b,若 acos Abcos B,则ABC 的形状一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 11.在等比数列an中,a1an34,a2an164,且前 n 项和 Sn62,则项数 n 等于 A.4 B.5 C.6 D.7 12.满足45,6,2Aca的ABC的个数记为m,则ma的值为 A.4 B.2 C.1 D.无法确定 第卷非选择题 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,
4、共 20 分把答案填在题中横线上 13.已知 0 x1,则函数 的最小值为 14.若不等式22492kxyxy对一切正数,x y恒成立,则整数k的最大值为_ 15.设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,320 cosbaA,则sin:sin:sinABC为_ 16.设等差数列的前 14 项和,已知均为正整数,则公差_.三、解答题本大题共 6 小题,70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.本小题满分 10 分 设 z=2y2x+4,式中 x,y 满足条件 ,求 z 的最大值和最小值 18.本小题满分 12 分 设数列an的前
5、 n 项和是 Sn,若点 Ann,在函数 fx=x+c 的图象上运动,其中 c 是与 x无关的常数,且 a1=3nN*1 求数列an的通项公式；2 记 bn=aan,求数列bn的前 n 项和 Tn的最小值 .19.本小题满分 12 分在ABC 中,1 已知 a=2bsinA,求 B；2 已知 a2+b2+ab=c2,求 C 20.本小题满分 12 分设数列 na的前n项和为nS,11a,*11,1nnaSnN,且1a、22a、33a 成等差数列.1 求数列 na的通项公式；2 设nnbn a,求数列 nb的前n项和nT.21.本小题满分 12 分设 2sin coscos4fxxxx.求 f
6、x的单调区间；在锐角ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c,若0,12Afa,求ABC面积的最大值.22.本小题满分 12 分已知函数 2f xxax aR.1 若2a,求不等式 3f x 的解集；2 若1,x时,22f xx 恒成立,求a的取值范围.参数答案 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A 13.9 14.3 15.6:5:4 16.-1 17.解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2y2x+4 得 y=x+,平移直线 y=x+,由图象可知当直线 y=x+经过点 A0,2 时,直线 y=x+的截距最大,此时
7、 z 最大,zmax=22+4=8 直线 y=x+经过点 B 时,直线 y=x+的截距最小,此时 z 最小,由 ,解得 ,即 B1,1,此时 zmin=22+4=4,即 z 的最大值是 8,最小值是 4 解析17.作出不等式组对应的平面区域,由 z=2y2x+4 得 y=x+,利用数形结合即可的得到结论 18.1 解：点 Ann,在函数 fx=x+c 的图象上运动,其中 c 是与 x 无关的常数,且 a1=3nN*.=n+c,即 Sn=n2+cn,n=1 时,a1=S1=1+c=3,解得 c=4 当 n2 时,an=SnSn1=n2+4nn12+4n1=2n+5,n=1 时也成立 an=2n+
8、5 2 解：bn=a =a2n+5=22n+5+5=4n5 n=1 时,b1=10；n2 时,bn0 因此,当 n=1 时,数列bn的前 n 项和 Tn取得最小值1 解析18.1 由已知可得：=n+c,即 Sn=n2+cn,再利用递推关系即可得出 2bn=a =a2n+5=4n5可知：n=1 时,b1=10；n2 时,bn0即可得出 考点精析通过灵活运用数列的前 n 项和和数列的通项公式,掌握数列an的前 n 项和 sn与通项 an的关系；如果数列 an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题 19.1 解：a=2bsinA,由正弦定理
9、可得：sinA=2sinBsinA,sinA0,化为 sinB=,B0,B=或 2 解：a2+b2+ab=c2,cosC=,又 C0,C=解析19.1 由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA,sinA0,化为 sinB=,即可得出；2 利用余弦定理即可得出 考点精析通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义,掌握正弦定.理:；余弦定理:;即可以解答此题 20.12nna1 21nnTn 解析20.试题分析：由11nnaS可得112nnaSn,两式相减,验证1a 即可得结论；结合可得12nnnbnan,利用错位相减法求解即可.试题解析：11nnaS*nN,112nnaSn,1nnnaaa,
10、即11nnaa2n,10,又11a,2111aS,数列 na是以 1 为首项,公比为1的等比数列,231a,241113,整理得2210,得1,12nna 12nnnbnan,1211 12 23 22nnTn ,12121 22 21 22nnnTnn ,得2112222nnnTn 1 12212nnn,整理得1 21nnTn 21.I 单调递增区间是,44kkkZ；单调递减区间是3,44kkkZ.IIABC 面积的最大值为234.解析21.试题分析：将已知函数解析式用二倍角公式化简可得 1sin22fxx,将整体角2x分别代入正弦函数的单调增区间和单调减区间内,求得x的范围即为所求由02A
11、f可得sinA的值,从而可得cosA由余弦定理可得2222cosabcbcA,由基本不等式可得bc的范围,从而可得三角形面积的最大值 试题解析：解：由题意知 1 cos 2sin2222xxf x sin21 sin21sin2222xxx 由222,22kxkkZ可得,44kxkkZ 由3222,22kxkkZ可得3,44kxkkZ 所以函数 f x的单调递增区间是,44kkkZ；单调递减区间是3,44kkkZ 由1sin0,22AfA得1sin2A 由题意知A为锐角,所以3cos2A 由余弦定理：2222cosabcbcA 可得：22132bcbcbc即：23,bc 当且仅当bc时等号成立 因此123sin24bcA所以ABC面积的最大值为234 22.1|1x x 或3x；2,4.解析22.试题分析：1 将a的值代入函数,解不等式即可；2 先分离参数,再构造新函数 12h xxx,结合函数的性质和恒成立的条件可得a的取值范围.试题解析：1 若 2,3af x 即2230,310 xxxx 所以原不等式的解集为|1x x 或3x 2 22f xx 即12axx在1,x时恒成立,令 12h xxx,等价于 minah x在1,x时恒成立,又 11244h xxxxx,当且仅当1xx即1x 等号成立,所以4a.故所求a的取值范围是,4.