第十一章第9节.pdf

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1、 第十一章 第 9 节 第 2 页 第 9 节 离散型随机变量的均值与方差 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn(1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差 称 D(X)i1n(xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值E(X)的平均偏离程度，

2、其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p).(2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p).诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()(4)均值与方差都是

3、从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回 第 3 页 事.()解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则 X 的数学期望 E(X)()A.32 B.2 C.52 D.3 解析 由数学期望公式可得 E(X)1352310311032.答案 A 3.(选修 23P68A1 改编)已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 12 13 16 设 Y2X3，则 E(Y)的值为(

4、)A.73 B.4 C.1 D.1 解析 E(X)121613，E(Y)E(2X3)2E(X)323373.答案 A 4.设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)15(k2，4，6，8，10)，则 D(X)等于()A.5 B.8 C.10 D.16 解析 因为 E(X)15(246810)6，所以 D(X)15(4)2(2)20222428.答案 B 第 4 页 5.(2019北京海淀区月考)如果随机变量 XB(n，p)，且 E(X)7，D(X)6，则p_.解析 因为随机变量 XB(n，p)，且 E(X)7，D(X)6，所以np7，np（1p）6，解得 p17.答案 17 考点一 离散型随机变量

5、的均值与方差【例 1】(2019青岛一模)为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为14，16；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过 3 小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求 的分布列与数学期望 E()，方差 D().解(1)两人所付费

6、用相同，相同的费用可能为 0，40，80 元，两人都付 0 元的概率为 P11416124，两人都付 40 元的概率为 P2122313，两人都付 80 元的概率为 P311412116231416124，则两人所付费用相同的概率为 PP1P2P312413124512.(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为 0，40，80，120，160，则：P(0)1416124；P(40)1423121614；第 5 页 P(80)141612231416512；P(120)1216142314；P(160)1416124.的分布列为 0 40 80 120 160 P 124 14 512 14

7、 124 E()01244014805121201416012480.D()(080)2124(4080)214(8080)2512(12080)214(16080)21244 0003.规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用.【训练 1】(2019蚌埠二模)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有 5，6，7，8，9 的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机

8、摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的 2 倍作为其奖金(单位：元).若随机变量 X 和 Y分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则 E(X)E(Y)_元.解析 根据题意可得 P(Xk)15(k5，6，7，8，9)，可得 E(X)15(56789)7(元).Y 的取值可能为 2，4，6，8，其中 P(Y2)4C2525，P(Y4)3C25310，P(Y6)2C2515，第 6 页 P(Y8)1C25110，所以 E(Y)225431061581104(元).故 E(X)E(Y)743(元).答案 3 考点二 与二项分布有关的均值与方差【例 2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录

9、，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望 E(X)及方差 D(X).解(1)设 A1表示事件“日销售量不低于 100 个”，A2表示事件“日销售量低于50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100个且另 1 天的日销售量低于 50 个”，因此 P(A1)(0.0060.0

10、040.002)，P(A2，P(B20.108.(2)X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为 P(X0)C03(10.6)3，P(X1)C13(10.6)2，P(X2)C232，P(X3)C3330.216.分布列为 X 0 1 2 3 P 因为 XB(3)，所以数学期望 E(X)3，方差 D(X)3(10.6)0.72.第 7 页 规律方法 二项分布的期望与方差.(1)如果 B(n，p)，则用公式 E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b 以及 E()

11、np 求出 E(ab)，同样还可求出D(ab).【训练 2】(2019长沙调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，)，)，)，)，分为 5 组，其频率分布直方图如图所示.(1)求图中 a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数 x 和方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；，用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取 3 个，其中优质果实的个数为X，求 X 的分布列和数学期望 E(X).解(1)组距 d5，由 5(0.020.040.075a)1 得 a0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为 中点值 30 35 40 45 50 频

12、率 x300.1350.2400.375450.255040，s2(10)2(5)2025210228.75.(3)由已知，这种植物果实的优质率 p，且 XB(3)，故其分布列为 P(Xk)Ck3k(10.9)3k(k0，1，2，3)，X 的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)np2.7.考点三 离散型随机变量的均值、方差 第 8 页(多维探究)命题角度 1 求实际问题的分布列与期望【例 31】(2019天津卷)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X

13、 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.解(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，P(X0)11211311414，P(X1)1211311411213114112113141124，P(X2)11213141211314121311414，P(X3)121314124.所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量 X 的数学期望 E(X)0141112421431241312.(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

14、 P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)1411241124141148.所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148.命题角度 2 均值与方差的应用问题【例 32】某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也 第 9 页 可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，

15、13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解 若按“项目一”投资，设获利为 X1万元.则 X1的分布列为 X1 300 150 P 79 29 E(X1)30079(150)29200(万元).若按“项目二”投资，设获利 X2万元，则 X2的分布列为：X2 500 300 0 P 35 13 115 E(X2)50035(300)130115200(万元).D(X1)(300200)279(150200)22935 000，D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2115140 000.所以 E(X1)E(X2)，D(X1)74

16、，则 p 的取值范围是_.解析 由已知得 P(Y1)p，P(Y2)(1p)p，P(Y3)(1p)2，则 E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p374，解得 p52或 p12，又 p(0，1)，所以 p0，12.答案 0，12 13.(2019衡水中学调研)某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1，2，8，其中 X5 为标准 A，X3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数 X1的分布列为 X1 5 6 7

17、8 P a b 且 X1的数学期望 E(X1)6，求 a，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望；(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？并说明理由.注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性.第 17 页 解(1)E(X1)

18、50.46a7b80.16，即 6a7b，由 X1的分布列性质得 0.4ab0.11，即 ab，两式联立，解得a，b0.2.(2)由已知得，样本的频率分布如下表：等级系数 X2 3 4 5 6 7 8 样本频率 f 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2的分布列为 X2 3 4 5 6 7 8 P 所以 E(X2)30.340.250.260.170.18，即乙厂产品的等级系数的数学期望为 4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望为 6，零售价为 6 元/件，所以其性价比为661，零售价为 4 元/件，所以其性价比为错误!，据此，乙厂的产品更具可购买性.