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1、 第五章 三角函数 5.4 三角函数图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识探新知 基础知识 知识点 1 正弦、余弦函数的最值 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的_定义域_都是实数集 R，_值域_都是1,1 对于正弦函数ysinx，xR 有：当且仅当x22k，kZ 时，取得最大值 1；当且仅当x22k，kZ 时，取得最小值1.对于余弦函数ycosx，xR 有：当且仅当x2k，kZ 时，取得最大值 1；当且仅当x(2k1)，kZ 时，取得最小值1.思考 1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？(2)从图象的变化趋势来看，正
2、弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为 R，值域为1,1(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方 知识点 2 正弦、余弦函数的单调性(1)正弦函数ysinx的增区间为2k2，2k2(kZ)；减区间为2k2，2k32(kZ)(2)余弦函数ycosx的增区间为2k，2k(kZ)；减区间为2k，2k(kZ)思考 2：(1)正弦函数在2，32上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？(2)余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：(1)观察图象可知：当x2，2时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由1 增大到 1
3、；当x2，32时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由 1 减小到1.推广到整个定义域可得 当x22k，22k(kZ)时，正弦函数ysinx是增函数，函数值由1 增大到 1；当x22k，322k(kZ)时，正弦函数ysinx是减函数，函数值由 1 减小到1.(2)观察图象可知：当 x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx 的值由1 增大到 1；当 x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx 的值由 1 减小到1.推广到整个定义域可得 当 x2k，2k，kZ 时，余弦函数 ycosx 是增函数，函数值由1 增大到 1；当 x2k，(2k1)，kZ 时，余弦函数 ycosx 是减函数，函数值由
4、 1 减小到1.基础自测 1在下列区间中，使函数ysinx为增函数的是(C)A0，B2，32 C2，2 D，2 2下列函数中在(,)2上是增函数的是(D)Aysinx Bycosx Cysin2x Dycos2x【解析】ysinx在(,)2上是减函数，不满足条件ycosx在(,)2上是减函数，不满足条件ysin2x的周期是，在(,)2上不单调，不满足条件ycos2x的周期是，在(,)2上是增函数，满足条件 3函数y3sin()4x的一个单调递减区间为(B)A,2 2 B3,44 C37,44 D3.44 【解析】y3sin()4x3sin()4x，检验各选项可知，只有 B 项所给区间是单调递减
5、区间，故选 B 4函数 y2sinx 取得最大值时 x 的值为_2_.【解析】y2sinx，当 sinx1 时，ymax3，此时x2k2(kZ)5函数ysinx(6x43)的值域为_3,12_.关键能力攻重难 题型探究 题型一三角函数的单调区间【例 1】求下列函数的单调递减区间：(1)y12cos(2x3)；(2)y3sin63x)【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间【解析】(1)令z2x3，而函数ycosz的单调递减区间是2k，2k(kZ)当原函数单调递减时，可得 2k2x32k(kZ)，解得k6xk3(kZ)
6、原函数的单调递减区间是k6，k3(kZ)(2)y3sin(63x)3sin(3x6)令z3x6，则y3sinz，由y3sinz的单调递减区间，即为ysinz的单调递增区间 22kz22k，kZ.即22k3x622k，kZ.解得923kx23k29，kZ.所以原函数的单调减区间为923k，2923k，kZ.【归纳提升】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求 yAsinz 的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公
7、式将 x 的系数转变为正数【变式训练 1】求下列函数的单调区间：(1)函数ysin(x4)的单调增区间；(2)函数y3sin(32x)的单调减区间【解析】(1)函数ysinx在22k，22k(kZ)上是增函数，函数ysin(x4)为增函数，当且仅当22kx422k 时，即342kx42k(kZ)函数ysin(x4)的单调增区间为：342k，42k(kZ)(2)令u32x，则u是x的减函数 ysinu在22k，22k(kZ)上为增函数，原函数y3sin(32x)在区间22k，22k(kZ)上递减，22k32x22k，即12kx512k(kZ)原函数y3sin(32x)的单调减区间为：12k，51
8、2k(kZ)题型二 三角函数单调性的应用【例 2】比较下列各组值的大小：(1)sin215与 sin425；(2)sin15与 cos5.【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较【解析】(1)sin215sin(45)sin5，sin425sin(825)sin25.ysinx在0，2上单调递增，又 05252，sin5sin25，sin215sin425.(2)cos5cos(25)，sin15cos(215)，ycosx在0，2上递减，又025215cos(215)，cos5sin15.【归纳提升】比较三角
9、函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上(3)利用函数的单调性比较大小【变式训练 2】比较下列各组数的大小：(1)sin194与 cos160；(2)sin3(sin)8与 sin3(cos)8.【解析】(1)sin194sin(18014)sin14，cos160cos(18020)cos20sin70.0147090，sin14sin70，即 sin194cos160.(2)cos38sin8，0cos38sin381.而ysinx在(0,1)内递增，sin3(cos)8sin3(sin)8.误区警示 忽略函数的定义域而致错【例 3】已知定义在0
10、，上的函数f(x)cos(x)(0)在x3时取得最小值，求f(x)在0，上的单调递增区间【错解】函数f(x)cos(x)(0)在x3时取得最小值，cos(3)1，32k，kZ.又0，23，故f(x)cos(x23)令2kx232k，kZ，得532kx232k，kZ.f(x)的单调递增区间是532k，232k，kZ.【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间【正解】函数f(x)cos(x)(0)在x3时取得最小值，cos(3)1，32k，kZ.又0，23，故f(x)cos(x23)令2kx232k，kZ，得532kx232k，kZ.又x0，f(x)在0，上的单调递增区
11、间是3，【方法点拨】解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题 学科素养 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题 1求形如 yasinxb 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(1sinx1)求解 2对于形如 yAsin(x)k(A，0)的函数，当定义域为 R 时，值域为|A|k，|A|k；当定义域为某个给定的区间时，需确定x的范围，结合函数的单调性确定值域 3求形如yasin2xbsinxc，a0，xR 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性
12、 4求形如ysinsinaxbcxd，ac0 的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.【例 4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：y2sinx1；ysin2x2sinx34.(2)求下列函数的值域：y2sin(2x3)，x3，34；ysin2sin1xx.【分析】(1)先确定 sinx 的最值再求 y 的最值；换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求 y 的最值(2)利用 ysinx 的图象求解；利用分离常数法或|sinx|1 求解【解析】(1)由1sinx1 知，当x2k2，kZ 时，函数y2s
13、inx1 取得最大值，ymax1；当x2k32，kZ 时，函数y2sinx1 取得最小值，ymin3.ysin2x2sinx34(sinx22)254，因为1sinx1，所以当 sinx22，即x2k4或x2k34(kZ)时，函数取得最大值，ymax54；当 sinx1，即x2k32(kZ)时，函数取得最小值，ymin142.(2)x3，34，2x23，32，2x33，76，由ysint的图象(如图所示)可得 sin(2x3)12，1，则 2sin(2x3)1,2，即y2sin(2x3)，x3，34的值域为1,2 方法一：ysin2sin1xxsin1 3sin1xx 13sin1x.当 si
14、nx1 时，ymax12，由题易得该函数的值域为(，12 方法二：由ysin2sin1xx，得(sinx1)ysinx2，即(1y)sinxy2，显然y1，sinx21yy.1sinx1，1sin110cos74 Bcos32cos74sin110 Ccos32sin110cos74 Dcos74sin110【解析】sin110cos(2110)，cos74cos(74)322110740，而ycosx在0，上单调递减，cos32cos(2110)cos(74)，即 cos32sin1100，cosx，x0，则下列结论正确的是(D)Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数 Cf(x)是周期函数
15、Df(x)的值域为1，)【解析】因为f()21，f()1，所以f()f()，所以函数f(x)不是偶函数，排除 A；函数f(x)在(2，)上单调递减，排除 B；函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除 C；因为x0 时，f(x)1，x0 时，1f(x)1，所以函数f(x)的值域为1，)，D 正确 3(多选题)关于x的函数f(x)2sin(x)，则下列命题正确的是(BD)AR，f(x2)f(x)BR，f(x1)f(x)CR，f(x)都不是偶函数 DR，f(x)是奇函数【解析】A 错误，若命题f(x2)2sin(x2)2sin(x)成立，则必须为整数，所以 A 是假命题；
16、B 正确，当2 时，函数f(x)2sin(x)满足f(x1)2sin(2x2)2sin(2x)f(x)，所以 B 是真命题；C错误，当2时，f(x)2cos2x满足f(x)2cos(2x)2cos2xf(x)，所以存在实数使得函数为偶函数，所以 C 是假命题；D 正确，当2 时，f(x)2sin2x满足f(x)2sin(2x)2sin2xf(x)，所以存在实数使得函数为奇函数，所以 D 是真命题，故选 BD 4(多选题)已知函数f(x)cos(2x6)，下列结论正确的是(CD)A函数f(x)是周期为 的偶函数 B函数f(x)在区间12，512上是增函数 C若函数f(x)的定义域为(0，2)，则
17、值域为(32，1 D函数f(x)的图象与g(x)sin(2x23)的图象重合【解析】A 错，函数f(x)是周期为 的函数，但不是偶函数；B 错，x12，512时，2x60，230，所以函数f(x)在区间12，512上是减函数；C 正确，若函数f(x)的定义域为(0，2)，则 2x6(6，56)，其值域为(32，1；D 正确，g(x)sin(2x23)sin(22x6)sin2(2x6)cos(2x6)，故 D 正确，故选 CD 二、填空题 5y sinx的定义域为_2k，2k(kZ)_，单调递增区间为_2k，2k2，kZ_.【解析】sinx0，2kx2k，kZ；当x0，时，y sinx在0，2
18、上单调递增 其递增区间为：2k，2k2，kZ.6(2019江苏镇江高一期末)已知函数f(x)2ksinx3，若对任意x6，6都有f(x)0 恒成立，则实数k的取值范围为_3,3_.【解析】由x6，6得 sinx12，12 当k0 时，k32ksinx3k3，由f(x)0 得k30，解得 0k3；当k0时，k32ksinx3k3，由f(x)0 得k30，解得3k0)在区间3，23上是增函数，其在区间0，上恰好取得一次最大值 2，则的取值范围是_12，34_.【解析】由函数f(x)2sinx(0)在区间3，23上是增函数，得T423，即2423，解得34.当x0，时，x0，又函数f(x)在区间0，上恰好取得一次最大值，所以252，120 时，b5，3ab1，解得 a2，b5.a0 时，b1，3ab5，解得 a2，b1.综上，a2，b5 或a2，b1.