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1、人教版九年级上册数学期中考试试卷（含答案）1（2 分）如图，已知二次函数 y1=ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2=kx+m（k0）的图象相交于点 A（2，4），B（8，2），则关于 x 的不等式 ax2+（bk）x+cm0 的解集是（）A 2x8 B 2x4 C 2x8 D 2x4 2（2 分）如图，在 RtABCk，BAC=90，ABC=65，AB1C1由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到的（点 B1与点 B 是对应点，点 C1与点 C 是对应点），边接 CC1，则CC1B1的度数是（）A 25 B 20 C 15 D 10 3（2分）已知二次函数 y=2x2+x+m的图象与x轴
2、有唯一交点，则当1x0时，y的取值范围是（）A 0y B y0 C 0y D y0 4（2 分）如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，能判断ACDBCA 的条件是（）A AC2=BCDC B ACAD=BCAB C CAD=BAD D C=B 5（2 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=7cm，AD=2cm，BC=3cm，动点 P 从点 A 出发沿着线段 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，到达点 B 运动结束，设点 P 的运动时间为 t 秒，若以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似，则 t 的值不可能是（）A 1 B 6 C
3、 D 6（3 分）某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价 100 元，若按每件 128 元出售，每天可卖出 100件，根据市场调查结果，若每件降价 1 元，则每天可多卖出 5 件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为 _ 元 7（3 分）如图，已知线段 OAOB，C、D 分别为 OB、OA 的中点，连接 AC、BD 相交于 P 点，若 OA=OB，则=_ 8（8 分）如图，四边形 ABCD，DCFE，EFGH 都是边长为 1 的正方形（1）求证：ACFGCA；（2）试说明1 与2 的和是一个定值 9（9 分）已知点 P（a，4）在抛物线 y=x2+c 和直线 y=2x 上（1）求 a，
4、c 的值；（2）把此二次函数的图象沿着 y 轴方向平移，经过怎样的平移才能使所得的图象与直线 y=2x 有且只有一个公共点？请说明理由 10（9 分）如图，已知 RtABC 中，CAB=90，以 AB 为直径的O 交斜边 BC 于点 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长交 AB 的延长线于点 F（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若F=30，AB=4，求 DF、EF 的长 11（8 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当点 M 在 BC 边上运动时，始终保持 AMMN（1）请你找出图中一对相似三角形，并加以证明；（2）当点 M 运动到什
5、么位置时，线段 CN 的长度最大？求出此时 BM 和 CN 的值 12（13 分）如图，已知点 P 是ABCD 的边 BC 上的一点，连接 OP 并延长交 AB 的延长线于点 Q，（1）若=，求的值；（2）若点 P 为 BC 边上的任意一点，设=m，=n，试猜想 m，n 满足的数量关系，并说明理由 13（14 分）如图，二次函数 y=x2+（12k）x+k+1 的图象与 x 轴相交于点 O，A 两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴的右边的图象上有一个点 B1 使得锐角三角形 AOB 的面积等于 3，求点 B的坐标（3）对于（2）中的点 B，在抛物线上是否存在点 P，使P
6、OB=90？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 8（2 分）如图，已知二次函数 y1=ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2=kx+m（k0）的图象相交于点 A（2，4），B（8，2），则关于 x 的不等式 ax2+（bk）x+cm0 的解集是（）A 2x8 B 2x4 C 2x8 D 2x4 考点：二次函数与不等式（组）分析：把不等式整理成 ax2+bx+ckx+m，再根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的 x 的取值范围即可 解答：解：ax2+（bk）x+cm0 可化为 ax2+bx+ckx+m，交点 A（2，4），B（8，2），不等式的解集是2x8 故选 C
7、 点评：本题考查了二次函数与不等式，把不等式整理成两个函数解析式的形式是解题的关键 9（2 分）如图，在 RtABCk，BAC=90，ABC=65，AB1C1由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到的（点 B1与点 B 是对应点，点 C1与点 C 是对应点），边接 CC1，则CC1B1的度数是（）A 25 B 20 C 15 D 10 考点：旋转的性质 分析：根据三角形的内角和定理求出ACB，再根据旋转的性质可得 AC=AC1，AC1B1=ACB，然后求出AC1C，最后根据CC1B1=AC1CAC1B1进行计算即可得解 解答：解：BAC=90，ABC=65，ACB=9065=25，AB1C1由
8、ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到，AC=AC1，AC1B1=ACB，AC1C=45，CC1B1=AC1CAC1B1=4525=20 故选 B 点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并求出AC1C=45是解题的关键 10（2 分）已知二次函数 y=2x2+x+m 的图象与 x 轴有唯一交点，则当1x0 时，y 的取值范围是（）A 0y B y0 C 0y D y0 考点：抛物线与 x 轴的交点 分析：根据根的判别式与根的关系得到 m 的值；然后由二次函数图象的性质进行答题 解答：解：二次函数 y=2x2+x+m 的图象与 x 轴有唯一交点，=142m=0，解得 m=则
9、 y=2x2+x+m=2x2+x+=2（x+）2，该抛物线的开口方向向上，顶点坐标是（，0），当1x0 时，y 的取值范围是 0y 故选：A 点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点此题利用抛物线的增减性进行答题 11（2 分）如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，能判断ACDBCA 的条件是（）A AC2=BCDC B ACAD=BCAB C CAD=BAD D C=B 考点：相似三角形的判定 分析：根据两边对应成比例，夹角相等判断两个三角形相似即可 解答：解：ACD 与BCA 有公共C，ACDBCA 的条件是=，即 AC2=BCDC 故选 A 点本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似
10、三角形的判定方法并找出两评：个三角形的公共角是解题的关键 12（2 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=7cm，AD=2cm，BC=3cm，动点 P 从点 A 出发沿着线段 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，到达点 B 运动结束，设点 P 的运动时间为 t 秒，若以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似，则 t 的值不可能是（）A 1 B 6 C D 考点：相似三角形的判定 专题：动点型 分析：表示出 PB，然后分 AD 和 PB 是对应边，AD 与 BC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解得到 t 的值，再选
11、择答案即可 解答：解：点 P 从点 A 出发沿着线段 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，AP=t，PB=7t，AD 和 PB 是对应边时，ADPBPC，所以，=，即=，整理得，t27t+6=0，解得 t1=1，t2=6，AD 与 BC 是对应边时，ADPBCP，所以，=，即=，解得 t=，综上所述，t=1、6、秒时，以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似，所以，t 的值不可能是 故选 D 点评：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论 17（3 分）某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价 100 元，若按每件 12
12、8 元出售，每天可卖出 100件，根据市场调查结果，若每件降价 1 元，则每天可多卖出 5 件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为 4 元 考点：二次函数的应用 分析：设每件降价 x 元，每天获得的利润为 y 元，根据销售问题的数量关系表示出 y 与 x 之间的关系式，转化为顶点式即可 解答：解：设每件降价 x 元，每天获得的利润为 y 元，由题意，得 y=（5x+100）（128100 x），y=5（x4）2+2880 a=50，x=4 时，y最大=2880 故答案：4 点评：本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出二次函数的解
13、析式是关键 18（3 分）如图，已知线段 OAOB，C、D 分别为 OB、OA 的中点，连接 AC、BD 相交于 P 点，若 OA=OB，则=2 考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 分过 C 作 CEOA 交 BD 于点 E，可证得BCEBOD，可得到 CE=OD=AD，析：再证明ECPDAP，可得到答案 解答：解：过点 C 作 CEOA 交 BD 于点 E，BCEBOD，C、D 为 OB 和 OA 的中点，CE=OD=AD，又CEAD，ECPDAP，=2，故答案为：2 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键 22（8 分）如图，四边形
14、ABCD，DCFE，EFGH 都是边长为 1 的正方形（1）求证：ACFGCA；（2）试说明1 与2 的和是一个定值 考点：相似三角形的判定与性质 分析：（1）由对应边成比例及其夹角相等可得三角形相似；（2）由（1）可得1=CAF，进而可得其和的大小 解答：解：（1）四边形 ABCD，DCFE，EFGH 都是边长为 1 的正方形，CF=1，AC=，CG=2，=，=，又ACF=GCA，ACFGCA；（2）由（1）得：ACFGCA，1=GCA，1+2=GAC+2=ACB=45，1 与2 的和是一个定值 点评：本题主要考查了正方形的性质及相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握 23（9 分）已知点
15、P（a，4）在抛物线 y=x2+c 和直线 y=2x 上（1）求 a，c 的值；（2）把此二次函数的图象沿着 y 轴方向平移，经过怎样的平移才能使所得的图象与直线 y=2x 有且只有一个公共点？请说明理由 考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换 分析：（1）首先将点 P 代入直线的解析式求得 a 的值，然后代入二次函数的解析式即可求得 c 值；（2）设抛物线 yy=x2+3 向上平移 k 个单位长度后得 yk=y=x2+3 则得方程2xk=y=x2+3，得到=824（4k+12）=1616k，然后令 1616k=0，解得：k=1，从而确定平移的方向和单位 解答：解：（1）点 P（a，4）
16、在直线 y=2x 上，4=2a，即：a=2，又点 P（2，4）在抛物线 y=x2+c 上，4=（2）2+c，即：c=3；（2）把已知的二次函数的图象沿着 y 轴方向向上平移 1 个单位长度，所得的图象与直线 y=2x 有且只有一个公共点 理由：由（1）知，抛物线 y=x2+3 和直线 y=2x 有两个公共点，因此设抛物线 yy=x2+3 向上平移 k 个单位长度后得 yk=y=x2+3，则得方程2xk=y=x2+3，即：x2+8x+4k+12=0，=824（4k+12）=1616k，令 1616k=0，解得：k=1，故把已知的二次函数的图象沿着 y 轴方向向上平移 1 个单位长度，所得的图象与
17、直线 y=2x 有且只有一个公共点 点评：本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象与几何变换的知识，解题的关键是确定二次函数的解析式，难度中等 24（9 分）如图，已知 RtABC 中，CAB=90，以 AB 为直径的O 交斜边 BC 于点 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长交 AB 的延长线于点 F（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若F=30，AB=4，求 DF、EF 的长 考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质 分析：（1）连接 BD、DO，只要证明ODE=90，OD 是半径，就可得到 DE 是O的切线（2）利用 RtODFRtEAF 的性质来求 DF、EF 的长
18、 解答：（1）证明：连接 BD，DO，AB 是O 的直径，ADB=CDA=90 又E 为 AC 的中点，CE=EA，1=4 OD=OA，2=3 1+2=3+4=90，即EDO=90，又OD 是半径，DE 是O 的切线 （2）解：由（1）知，ODF=90 在 RtODF 中，F=30，OD=AB=2，OF=4，DF=2 在 RtODF 与 RtEAF 中，ODF=EAF=90，F=F，RtODFRtEAF，=，即=，则 EF=4 点评：本题利用了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 25（8 分）如图，正方形 A
19、BCD 的边长为 6，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当点 M 在 BC 边上运动时，始终保持 AMMN（1）请你找出图中一对相似三角形，并加以证明；（2）当点 M 运动到什么位置时，线段 CN 的长度最大？求出此时 BM 和 CN 的值 考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质 分析：（1）利用正方形的性质进而得出得出对应角之间关系进而求出即可；（2）利用相似三角形的性质进而结合二次函数最值求法得出即可 解答：（1）答：ABMMCN，证明：AMMN，AMN=90，AMB+CMN=90，B+C=90，AMB+BAM=90，BAM=CMN，ABMMCN；（2）解：设 BM=x，由（1
20、）知，ABMMCN，=，即=，则 CN=x（6x）=（x3）2+，故当 x=3 时，即点 M 在 BC 的中点时，线段 CN 的长度最大，此时，BM=3，CN=点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键 26（13 分）如图，已知点 P 是ABCD 的边 BC 上的一点，连接 OP 并延长交 AB 的延长线于点 Q，（1）若=，求的值；（2）若点 P 为 BC 边上的任意一点，设=m，=n，试猜想 m，n 满足的数量关系，并说明理由 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 分析：（1）利用平行四边形的性质得平行，可得到QPBDPC，可
21、得到 CD 和BQ 的关系，从而可求得 AB 和 AQ 的比值；（2）由相似可得=，结合平行四边形的性质，可找到和的关系，从而找到 m 和 n 之间的关系 解答：解：（1）四边形 ABCD 为平行四边形，AB=CD，ABCD，QPBDPC，=，DC=4BQ，即 AB=4BQ，=；（2）猜想：mn=1，理由：由DPCQPB，得=，=，=1+=1+，即 m=n=1 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键 27（14 分）如图，二次函数 y=x2+（12k）x+k+1 的图象与 x 轴相交于点 O，A 两点（1）求这个二次函数的解析式；（
22、2）在这条抛物线的对称轴的右边的图象上有一个点 B1 使得锐角三角形 AOB 的面积等于 3，求点 B的坐标（3）对于（2）中的点 B，在抛物线上是否存在点 P，使POB=90？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）根据二次函数经过点 O，即可求得 k 的值，即可解题；（2）易求得该二次函数的对称轴，设点 B（a，b），即可求得 b 的值，根据 b 的值即可求得 a 的值，即可解题；（3）设符合题意的点 P 坐标为（m，n），易得AOB=45，即可求得AOP=45，可得 m=n，将点 P 代入即可求得 m、n 的值，即可解题 解答：解：（1）二次函
23、数 y=x2+（12k）x+k+1 的图象经过点 O，将 O 点代入得：k+1=0，k=1，二次函数的解析式为 y=x2+3x；（2）如图，在抛物线上找到点 B，作 BAx 轴，连接 OB y=x2+3x=+，对称轴是直线 x=，令 y=0，则x2+3x=0，x1=，x2=3，点 A（3，0），设点 B（a，b），3|b|=3，b=2，当 b=2 时，AOB 是钝角三角形，不符合题意，舍去，当 b=2 时，即 2=a2+3a，解得：a1=1，a2=2 当 a=1 时，点 B 在对称轴左边，不符合题意，舍去，a=2，点 B 坐标为（2，2）；（3）在抛物线上存在点 P，使POB=90，设符合题意的点 P 坐标为（m，n）B 的坐标为（2，2），AOB=45，AOP=45，且点 P 必在 x 轴的下方，m=n，即m2+3m=m，解得：m1=0，（舍去），m2=4，故点 P 坐标为（4，4）点评：本题考查了二次函数的综合应用，考查了三角形面积计算，考查了一元二次方程的求解，本题中求得点 B 的值是解题的关键