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1、 9 二次函数综合题训练题型集合 1、如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线mxy与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合），过 P 作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为h，点 P 的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时 P 点
2、的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图 2，已知二次函数24yaxxc的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图 1 O x y D x y O 3 9 1 1 A B 图 2 9 P B A C O x y Q 图 3 3、如图 3，已知抛物线cxbxay2经过 O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结 AB，过点 B 作 BCx轴交该抛物线于点 C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点 P
3、、Q 分别从 O、A 两点同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度运动.其中，点 P 沿着线段 0A 向 A 点运动，点 Q 沿着折线 ABC 的路线向 C 点运动.设这两个动点运动的时间为t（秒)(0t4)，PQA 的面积记为 S.求 S 与t的函数关系式；当t为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA 的形状；是否存在这样的t值，使得PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时 P、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.7、（07 海南中考）如图 7，直线434xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点0,1B.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二
4、次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按OAC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为 S.请问D、E两点在运动过程中，是否存在DEOC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；请求出 S 关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；设0S是中函数 S 的最大值，那么0S=.CAMyBOx图 7 CAMyBOx备用 CAMyBOx备用 9 4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初
5、上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.图4 的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润 S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和 S 与t之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润 S 与时间t之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达 30 万元；（4）求第 8 个月公司所获利是多少元？5、(07 年海口模拟二)如图 5，已知抛物线cxbxay2的顶点坐标为 E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B 是x轴上两个动点，且 A、B 间的距离为 AB=4，A 在
6、 B 的左边，过 A 作 ADx轴交抛物线于 D，过 B 作 BCx轴交抛物线于 C.设 A 点的坐标为（t,0），四边形 ABCD的面积为 S.求 S 与t之间的函数关系式.求四边形 ABCD 的最小面积，此时四边形 ABCD 是什么四边形？当四边形 ABCD 面积最小时，在对角线 BD 上是否存在这样的点 P，使得PAE 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及这时PAE 的周长；若不存在，说明理由.x y D 图 5 E B A C O 1 x y E O 1 备用图-3 0-1-2 1 2 3 4 S(万元)图 4 1 2 3 4 5 6 t(月)9 6、(07 浙江中考)如图 6，
7、抛物线223yxx与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线l与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由。8、（05 海南中考）如图 8，抛物线cbxxy2与x轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解
8、析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上 滑动到什么位置时，满足 SPAB=8,并求出此时 P 点的坐标；(3)设(1)中抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上 是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.备用图 8 图 6 9 9、（04 海口中考）如图 9、已知抛物线 y=x2+(2n-1)x+n2-1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左 侧的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，
9、交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于 B，DCx 轴于 C.当 BC=1 时，求矩形 ABCD 的周长；试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时 A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、（07 本校模拟一）如图 10，已知点 A(0,8)，在 抛物线221xy 上，以 A 为顶点的四边形 ABCD 是平行四边形，且项点 B，C，D 在抛物线上，ADx 轴，点 D 在第一象限.(1)求 BC 的长；(2)若点 P 是线段 CD 上一动点，当点 P 运动到何位置时，DAP 的面积是 7.(3)连结 AC，E 为 AC 上一动点，当点 E 运动到何位
10、置时，直线 OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时 E 点的 坐标及直线 OE 的函数关系式.11、（07 本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如 图 11-1),拱高 6 米,跨度 20 米,相邻两支柱间的距离均为 5 米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 11-2 所示)，其表达式是caxy2的形式.请根据所给的数据求出ca,的值.（2）求支柱 MN 的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间 DE 是一条宽 2 米 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2 米、高 3 米的 三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.xy0123 4-1-1-
11、2-312A B C D 图 9 A B C D O y x 图 10 M N 10 米 20 米 6 米 5 米 图 11-1 图 11-2 D E O x A B C y 9 二次函数综合题训练题型集合 1、(1)m=1.所求二次函数的关系式为 y=(x-1)2.即 y=x2-2x+1.(2)设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE.PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即 h=-x2+3x(0 x3).(3)存在.要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 PE=DC.点 D 在直线 y=x+1 上,点 D 的坐标为(1,2),-x2+3x=2.即 x2
12、-3x+2=0.解之，得 x1=2，x2=1(不合题意，舍去)当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形.2、解：（1）二次函数的表达式为642xxy （2）对称轴为2x；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入642xxy，得 642mmm，解得121,6mm m0，11m不合题意，舍去 m=6点P与点Q关于对称轴2x对称，点绝密资料 参考答案 9 2)1(xay 该抛线经过点 E（0,1）2)10(1 a 1a 2)1(xy，即函数关系式为122xxy.（2）A 点的坐标为（t,0）,AB=4，且点 C、D 在抛物线上，B、C、D 点的坐标分别为(t+4,0)，(
13、t+4,(t+3)2)，(t,(t-1)2).20844)3()1(21)(21222ttttABBCADS.16)1(4208422tttS 当t=-1 时，四边形 ABCD 的最小面积为 16 此时 AD=BC=AB=DC=4，四边形 ABCD 是正方形 当四边形 ABCD 的面积最小时，四边形 ABCD 是正方形，其对角线 BD 上存在点 P,使得PAE 的周长最小.AE=4（定值），要使PAE 的周长最小，只需 PA+PE 最小.此时四边形 ABCD 是正方形，点 A 与点 C 关于 BD 所在直线对称,由几何知识可知，P 是直线 CE 与正方形 ABCD 对角线 BD 的交点.点 E
14、、B、C、D 的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）直线 BD，EC 的函数关系式分别为：y=-x+3,y=2x-2.P(35,34)在 RtCEB 中，CE=524222,PAE 的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52.6、解：（1）C（2，3）直线 AC 的函数解析式是 y=x1（2）设 P 点的横坐标为x（1x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，x1），（1 分）E（2(,23)x xxP 点在 E 点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx 当12x 时，PE 的最大值=94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是1234(1,0),(
15、3,0),(47),(47)FFFF 7、解：（1）438342xxy（2）顶点 M 的坐标为316,1 过点 M 作 MFx轴于 F FOCMAFMAOCMSSS梯形四边形=1013164213161321 四边形 AOCM 的面积为 10（3）不存在 DEOC 若 DEOC，则点 D、E 应分别在线段OA、CA 上，此时 1t2，不满足1t2.不存在 DEOC.根据题意得 D、E 两点相遇的时间为 1124423543（秒）现分情况讨论如下：当 0 t 1 时，2342321tttS；当 1t2 时，设点 E 的坐标为22,yx544542ty，516362ty ttttS52751251
16、63623212 当 2 t1124时，设点 E 的坐标为33,yx，类似可得516363ty 设点 D 的坐标为44,yx532344ty，51264ty AODAOESSS 512632151636321tt=572533t 802430S 10、（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC.A(0,8),设 D 点坐标为(x1,8),代入221xy 中，得 x1=4.又D 点在第一象限，x1=4，BC=4.（2）C(2,2)，D(4,8)，直线 CD 的函数关系式为 y=3x-4.设点 P 在线段 CD 上，P(x2,y2)，y2=3x2-4.AD=BC=4,214(8-y2)=7，
17、y2=29.3x2-4=29，x2=617.P(617,29),A B C D O y x E ECAyOBxMDECAyOBFxMD 9 即当点 P 在(617,29)的位置时，DAP 的面积是 7.（3）连接 AC，当点 E 运动到 AC 的中点（或 AC 与 BD 的交点）时，即 E 点为 ABCD 的中心，其坐标为 E（1,5）,直线 OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分.设直线 OE 的函数关系式为 y=kx,k=5，直线 OE 的函数关系式为 y=5x.11、(1)根据题目条件，A、B、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将 B、C 的坐标代入caxy2，得.1000,6cac 解得6,503ca.抛物线的表达式是65032xy.(2)可设 N(5,Ny)，于是5.4655032Ny.从而支柱 MN 的长度是 10-4.5=5.5 米.(3)设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则 G 点坐标是(7,0)(7=2223).过 G 点作 GH 垂直 AB 交抛物线于 H，则35013675032Hy.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.G H 图 12-2 D E O x A B C y