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1、 对数函数 2 对数与对数运算 1对数的概念 一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数yax的另一种表达形式，例如：3481 与 4log381 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式axNxlogaN，从而得对数恒等式：alogaNN.(2)“log”同“”“”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义，对数 logaN(a0，且a1)具有下列性质：零和负数没有对数，即N0
2、；1 的对数为零，即 loga10；底的对数等于 1，即 logaa1.2对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度(1)基本公式 loga(MN)logaMlogaN(a0，a1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和 logaMNlogaMlogaN(a0，a1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数 logaMnnlogaM(a0，a1，M0，nR)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数(2)对数的运算性质注意点 必须注意
3、M0，N0，例如 loga(3)(4)是存在的，但是 loga(3)与 loga(4)均不存在，故不能写成 loga(3)(4)loga(3)loga(4)防止出现以下错误：loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN，logaMNlogaMlogaN，logaMn(logaM)n.3对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为 10 的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbNlogcNlogcb(b0，且b1；c0，且c1；N0)$证明 设 logbNx，则bxN.两边取以c为底的对数，得xlogcblogcN.所以xlogcNlogcb，即 l
4、ogbNlogcNlogcb.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用 由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN1logNb或 logbNlogNb1(N0，且N1；b0，且b1)；(2)logbnNmmnlogbN(N0；b0，且b1；n0，mR).题型一 正确理解对数运算性质 对于a0 且a1，下列说法中，正确的是()若MN，则 logaMlogaN；若 logaMlogaN，则MN；若 logaM2logaN2，则MN；若MN，则 logaM2logaN2.A与 B与 C D、解析 在中，当MN0 时，l
5、ogaM与 logaN均无意义，因此 logaMlogaN不成立 在中，当 logaMlogaN时，必有M0，N0，且MN，因此MN成立 在中，当 logaM2logaN2时，有M0，N0，且M2N2，即|M|N|，但未必有MN.例如，M2，N2 时，也有 logaM2logaN2，但MN.在中，若MN0，则 logaM2与 logaN2均无意义，因此 logaM2logaN2不成立 所以，只有成立 答案 C 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件 题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值：(1)2log32lo
6、g3329log385log53；(2)lg2523lg8lg5lg20(lg2)2；(3)log52log79log513log734.&分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算 解(1)原式2log32(log332log39)3log323 2log325log3223log3231.(2)原式2lg52lg2lg102lg(210)(lg2)2 2lg(52)(1lg2)(lg21)(lg2)2 21(lg2)2(lg2)23.(3)log52log79log513log73412log5
7、22log73log5313log74 lg2lg5lg3lg7lg3lg513lg4lg732.点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值#题型三 对数换底公式的应用 计算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同 解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值 解 方法一 原
8、式 log253log225log24log25log28log52log54log525log58log5125 3log252log252log22log253log22log522log522log553log523log55 3113log25(3log52)13log25log22log2513.方法二 原式lg125lg2lg25lg4lg5lg8lg2lg5lg4lg25lg8lg125 3lg5lg22lg52lg2lg53lg2lg2lg52lg22lg53lg23lg5 13lg53lg23lg2lg513.点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还
9、不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非 1 的正数为底)，然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法 已知 log(x3)(x23x)1，求实数x的值 错解 由对数的性质可得x23xx3.解得x1 或x3.错因分析 对数的底数和真数必须大于 0 且底数不等于 1，这点在解题中忽略了 正解 由对数的性质知 x23xx3，x23x0，x30且x31.解得x1，故实数x的值为 1.0，且a1，N0)1(上海高考)方程 9x63x70 的解是_ 解析 9x63x70，即 32x63x70(3x7)(3x1)0 3x7 或 3x1(舍去)xlog37.答案 l
10、og37 2(辽宁高考)设g(x)ex，x0，ln x，x0，则gg12_.解析 g12ln120，a31，7a0，解得 3a7 且a4.2设alog32，则 log382log36 用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2）C5a2 Da23a1 答案 A 解析 alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.3log56log67log78log89log910 的值为()A1 B5 C D1lg2 答案 C 解析 原式lg6lg5lg7lg6lg8lg7lg9lg8lg10lg9lg10lg51lg5.4已知 loga(a21)loga2a0，则
11、a的取值范围是()A(0,1)D(1，)!答案 C 解析 由题意，得 0a1，a0，a1，loga(a21)loga2a，0a1.12a0，a1)在1,3上最大值与最小值之和为a2，则a的值为()A4 C3 答案 D 6 若方程(lgx)2(lg7lg5)lgxlg7lg50 的两根为，则等于()Alg7lg5 Blg35 C35 答案 D 解析 lglg(lg7lg5)lg35lg135 135.7已知f(log2x)x，则f12_.答案 2 解析 令 log2x12，则 212x，f12212 2.8log(21)(21)_.答案 1 解析 log21(21)log21(21)(21)21
12、 log(21)1211.9已知 lg2 0，lg3 1，lgx2 1，则x_.答案 解析 lg2 0，lg3 1，而 0 1 1，lgx2lg2lg3，即 lgxlg102lg6.lgxlg(6102)，即x6102.10(1)已知 lgxlgy2lg(x2y)，求 log 2xy的值；(2)已知 log189a,18b5，试用a，b表示 log365.解(1)lgxlgy2lg(x2y)，xy(x2y)2，即x25xy4y20.即(xy)(x4y)0，解得xy或x4y，又 x0，y0，x2y0，x2y0，xy，应舍去，取x4y.则 log 2xylog 24yylog 24lg4lg 24
13、.(2)18b5，log185b,又log189a，|log365log185lg1836blog18(182)b1log182b1log18189 b1(1log189)b2a.11设a，b，c均为不等于 1 的正数，且axbycz，1x1y1z0，求abc的值 解 令axbyczt(t0 且t1)，则有1xlogta，1ylogtb，1zlogtc，又1x1y1z0，logtabc0，abc1.12已知a，b，c是ABC的三边，且关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，试判定ABC的形状 解 关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10 有等根，0，即 44lg(c2b
14、2)2lga10.即 lg(c2b2)2lga0，故c2b2a2，a2b2c2，ABC为直角三角形 2 对数与对数运算(一)学习目标 1理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化 2了解常用对数与自然对数的意义 3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算 自学导引 1如果a(a0 且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作blogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 2对数的性质有：(1)1 的对数为零；(2)底的对数为 1；(3)零和负数没有对数 3通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，以 e 为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为 lgN，logeN简记为
15、 lnN.4若a0，且a1，则abN等价于 logaNb.5对数恒等式：alogaNN(a0 且a1).一、对数式有意义的条件,例 1 求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于 1 可得到关于x的不等式(组)，解之即可 解(1)由题意有x100，x10，即为所求(2)由题意有 x20，x10且x11，即 x2，x1且x2，x1 且x2.(3)由题意有(x1)20，x10且x11，解得x1 且x0，x1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等
16、于 1.变式迁移 1 在blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是()Aa5 或a2 B2a5 C2a3 或 3a5 D3a0a20a21，2a0)；(2)412(log29log25)解(1)原式(alogab)logbclogcNblogbclogcN(blogbc)logcN clogcNN.(2)原式2(log29log25)2log292log2595.点评 对数恒等式alogaNN中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数 变式迁移 3 计算：3log35(3)log315.解 原式 5312log315 5(3log315)12 5156 5
17、5.1一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，就是abN，那么b叫做以a为底N的对数，记作 logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 2利用abNblogaN(其中a0，a1，N0)可以进行指数与对数式的互化 3对数恒等式：alogaNN(a0 且a1)一、选择题 1下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A1001 与 lg10 B271313与 log271313 Clog3129 与 9123 Dlog551 与 515 答案 C 2指数式b6a(b0，b1)所对应的对数式是()Alog6aa Blog6ba Clogab6 Dlogba6 答案 D 3若 logx(52)1，
18、则x的值为()2 2|2 或 52 D2 5 答案 B 4如果f(10 x)x，则f(3)等于()Alog310 Blg3 C103 D310 答案 B 解析 方法一 令 10 xt，则xlgt，f(t)lgt，f(3)lg3.方法二 令 10 x3，则xlg3，f(3)lg3.52112log25 的值等于()A2 5 B2 5 C252 D152，答案 B 解析 2112log252212log2522log2512 25122 5.二、填空题 6若 5lgx25，则x的值为_ 答案 100 解析 5lgx52，lgx2，x102100.7设 loga2m，loga3n，则a2mn的值为_
19、 答案 12 解析 loga2m，loga3n，am2，an3，a2mna2man(am)2an22312.8已知 lg6 2，则 2_.答案 600 解析 210210lg6600.三、解答题 9求下列各式中x的值(1)若 log312x91，则求x值；(2)若 log2 003(x21)0，则求x值 解(1)log312x91，12x93 12x27，即x13(2)log2 003(x21)0 x211，即x22；x 2 10求x的值：(1)xlog224；(2)xlog93；(3)x71log75；(4)logx83；(5)log12x4.解(1)由已知得：22x4，212x22，x22
20、，x4.(2)由已知得：9x 3，即 32x312.2x12，x14.(3)x77log757575.(4)由已知得：x38，即1x323，1x2，x12.(5)由已知得：x124116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标 1掌握对数的运算性质及其推导 2能运用对数运算性质进行化简、求值和证明 自学导引 1对数的运算性质：如果a0，a1，M0，N0，那么，(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaMNlogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)!2对数换底公式：logablogcblogca.一、正确理解对数运算性质 例 1 若a0，a1，x0，y0，xy
21、，下列式子中正确的个数有()logax logayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；logaxylogaxlogay；loga(xy)logaxlogay.A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案 A 解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算 在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如 logaxlogax，logax是不可分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件 变式迁移 1 若a0 且a1，x0，nN*，则下列各式正确
22、的是()Alogaxloga1x B(logax)nnlogax C(logax)nlogaxn Dlogaxloga 1x 答案 A 二、对数运算性质的应用 例 2 计算：(1)log5352log573log57；(2)2(lg 2)2lg 2lg5(lg 2)2lg21；(3)错误!；(4)(lg5)2lg2lg50.分析 利用对数运算性质计算 解(1)原式log5(57)2(log57log53)log57log595 log55log572log572log53log572log53log55 2log552.(2)原式lg 2(2lg 2lg5)(lg 21)2 lg 2(lg2l
23、g5)1lg 2lg 21lg 21.(3)原式32lg33lg232lg32lg213lg36lg232(lg32lg21)32.(4)原式(lg5)2lg2(lg22lg5)(lg5)22lg5lg2(lg2)2(lg5lg2)21.点评 要灵活运用有关公式注意公式的正用、逆用及变形使用 变式迁移 2 求下列各式的值：(1)log5352log122log5150log514；(2)(1log63)2log62log618log64.解(1)原式 log5(57)2log2212log5(522)log5(27)1log5712log52log52log572.(2)原式log262log
24、62log6(36)log622 log62(log62log631)(2log62)1.三、换底公式的应用 例 3(1)设 3x4y36，求2x1y的值；(2)已知 log189a,18b5，求 log3645.解(1)由已知分别求出x和y.、3x36,4y36，xlog336，ylog436，由换底公式得：xlog3636log3631log363，ylog3636log3641log364，1xlog363，1ylog364，2x1y2log363log364 log36(324)log36361.(2)log189a,18b5，log185b.log3645log1845log1836
25、log18(95)log18(182)log189log1851log182ab1log18189ab2a.点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除 变式迁移 3(1)设 log34log48log8mlog416，求m；(2)已知 log1227a，求 log616 的值 解(1)利用换底公式，得lg4lg3lg8lg4lgmlg82，lgm2lg3，于是m9.(2)由 log1227a，得3lg32lg2lg3a，lg32alg23a，lg3lg22a3a.log6164lg2lg3lg242a3a1 4(3a)3a.!1对于同底的对数
26、的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)2对于常用对数的化简要充分利用“lg5lg21”来解题 3对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值 一、选择题 1lg83lg5 的值为()A3 B1 C1 D3 答案 D、解析 lg83lg5lg8lg53lg1 0003.2已知 lg2a，lg3b，则 log36 等于()答案 B 解析 log36lg6lg3lg2lg3lg3abb.3若 lga，lgb是方程 2x24x10 的两个根，则lgab2的值等于()A2 C4 答案 A 解析 由根与系数的关系，
27、得 lgalgb2，lgalgb12，lgab2(lgalgb)2 (lgalgb)24lgalgb 224122.4若1 000,1 000，则1x1y等于()B3 C13 D3 答案 A 解析 由指数式转化为对数式：x 000，y 000，则1x1ylog1 log1 log1 0001013.5设函数f(x)logax(a0，且a1)，若f(x1x2x2 005)8，则f(x21)f(x22)f(x22 005)的值等于()A4 B8 C16 D2loga8 答案 C！解析 因为f(x)logax，f(x1x2x2 005)8，所以f(x21)f(x22)f(x22 005)logax2
28、1logax22logax22 005 2loga|x1|2loga|x2|2loga|x2 005|2loga|x1x2x2 005|2f(x1x2x2 005)2816.二、填空题 6设 lg2a，lg3b，那么 lg错误!_.答案 a2b12 解析 lg错误!错误!错误!lg错误!错误!lg错误!12(lg2lg91)12(a2b1)（7若 logax2，logbx3，logcx6，则 logabcx的值为_ 答案 1 解析 logabcx1logxabc1logxalogxblogxc logax2，logbx3，logcx6 logxa12，logxb13，logxc16，logab
29、cx1121316111.8已知 log63 1，log6x 9，则x_.答案 2 解析 由 log63log6x 1 91.得 log6(3x)1.故 3x6，x2.三、解答题￥9求下列各式的值：(1)12lg324943lg 8lg 245；(2)(lg5)22lg2(lg2)2.解(1)方法一 原式12(5lg22lg7)4332lg2 12(2lg7lg5)52lg2lg72lg2lg712lg5 12lg212lg512(lg2lg5)12lg1012.方法二 原式lg4 27lg4lg7 5 lg4 27 574 lg(2 5)lg 1012.;(2)方法一 原式(lg5lg2)(
30、lg5lg2)2lg2 lg10lg52lg4lg524 lg101.方法二 原式(lg10lg2)22lg2lg22 12lg2lg222lg2lg221.10若 26a33b62c，求证：1a2b3c.证明 设 26a33b62ck(k0)，那么 6alog2k，3blog3k，2clog6k，1a6log2k6logk2，1b3log3k3logk3，1c2log6k2logk6.1a2b6logk223logk3 logk(2636)6logk632logk63c，即1a2b3c.2 对数函数及其性质；1对数函数的概念 形如ylogax(a0 且a1)的函数叫做对数函数 对于对数函数定
31、义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，)；(2)对数函数的解析式ylogax中，logax前面的系数为 1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a0，且a1；(3)以 10 为底的对数函数为ylgx，以 e 为底的对数函数为ylnx.2对数函数的图象及性质：a1 0a1 时，恒有y0；当 0 x1 时，恒有y1 时，恒有y0；/当 0 x0 函数在定义域(0，)上为增函数 函数在定义域(0，)上为减函数 3.指数函数与对数函数的关系比较 名称 指数函数 对数函数 解析式 yax(a0
32、，且a1)￥ylogax(a0，且a1)定义域(，)(0，)值域(0，)(，)函数值变 化情况 a1 时，011101xxxax；0a1 时，logax 1001010 xxx；0a1 时，yax是增函数；0a1 时，ylogax是增函数；0a0，即m、n范围相同(相对于“1”而言)，则 logmn0；(2)当(m1)(n1)0，即m、n范围相反(相对于“1”而言)，则 logmn0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如 log2130 等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域 求下列函数的定义域：(1)ylog3x12x3x1；(2)y11loga(xa)(a0，a1)分析 定
33、义域即使函数解析式有意义的x的范围 解(1)要使函数有意义，必须 2x30，x10，3x10，3x11 同时成立，解得 x32，x1，x13，x23.x1.定义域为(1，)(2)要使原函数有意义，需 1loga(xa)0，即 loga(xa)1 时，0 xaa，ax0.当 0aa，x0.当a1 时，原函数定义域为x|ax0；当 0a0 点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于 1，若分母中含有x，还要考虑不能使分母为零 题型二 对数单调性的应用 (1)log43，log34，log4334的大小顺序为()、Alog34log43log43log4334 C
34、log34log4334log43 Dlog4334log34log43(2)若a2ba1，试比较 logaab，logb ba，logba，logab的大小(1)解析 log341,0log43log43log4334.答案 B(2)解 ba1，0ab1.logaabba1，且b1，logbbalogba，故有 logaablogbbalogba1 为增；0a0，a11，a20，a21)当a1a21 时，曲线y1比y2的图象(在第一象限内)上升得慢即当x1 时，y1y2；当0 xy2.而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大 当 0a2a11 时，y1y2；当0 xy2即在第四象限内
35、，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小 已知 loga121，那么a的取值范围是_ 分析 利用函数单调性或利用数形结合求解 解析 由 loga121 时，显然符合上述不等式，a1；当 0a1 时，a12，0a1 或 0a1 或 0a1 时，logax0 x1，logax00 x1；(2)当 0a00 x1，logax1.题型三 函数图象的应用 若不等式 2xlogax0，当x0，12时恒成立，求实数a的取值范围 解 要使不等式 2x2，显然这里 0a2=log2aa，a221，即 a2221.所求的 a 的取值范围为2221a1时，显然y20 对xR 恒成立，：即 a0044a1.错因分析 出错
36、的原因是分不清定义域为 R 与值域为 R 的区别 正解 函数f(x)lg(ax22x1)的值域是 R 真数tax22x1 能取到所有的正数 当a0 时，只要x12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a0 时，必须有 a00 a044a0 01 Bx|x1；Cx|1x1 D 解析 由题意知Mx|x1 故MNx|1x1 答案 C 2(湖南高考)下列不等式成立的是()Alog32log23log25 Blog32log25log23 Clog23log32log25 Dlog23log25log23log221.#又ylog3x在(0，)上为增函数，log32log331.log32log23
37、log25.答案 A 3(全国高考)若x(e1,1)，alnx，b2lnx，cln3x，则()Aabc Bcab Cbac Dbca 解析 1ex1，1lnx0.令tlnx，则1t0.ab.cat3tt(t21)t(t1)(t1)，又1t0，!0t11，2t10，ca.cab.答案 C 1已知函数f(x)12x的定义域为集合M，g(x)ln(1x)的定义域为集合N，则MN等于()Ax|x1 Bx|x1 D 答案 C 2已知函数f(x)lg1x1x，若f(a)12，则f(a)等于()B12 C2 D2 答案 B 解析 f(a)lg1a1alg1a1a1 lg1a1af(a)12.3已知alog2
38、3，blog32，clog42，则a，b，c的大小关系是()Acba Babc Cbca Dca1，blog3 2b；又因为 2 3，则 log32log3312，而 log42log2212，:所以b12，c12，即bc.从而abc.4函数f(x)lg|x|为()A奇函数，在区间(0，)上是减函数 B奇函数，在区间(0，)上是增函数 C偶函数，在区间(，0)上是增函数 D偶函数，在区间(，0)上是减函数 答案 D 解析 已知函数定义域为(，0)(0，)，关于坐标原点对称，且f(x)lg|x|lg|x|f(x)，所以它是偶函数 又当x0 时，|x|x，即函数ylg|x|在区间(0，)上是增函数
39、 又f(x)为偶函数，所以f(x)lg|x|在区间(，0)上是减函数 5函数yax与ylogax(a0，且a1)在同一坐标系中的图象只可能为()，答案 A 解析 方法一 若 0a1，则曲线yax上升且过(0,1)，而曲线ylogax下降且过(1,0)只有选项 A 满足条件 方法二 注意到ylogax的图象关于x轴对称的图象的表达式为ylogax，又ylogax与yax互为反函数(图象关于直线yx对称)，则可直接选定选项 A.6设函数f(x)log2a(x1)，若对于区间(1,0)内的每一个x值都有f(x)0，则实数a的取值范围为()A(0，)答案 D 解析 已知1x0，则 0 x11，又当1x
40、0，即 0 x10，所以 02a1，即 0a12.7若指数函数f(x)ax(xR)的部分对应值如下表：x 2 0 2 f(x)1 则不等式 loga(x1)0 的解集为_ 答案 x|1x2 解析 由题可知a，(x1)0，(x1)，解得x0，即x1，1x2.故原不等式的解集为x|1x1，则函数ylogax在区间1,2上为增函数，其值域不可能为1,0；故 0a1，此时当x2 时，y取最小值1，即 loga21，得a12，所以a12.9已知函数f(x)(3a1)x4a，x1logax，x1是实数集 R 上的减函数，那么实数a的取值范围为_ 答案 17，13 解析 函数f(x)为实数集 R 上的减函数
41、，:一方面，0a1 且 3a10，所以 0a13，另一方面，由于f(x)在 R 上为减函数，因此应有(3a1)14aloga 1，即a17.因此满足题意的实数a的取值范围为17a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质 定义 ylogax(a0，且a1)底数 a1 0a0 且a1)和指数函数yax_(a0 且a1)互为反函数 一、对数函数的图象 例 1 下图是对数函数ylogax的图象，已知a值取 3，43，35，110，则图象C1，C2，C3，C4相应的a值依次是()|A.101,53,34,3 B53,101,34,3 C101,53,3,34
42、 D53,101,3,34 答案 A 解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离 y 轴的正方向，所以 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次由大到小，即 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次为101,53,34,3.方法二 过(0,1)作平行于 x 轴的直线，与 C1，C2，C3，C4 的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中 a1，a2，a3，a4 分别为各对数的底，显然 a1a2a3a4，所以 C1，C2，C3，C4 的底值依次由大到小 点评 函数 y=logax(a0，且 a1)的底数 a 的变化对图象位置的影响如下：上下比较：在直线 x=
43、1 的右侧，底数大于 1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴；底数大于 0 且小于 1 时，底数越小，图象越靠近 x 轴|左右比较：(比较图象与 y=1 的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大 变式迁移 1 借助图象比较 m，n 的大小关系：(1)若 logm5logn5，则 m n；(2)若，则 m n.答案(1)二、求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域：、(1)y3log2x；(2)y 4x3)；(3)ylog(x1)(2x)分析 定义域即使函数解析式有意义的x的范围 解(1)该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可，定义域是x|x0(2)要使函数y 4x
44、3)有意义，必须(4x3)0，04x31.解得34x1.定义域是x|340 x112x0，得 x1x0，x2 即 0 x2 或1x0，a1)的定义域 解 loga(4x3)0.(*)当a1 时，(*)可化为 loga(4x3)loga1，4x31，x1.当 0a1 时，(*)可化为 loga(4x3)loga1，04x31，341 时，函数定义域为1，)，当 0a1 时，函数定义域为34，1.三、对数函数单调性的应用 例 3 比较大小：(1)与；(2)log35 与 log64.分析 从比较底数、真数是否相同入手 解(1)考查对数函数y在(0，)内是减函数，,log331log66log64，
45、log35log64.点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；底数与真数都不同，需寻求中间值比较 变式迁移 3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log0.52.7，；(2)log34，log65；(3)loga，logae(a0 且a1)解(1)01，对数函数y在(0，)上是减函数 又在(0，)上是增函数，log34log331.ylog6x在(0，)上是增函数，log65log65.(3)当a1 时，ylogax在(0，)上是增函数 e，logalogae.当 0ae，l
46、oga1 时，logalogae；当 0a1 时，logalogae.例 4 若1loga341，求a的取值范围 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数 解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论:解 1loga341loga1aloga341 时，1a3443.当 0a34a，0a34.a的取值范围是0，3443，.点评(1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则(3)若含有字母，应考虑分类讨论 变式迁移 4 已知 loga(2a1)loga3a0，求a的取值范围 解 loga(2a
47、1)loga3a1 时，(*)可化为 02a1103a12a13a，解得 12a00a1，此时a无解 当 0a13a12a13a，解得 a0a13a1，13a1 还是 0a1 时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图象是()答案 A 解析 a1 由指数函数与对数函数图象可知 A 对 2函数ylog12(3x2)的定义域是()A1，)答案 D 解析 由已知 log12(3x2)0，得 03x21 23x1.3已知a，blog1.10.9，c，则a、b、c的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dcab 答案 C 解析 01，b1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小
48、值之和为4，则a等于()B2 C2 2 D4 答案 A 解析 由题意得 loga aloga 2a4，2loga 24，a 2.5若 loga371 B0a1 C0a37 a1 时，a37，此时 loga 371 符合要求；当 0a1 时，loga 37loga a，0a37，即 0a1 或 0a0 且a1)将点(8,3)代入解析式得：loga83，即a38，a2.f14log2142.三、解答题 9已知f(x)loga3x3x(a0 且a1)，其定义域为(1,1)，试判断f(x)的奇偶性并证明 证明 函数的定义域是(1,1)，关于原点对称 f(x)loga3(x)3(x)loga3x3xloga3x3x1 loga3x3x，f(x)f(x)f(x)是奇函数 10求函数yloga(aax)(a0，且a1)的定义域和值域 解 aax0，aax.当a1 时，x1，则f(x)的定义域为(，1)；当 0a1，则f(x)的定义域为(1，)ax0，0aax1 时，loga(aax)logaa1，函数f(x)的值域为(，1)；当 0alogaa1，函数f(x)的值域为(1，)综上所述，当a1 时，函数f(x)的定义域与值域均为(，1)；当 0a1 时，函数f(x)的定义域与值域均为(1，)