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1、/-2.1对数与对数运算1对数的概念一般地，如果axN (a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数yax的另一种表达形式，例如：3481与4log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式axNxlogaN，从而得对数恒等式：alogaNN.(2)“log”同“”“”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义，对数logaN(a0，且a1)具有下列性质：零和负数没有对数，即N0；1的对数为零，即
2、loga10；底的对数等于1，即logaa1.2对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度(1)基本公式loga(MN)logaMlogaN (a0，a1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和logalogaMlogaN (a0，a1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数logaMnnlogaM (a0，a1，M0，nR)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数(2)对数的运算性质注意点必须注意M0，N0，例如loga(3)(4
3、)是存在的，但是loga(3)与loga(4)均不存在，故不能写成loga(3)(4)loga(3)loga(4)防止出现以下错误：loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN，loga，logaMn(logaM)n.3对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN (b0，且b1；c0，且c1；N0)证明设logbNx，则bxN.两边取以c为底的对数，得xlogcblogcN.所以x，即logbN.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具
4、体应用由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN或logbNlogNb1 (N0，且N1；b0，且b1)；(2)logbnNmlogbN(N0；b0，且b1；n0，mR). 题型一正确理解对数运算性质对于a0且a1，下列说法中，正确的是()若MN，则logaMlogaN；若logaMlogaN，则MN；若logaM2logaN2，则MN；若MN，则logaM2logaN2.A与B与CD、解析在中，当MN0时，logaM与logaN均无意义，因此logaMlogaN不成立在中，当logaMlogaN时，必有M0，N0，且MN，因此MN成立在中，当logaM2logaN2时，有M0，N0，
5、且M2N2，即|M|N|，但未必有MN.例如，M2，N2时，也有logaM2logaN2，但MN.在中，若MN0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2logaN2不成立所以，只有成立答案C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件 题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32log3log385log53；(2)lg25lg8lg5lg20(lg2)2；(3).分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简
6、再计算解(1)原式2log32(log332log39)3log3232log325log3223log3231.(2)原式2lg52lg2lglg(210)(lg2)22lg(52)(1lg2)(lg21)(lg2)221(lg2)2(lg2)23.(3).点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值 题型三对数换底公式的应用计算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)分
7、析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值解方法一原式log25(3log52)13log2513.方法二原式13.点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法已知log(x3)(x23x)1，求实数x的值错解由对数的性质可得x23xx3.解得x1或x3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了正解由对数的性质知解得
8、x1，故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga10，logaa1，alogaNN (a0，且a1，N0)1(上海高考)方程9x63x70的解是_解析9x63x70，即32x63x70(3x7)(3x1)03x7或3x1(舍去)xlog37.答案 log372(辽宁高考)设g(x)则g_.解析gln0，geln，g.答案1对数式log(a3)(7a)b，实数a的取值范围是()A(，7) B(3,7)C(3,4)(4,7) D(3，)答案C解析由题意得解得3a7且a4.2设alog32，则log382log36用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2C5
9、a2 Da23a1答案A解析alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.3log56log67log78log89log910的值为()A1 Blg5 C. D1lg2答案C解析原式.4已知loga(a21)loga2a0，a1，loga(a21)loga2a，0a1.a0，a1)在1,3上最大值与最小值之和为a2，则a的值为()A4 B. C3 D.答案D6若方程(lgx)2(lg7lg5)lgxlg7lg50的两根为，则等于()Alg7lg5 Blg35 C35 D.答案D解析lglg(lg7lg5)lg35lg.7已知f(log2x)x，则f_.
10、答案解析令log2x，则2x，f2.8log(1)(1)_.答案1解析log1(1)log1log(1)1.9已知lg20.301 0，lg30.477 1，lgx20.778 1，则x_.答案0.06解析lg20.301 0，lg30.477 1，而0.301 00.477 10.778 1，lgx2lg2lg3，即lgxlg102lg6.lgxlg(6102)，即x61020.06.10(1)已知lgxlgy2lg(x2y)，求log的值；(2)已知log189a,18b5，试用a，b表示log365.解(1)lgxlgy2lg(x2y)，xy(x2y)2，即x25xy4y20.即(xy)
11、(x4y)0，解得xy或x4y，又x2y0，xy，应舍去，取x4y.则logloglog44.(2)18b5，log185b, 又log189a，log365.11设a，b，c均为不等于1的正数，且axbycz，0，求abc的值解令axbyczt (t0且t1)，则有logta，logtb，logtc，又0，logtabc0，abc1.12已知a，b，c是ABC的三边，且关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，试判定ABC的形状解关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，0，即44lg(c2b2)2lga10.即lg(c2b2)2lga0，故c2b2a2，a2b2
12、c2，ABC为直角三角形22.1对数与对数运算(一) 学习目标1理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化2了解常用对数与自然对数的意义3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算 自学导引1如果a(a0且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作blogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数3通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.4若a0，且a1，则abN等价于logaNb.5对数恒等式：alogaNN(a0且a1).
13、 一、对数式有意义的条件例1求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可解(1)由题意有x100，x10，即为所求(2)由题意有即x1且x2.(3)由题意有解得x1且x0，x1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1在blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是()Aa5或a2B2a5C2a3或3a5 D3a4答案C解析由题意得，2a0)；(2)4(log29log25)解(1)原式(alog
14、ab)logbclogcNblogbclogcN(blogbc)logcNclogcNN.(2)原式2(log29log25).点评对数恒等式alogaNN中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数变式迁移3计算：3log3()log3.解原式3log3(3log3).1一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，就是abN，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2利用abNblogaN (其中a0，a1，N0)可以进行指数与对数式的互化3对数恒等式：alogaNN(a0且a1)一、选择题1下列指数式与对数式互化不正确的
15、一组是()A1001与lg10B27与log27Clog39与93Dlog551与515答案C2指数式b6a (b0，b1)所对应的对数式是()Alog6aa Blog6baClogab6 Dlogba6答案D3若logx(2)1，则x的值为()A.2 B.2C.2或2 D2答案B4如果f(10x)x，则f(3)等于()Alog310 Blg3 C103 D310答案B解析方法一令10xt，则xlgt，f(t)lgt，f(3)lg3.方法二令10x3，则xlg3，f(3)lg3.521log25的值等于()A2 B2C2 D1答案B解析21log2522log2522log25252.二、填空
16、题6若5lgx25，则x的值为_答案100解析5lgx52，lgx2，x102100.7设loga2m，loga3n，则a2mn的值为_答案12解析loga2m，loga3n，am2，an3，a2mna2man(am)2an22312.8已知lg60.778 2，则102.778 2_.答案600解析102.778 210210lg6600.三、解答题9求下列各式中x的值(1)若log31，则求x值；(2)若log2 003(x21)0，则求x值解(1)log31，312x27，即x13(2)log2 003(x21)0x211，即x22x10求x的值：(1)xlog4；(2)xlog9；(3
17、)x71log75；(4)logx83；(5)logx4.解(1)由已知得：x4，2x22，2，x4.(2)由已知得：9x，即32x3.2x，x.(3)x77log7575.(4)由已知得：x38，即323，2，x.(5)由已知得：x4.2.2.1对数与对数运算(二) 学习目标1掌握对数的运算性质及其推导2能运用对数运算性质进行化简、求值和证明 自学导引1对数的运算性质：如果a0，a1，M0，N0，那么，(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)2对数换底公式：logab. 一、正确理解对数运算性质例1若a0，a1，x
18、0，y0，xy，下列式子中正确的个数有()logax logayloga (xy)；logaxlogayloga(xy)；logalogaxlogay；loga(xy)logaxlogay.A0个B1个C2个D3个答案A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件变式迁移1若a0且a1，x0，nN*，则下列各式正确的是()Alogaxlog
19、a B(logax)nnlogaxC(logax)nlogaxn Dlogaxloga 答案A 二、对数运算性质的应用例2计算：(1)log5352log5log57log51.8；(2)2(lg)2lglg5；(3)；(4)(lg5)2lg2lg50.分析利用对数运算性质计算解(1)原式log5(57)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552log552.(2)原式lg(2lglg5)lg(lg2lg5)1lglg1lg1.(3)原式.(4)原式(lg5)2lg2(lg22lg5)(lg5)22lg5lg2(l
20、g2)2(lg5lg2)21.点评要灵活运用有关公式注意公式的正用、逆用及变形使用变式迁移2求下列各式的值：(1)log5352loglog5log514；(2)(1log63)2log62log618log64.解(1)原式log5(57)2log22log5(522)log5(27)1log5712log52log52log572.(2)原式log2log62log6(36)log622log62(log62log631)(2log62)1. 三、换底公式的应用例3(1)设3x4y36，求的值；(2)已知log189a,18b5，求log3645.解(1)由已知分别求出x和y.3x36,4
21、y36，xlog336，ylog436，由换底公式得：x，y，log363，log364，2log363log364log36(324)log36361.(2)log189a,18b5，log185b.log3645.点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除变式迁移3(1)设log34log48log8mlog416，求m；(2)已知log1227a，求log616的值解(1)利用换底公式，得2，lgm2lg3，于是m9.(2)由log1227a，得a，lg3，.log616.1对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和
22、(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)2对于常用对数的化简要充分利用“lg5lg21”来解题3对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值一、选择题1lg83lg5的值为()A3 B1 C1 D3答案D解析lg83lg5lg8lg53lg1 0003.2已知lg2a，lg3b，则log36等于()A. B.C. D.答案B解析log36.3若lga，lgb是方程2x24x10的两个根，则2的值等于()A2 B. C4 D.答案A解析由根与系数的关系，得lgalgb2，lgalgb，2(lgalgb)2(lgalgb)24lgalgb2242.4若2.5
23、x1 000,0.25y1 000，则等于()A. B3 C D3答案A解析由指数式转化为对数式：xlog2.51 000，ylog0.251 000，则log1 0002.5log1 0000.25log1 00010.5设函数f(x)logax (a0，且a1)，若f(x1x2x2 005)8，则f(x)f(x)f(x)的值等于()A4 B8 C16 D2loga8答案C解析因为f(x)logax，f(x1x2x2 005)8，所以f(x)f(x)f(x)logaxlogaxlogax2loga|x1|2loga|x2|2loga|x2 005|2loga|x1x2x2 005|2f(x1
24、x2x2 005)2816.二、填空题6设lg2a，lg3b，那么lg_.答案解析lglg1.8lglg(lg2lg91)(a2b1)7若logax2，logbx3，logcx6，则logabcx的值为_答案1解析logabcxlogax2，logbx3，logcx6logxa，logxb，logxc，logabcx1.8已知log630.613 1，log6x0.386 9，则x_.答案2解析由log63log6x0.613 10.386 91.得log6(3x)1.故3x6，x2.三、解答题9求下列各式的值：(1)lglglg；(2)(lg5)22lg2(lg2)2.解(1)方法一原式(5
25、lg22lg7)lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.方法二原式lglg4lg7lglg()lg.(2)方法一原式(lg5lg2)(lg5lg2)2lg2lg10lglg4lglg101.方法二原式(lg10lg2)22lg2lg2212lg2lg222lg2lg221.10若26a33b62c，求证：.证明设26a33b62ck (k0)，那么6logk223logk3logk(2636)6logk632logk6，即.22.2对数函数及其性质1对数函数的概念形如ylogax (a0且a1)的函数叫做对数函数对于对数函数定义的理解，要注
26、意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，)；(2)对数函数的解析式ylogax中，logax前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a0，且a1；(3)以10为底的对数函数为ylgx，以e为底的对数函数为ylnx.2对数函数的图象及性质：a10a1时，恒有y0；当0x1时，恒有y1时，恒有y0；当0x0函数在定义域(0，)上为增函数函数在定义域(0，)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式yax (a0，且a1)ylogax(a0，且a1)定义域(，)(0，
27、)值域(0，)(，)函数值变化情况a1时，；0a1时，logax；0a1时，yax是增函数；0a1时，ylogax是增函数；0a0，即m、n范围相同(相对于“1”而言)，则logmn0；(2)当(m1)(n1)0，即m、n范围相反(相对于“1”而言)，则logmn0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log20等，一眼就看出来了！ 题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)ylog3x1；(2)y (a0，a1)分析定义域即使函数解析式有意义的x的范围解(1)要使函数有意义，必须同时成立，解得x1.定义域为(1，)(2)要使原函数有意义，需1loga(xa)0，即loga(x
28、a)1时，0xaa，ax0.当0aa，x0.当a1时，原函数定义域为x|ax0；当0a0点评求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x，还要考虑不能使分母为零 题型二对数单调性的应用(1)log43，log34，log的大小顺序为()Alog34log43log43logClog34loglog43Dloglog34log43(2)若a2ba1，试比较loga，logb ，logba，logab的大小(1)解析log341,0log43log43log.答案B(2)解ba1，01.loga1，且b1，logblogba，故有logalogblog
29、ba1为增；0a0，a11，a20，a21)当a1a21时，曲线y1比y2的图象(在第一象限内)上升得慢即当x1时，y1y2；当0xy2.而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大当0a2a11时，y1y2；当0xy2即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小已知loga1，那么a的取值范围是_分析利用函数单调性或利用数形结合求解解析由loga1时，显然符合上述不等式，a1；当0a1时，a，0a1或0a1或0a1时，logax0x1，logax00x1；(2)当0a00x1，logax1. 题型三函数图象的应用若不等式2xlogax0，当x时恒成立，求实数a的取值范围解要使不等式
30、2x，显然这里0a=log，a，即a.所求的a的取值范围为a1时，显然y20对xR恒成立，即a1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别正解函数f(x)lg(ax22x1)的值域是R真数tax22x1能取到所有的正数当a0时，只要x，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a0时，必须有01Bx|x1Cx|1x1 D解析由题意知Mx|x1故MNx|1x1答案C2(湖南高考)下列不等式成立的是()Alog32log23log25Blog32log25log23Clog23log32log25Dlog23log25log23log221.又ylog3x在(0，)上为增函数，log32
31、log331.log32log23log25.答案A3(全国高考)若x(e1,1)，alnx，b2lnx，cln3x，则()Aabc BcabCbac Dbca解析x1，1lnx0.令tlnx，则1t0.ab.cat3tt(t21)t(t1)(t1)，又1t0，0t11，2t10，ca.cab.答案C1已知函数f(x)的定义域为集合M，g(x)ln(1x)的定义域为集合N，则MN等于()Ax|x1 Bx|x1C. D答案C2已知函数f(x)lg，若f(a)，则f(a)等于()A. B C2 D2答案B解析f(a)lglg1lgf(a).3已知alog23，blog32，clog42，则a，b，c的大小关系是()Acba BabcCbca Dca1，blog3 2b；又因为2，则log32log3，而log42log2，所以b，c，即bc.从而abc.4函数f(x)lg|x|为()A奇函数，在区间(0，)上是减函数B奇函数，在区间(0，)上是增函数C偶函数，在区间(，0)上是增函数D偶函数，在区间(，0)上是减函数答案D解析已知函数定义域为(，0)(0，)，关于坐标原点对称，且f(x)lg|x|lg|x|f(x)，所以它是偶函数又当x0时，|x|x，即函数ylg|x|在区间(