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1、1/8 课题 中国古代数学中的算法案例 课时 1 课型 新授 教 学 目 标 知识与技能：了解中国古代的算法案例，能结合古代案例的思想解决一些实际问题 过程方法与能力：通过本节课的学习，进一步理解算法的基本思想，并能够应用之解决具体问题，培养学生的逻辑思维能力及表达能力。情感态度与价值观：了解中国古代算法对世界数学发展的巨大贡献，培养民族自豪感 重点 分析 理解中国古代的三个问题的算法 难点 分析 结合算法编写程序 课程资源开发 及课前准 备 1.对内容的挖掘 2.课后题的选择 3.红对勾中题目的选取 4.练习中题目的选取 5.对学生能力的判定 2/8 教 学 过 程 与 内 容 课后反思 1
2、.复习回顾：五种语句特点 2.讲授新课：求两个正整数最大公约数的算法 更相减损之术 （1）定义：任意给定的两个正整数，以较大数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数，这种方法也称作等值算法.例 1 用等值算法求12和16的最大公约数.解：用较大的数减去较小的数，即16 124，用差数4与较小的数12组成一组，构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数，整个操作过程如下：16,12 4,12 4,8 4,4 因此4是12和16的最大公约数
3、.（2）算法：S1 输入两个正整数,a bab；S2 如果ab，则执行 S3，否则转到 S5；S3 将ab的值赋给r；S4 若br，则把b赋给a，把r赋给b；否则把r赋给a，重新执行 S2；S5 输出最大公约数b.（3）程序框图：如图 03-07-01 （4）程序如下：ainput（“a=”）；binput（“b=”）；while ab rab；if r b n 本 节 课 是应用课，难度 要 大 一些，要注意速度 对 于 典 型题 目 要 记住解法 从 图 向 语言 过 渡 不简单，可以放 慢 些 速度 开始 输入,a b ab 是 是 否 否 是 否 rab rn rn ar ab br
4、输出b 结束 图 03-07-01 3/8 else if rn ar；else ab；br；end end n end （5）更相减损之术的理论依据：,a b和,b r具有相同的最大公约数.例 2 求24,36,80三个数的最大公约数。分析：求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数，再用得到的最大公约数与第三个数合成一组求出所要求的最大公约数.解：24,36的最大公约数：24,36 24,12 12,12，所以最大公约数是12.12,80的 最 大 公 约 数：12,80 12,68 12,56 12,44 12,32 12,20 12,8 4,8 4,4，所以最大公约数是4.所以24
5、,36,80三个数的最大公约数是4.辗转相除法（1）定义：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数，这种方法称为欧几里得算法.例 3 用辗转相除法求288和123的最大公约数.解：用较大的数除以较小的数，即288 123242，用余数42与较小的数123组成一组，构成新的一对数，对这一对数再用较大的数除以较小的数，以同样的操作一直做下去，直到大数被小数除尽，这个小数就是最大公约数，整个操作过程如下：288,123 42,123 42,39 3,39 因此3是288和123的最大公约数.（2）算法：S1 输入两个正
6、整数,a bab；S2 如果modulo a,b0r，则执行 S3，否则转到 S4；S3 将ab的余数赋给r，把b赋给a，把r赋给b，重新执行 S2；S5 输出最大公约数b.（3）程序如下：ainput（“a=”）；binput（“b=”）；r=1；while r0 rmodulo（a，b）；ab；br；end 可 以 让 学生 参 与 进来，提高兴趣 4/8 print（%io（2），b）；（4）程序框图：如图 03-07-02 更相减损之术与辗转相除法的异同：（1）更相减损之术以减法为主，辗转相除法以除法为主.（2）在计算上，更相减损之术计算次数较多，而辗转相除法计算次数较少.（3）从输出
7、结果来看，更相减损之术当两个数相等时输出结果，而辗转相除法当余数为 0 时输出结果.割圆术 割圆术过程分析：我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律.如图 03-07-03，设圆的半径是1，边长为nx，边心距为nh，根据勾股定理，212nnxh.正2n边形的面积为正n边形的面积再加上n个等腰三角形ADB的面积的和.即 2112nnnnSSnxh.正2n边形的边长为22212nnnxxh.如果在内接n边形的每一边上，作一高为CD的矩形，就 可得到222nnnnSSSSS.这样我们就不仅可以计算出圆周率的不足近似值，也可以计算出圆周率的过
8、剩近似值.从正六边形的面积开始计算，即6n，则正六边形的面积是6364S.用上面的公式重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形的面积.开始 输入,a b 1r 是 否 0r modulo,ra b ab br 输出b 结束 图 03-07-02 图 03-07-03 hn1xnDBCAO5/8 因为圆的半径是1，所以随着n的增大，2nS的值就不断的接近圆周率，这样就断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率的近似值.求的不足近似值的算法程序：n6；x1；s6sqrt（3）/4；for i1：1：5 hsqrt（1（x/2）2）；ssnx（1h）/2；n2n；xsqrt（x/2）2（1h）2）；
9、end print（%io（2），n，s）；割圆术中求的不足近似值的算法程序框图：如图 03-07-04 秦九韶算法 定义：对任意一元n次多项式，首先将多项式改写为 1110nnnnP xa xaxa xa 12110nnnna xaxaxa 231210nnnna xaxaxaxa 1210nnna xaxaxaxa 开始 6n 1x 364s 1i 5i 212nxh 12hssn x 2nn 2212xxh 1ii 输出,s n 结束 否 是 图 03-07-04 6/8 令11knnn knkva xaxaxa，则递推公式为：01nkkn kvavvxa，其中1,2,kn 所谓递推，就
10、是在一系列数中已知第一个数，则其后的每一个数都可由前面的数求出.根据上面的递推公式，可由0v依次求出所有的kv：101nvv xa，212nvv xa，323nvv xa，1kkn kvvxa，10nnvvxa，这种方法称为秦九韶算法.程序如下：xinput（“x”）；ninput（“n”）；a0input（“a0”）；a1input（“a1”）；aninput（“an”）；i1；van；while in vvx0a（ni）；ii1；end v 程序框图：如图 03-07-05 所示 特点：通过一次式的反复运算，逐步得到高次多项式的值.例 4 用秦九韶算法求 54325101051f xxxx
11、xx当2x 时的值.解：先改写多项式，再由内向处计算.否 输入12,naaa 输入x 1i nva 1ii nivvxa in 输出v 结束 开始 是 图 03-07-05 7/8 54325101051f xxxxxx5101051xxxxx.而2x ，所以有：01v，1041253vv xa ，21332104vv xa ，32242102vv xa ，4312251vv xa ，5401211vv xa .故21f .3.课堂练习：1在秦九韶的算法中用到的一种方法是（）A消元 B递推 C回代 D迭代 解：选 B 2用圆内接正多边形逼近圆，得到的圆周率总是比的实际值要（）A大于等于 B小于
12、等于 C等于 D 小于 解：选 D 3两数490和840的最大公约数为（）A2 B10 C70 D 70 解：选 B 用辗转相除法840,490 490,350 350,140 140,210 140,70 也可以用等值算法.4我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率，其算法特点（）A运算速率快 B能算出圆周率的准确值 C“内外夹逼”D无限次地分割 解：选 D 5用更相减损之术求38和18的最大公约数时需要用到的减法次数是（）A8 B9 C10 D11 解：选 B 38,18 20,18 18,2 16,2 14,2 12,2 10,2 8,2 6,2 4,2 2,2 6利用秦九韶算法求多项式3273511xxx当23x 时的值，会用到下列哪个值（）A161 B3772 C86641 D86652 解：选 D 多项式变形为73511xxx，当23x 时 8/8 07v，1027233164vv xa，2111642353767vv xa，320376323 1186652vv xa.7用秦九韶算法计算多项式54322587611xxxxx，在求3x 对应的值时，3v对应的值为（）A256 B220 C120 D130 解：D.4.课时小结：学生完成 5.课后作业：练习卷 板书设计 中国古代算法举例 1.形式 2.例题 3.练习