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1、弹性力学复习题（06 水工本科）一、选择题 1.下列材料中，（）属于各向同性材料。A.竹材；B.纤维增强复合材料；C.玻璃钢；D.沥青。2 关于弹性力学的正确认识是（）。A.计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B.弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设；C.任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D.弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。3.弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。A.任务；B.研究对象；C.研究方法；D.基本假设。4.所谓“完全弹性体”是指（）。A.材料应力应变关系满足胡克定律；B.材料的应力应变关系与加载时间历史
2、无关；C.本构关系为非线性弹性关系；D.应力应变关系满足线性弹性关系。5.所谓“应力状态”是指（）。A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B.一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C.3 个主应力作用平面相互垂直；D.不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。6.变形协调方程说明（）。A.几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的；B.微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；C.变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；D.变形是由应变分量和转动分量共同组成的。7.下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。A.几何方程适用小变形条件；B.物
3、理方程与材料性质无关；C.平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件；D.变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件；8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。A几何方程 B边界条件 C数值方法 D附加假定 9、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系（）。A平衡微分方程、几何方程、物理方程完全相同 B平衡微分方程、几何方程相同，物理方程不同 C平衡微分方程、物理方程相同，几何方程不同 D平衡微分方程，几何方程、物理方程都不同 10、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的面力可以用下列（
4、）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A静力等效 B几何等效 C平衡 D任意 11、应力函数必须是（）A、多项式函数 B、三角函数 C、重调和函数 D、二元函数 12、要使函数33axybx y 作为应力函数，则ba、满足的关系是（）A、ab、任意 B、ba C、ba D、2ba 13、三结点三角形单元中的位移分布为（）。A常数 B线性分布 C二次分布 D三次分布 14、应力、面力、体力的量纲分别是（）A、-1-2-2-2-2-2M L T,M L T,M L T B、-1-2-2-2-1-2M L T,M L T,M L T C、-1-2-1-2-2-2M L
5、T,M L T,M L T D、-2-2-2-2-1-2M L T,M L T,M L T 15、应变、Airy 应力函数、势能的量纲分别是（）A、-22-21,M L T,M L T B、-2-21,M L T,M L T C、-1-2-22-2M L T,M L T,M L T D、-2-2-2-22-2M L T,M L T,M L T 16、下列力不是体力的是（）。、重力、惯性力、电磁力、静水压力 17、下列问题可能简化为平面应变问题的是（）。、受横向集中荷载的细长梁、挡土墙、楼板、高速旋转的薄圆板 18、在有限单元法中是以（）为基本未知量的。A、结点力 B、结点应力 C、结点应变 D
6、、结点位移 二、简答题 阐述弹性力学的平面问题的五个基本假设及其意义。课本 P3 面力、体力与应力的正负号规定是什么，要会标明单元体指定面上的应力、面力及 体力。参照课本 P5 内容和例题 1、3。什么是主平面、主应力、应力主方向。课本 P17 平面应力问题与平面应变问题各有什么特点，典型工程实例有哪些？在什么条件下，平面应力问题的xyyx,与平面应变问题的xyyx,是相同的。弹性力学平面问题三类方程的内容。要会默写。在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假设？提示：平衡微分方程：连续性假设和小变形假设；几何方程：连续性假设和小变形假设：物理方程：连续性假设、均匀性
7、假设、各向同性假设、完全弹性假设。按应力求解平面问题时，应力分量应满足哪些条件？P38 简述圣维南原理的基本内容，两种表述方法及其应用举例。若引用应力函数求解平面问题，应力分量与应力函数的关系式xfyxx22、yfxyy22、yxxy2是根据弹性力学哪一类基本方程推导出来的。简述逆解法和半逆解法的求解步骤。课本 P57，P58 由于求解微分方程边值问题的困难，在弹性力学中发展了三种数值解法，分别是 ，。有限单元法主要有两种导出方法，试简述其内容。有限单元法特点有哪些？为了保证解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？有限单元法解题的步骤有哪些。课本 P108 P109。单元劲度矩阵k中元素ijk是
8、一22矩阵，其每一元素的物理意义是什么？要会利用 公式来求单元劲度矩阵。关于有限单元法，回答以下问题：1）单元结点力是什么？2）单元结点荷载是什么？3）单元劲度矩阵的某一个元素的物理意义？4）整体劲度矩阵的某一个元素的物理意义？5）有限单元法结点的平衡方程是什么力和什么力的平衡？6)三节点三角形单元中，位移与应力哪个精度更高，哪个误差更大，并说明原因。三、计算题 1.试问xybabxayxyyx)(,22是否可能成为弹性力学问题中的应变分量？提示：考察是否满足变形协调方程。2.检查下面的应力分量在体力为零时是否能成为可能的解答。224,4,8xyxyxyxy 提示：是否满足相容方程。3.已知物
9、体内某点的应力分量为100 x，50y，10 50 xy，试求该点的主应力 12,和1。课本 P34，习题 2-15。4.已知 （a）22222yAyxBxyC xy （b）432234AxBx yCx yDxyEy 以上两式能否作为平面问题应力函数的表达式？若能，则需要满足什么条件。5.试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。6.试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。参考答案：在主要边界2hy 上，应精确满足下列边界条件：2hyyq，20hxyy，20hyy，12hxyyq 在次要边界0 x 上应用圣维
10、南原理列出三个积分的应力边界条件 2N02hhxxdxF，202hhxxydxM，2S02hhxyxdxF 在次要边界xl列出位移边界条件，0 x lu，0 x lv。l1q2h2hxyOqMNFSF1h2hgxyOb2hb也可应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件 21N2hhxx ldxqlF，212222hhxSx lqlhqlydxMF l，2S2hhxyx ldxqlF 7.单位厚度的楔形体，材料比重为1，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。yyxO 参考答案：左侧面：cos,sin,cotlmyx 11cossincossincossinxxyyxygy
11、gy 右侧面，cos,sin,cotlmyx cossin0sin+cos0 xxyyxy 8.试用应力函数3BxyAxy 求解图示悬臂梁的应力分量（设hl）。2h2hlyxOqMqlh 9.已知如图所示的墙，高度为h，宽度为b，hb，在两侧面上受到均布剪力q作用，不计体力，试用应力函数3AxyBx y 求解应力分量。参考答案：（1）将应力函数代入相容方程220 ，其中 440 x，4220 x y，440y 满足相容方程。（2）应力分量表达式为 220 xy，226yBxyx，223xyABxx y （3）考查边界条件 在主要边界2bx 上，应精确满足下列边界条件：20bxx，2bxyxq
12、在次要边界0y 上，00yy能满足，但 00yxy的条件不能精确满足，应用圣维南原理列出积分的应力边界条件代替 2020bbyxydx 将应力分量代入边界条件，得 2qA，22qBb 应力分量 0 x，212yqxyb，221 122xyqxb 10.设有矩形截面竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力 q，试求应力分量。提示：假hxyOhbqq2b2b设220 xy hlyxOqg 参考答案：（1）、假设220 xy，由此推测的形式为 12=fx yfx（2）、代入4=0，得 441244y+=0d fxd fxdxdx 要使上式在任意的y都成立，必须 414=0d fxdx，得 321=fxA
13、xBxCxD 424=0d fxdx，得 321=fxExFxGxH 代入，即得应力函数的解答3232=AxBxCx yExFx（略去了x、y的一次项和常数项）（3）、由求应力分量，0,xyffg 220 xy 226262yyf yAxB yExFgyx （1 分）2232xyAxBxCx y （4）、校核边界条件 主要边界 0,0 xxh（已满足）00 xyx，0C xyx hq，232AhBhCq（1）次要边界 000hyxdx，320EhF（2）000hyxxdx，20EhF（3）000hyxydx，0AhB（4）由（1）-（4）联立可解得 A、B、E、F。11.设体力为零，试用应力函
14、数22yx，求出上图所示物体的应力分量和边界上的面力，并把面力分布绘在图上，圆弧边界 AB 上的面力用法线分量和切向分量表示。1OAOB。xyOAB 12.已知平面应力问题矩形梁，梁长 L，梁高 h,已知E=200 000 Pa，=0.2，位移分量为：(,)6(0.5)u x yxL y E，2(,)3()3v x yLx x EyE，求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的值：(1)应变分量 (2)应力分量，(3)梁左端（x=0）的面力及面力向坐标原点简化的主矢和主矩。2h2hLyxO 13.矩形长梁，2lm，1hm，厚度为t，弹性模量为E，泊松比1 3，在右侧面作 用着均布面力2(N
15、/m)q。其有限元网格和单元 1 2的节点局部编号如图示，试写出单元 2劲度矩阵 2k。qlh4123 2 1yx jiimjm 2 1 单元劲度矩阵 iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk，21122114 122rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtAc bb cc cb bk ,;,ri j msi j m ;,ijmimjbyycxxi j m 答案：40024201220212023032=200121423274212214132k 14.某结构的有限元计算网格如图（a）所示。网格中两种类型单元按如图（b）所示的局部编号，它们单元劲度矩阵
16、均为 0.50000.5000.250.2500.250.2500.250.2500.250.250000.500.50.50.250.2500.750.2500.250.250.50.250.75k a bxyijmijm978 1123654 8 7 6 5 4 3 2qhhll 试求：结点 1、2、3 的等效结点荷载列阵L1F、L2F、L3F;整体劲度矩阵中的子矩阵22K，33K，45K、55K和67K。参考答案：06qlL1F，2056qlLF，02qlL1F 1.50.250.251.522K，330.750.250.250.75K，-1-0.25-0.25-0.545K、30.50
17、.5355K和000067K 15.有限单元法中选取的单元位移模式应满足什么条件?下列位移函数 20123uaa xa ya x，20123vbb xb yb y 能否作为三角形单元的位移模式?简要说明理由。若能，试估算其误差等级。提示：考察能否满足收敛性的三个条件。16.对于图示的四节点平面四边形单元，若取位移模式为 12345678uaa xa ya xyvaa xa ya xy 试:考察此位移模式的收敛性条件。估计其误差等级。列出求解其系数18aa的方程 mummviuiivppvjujjvpuOyxbaab 提示：同上题。6在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间
18、的关系？答：在弹性力学利分析问题，要从 3 方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。7按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类？试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类：（1）平面应力问题：很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。
19、例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在yxxyyx、三个应力分量。（2）平面应变问题：很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力也平行于横截面且不沿长度变化。这一类问题可以简化为平面应变问题。例如挡土墙和重力坝的受力分析。该种问题 并不等于零。而一般zzyyzzxxz0;0 8什么是圣维南原理？其在弹性力学的问题求解中有什么实际意义？圣维南原理可表述为：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那麽近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计 弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理
20、将面力分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的情况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。9什么是平面应力问题？其受力特点如何，试举例予以说明。答：平面应力问题 是指很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在yxxyyx、三个应力分量。二、计算题 1 已知过 P 点的应力分量,15Mpax,25MpayMpaxy20。求过 P 点，0060cos30cosml、斜面上的NNNNYX、。解：MpamlXxyxN99.222060cos1530cos00 MpalmY
21、xyyN82.292030cos2560cos00 MpalmmlxyyxN82.34 2060cos30cos22560cos1530cos 200020222 MpamllmxyxyN33.14 20)60cos30(cos)1525(60cos30cos )()(02020022 2在物体内的任一点取一六面体，x、y、z 方向的尺寸分别为 dx、dy、dz。试依据下图证明：0Yxzyxyzyy。dzdxxxxxydyyyydxxxyxydyyyxyxyzzxxzxyzyzxyxyzdzzzzdxxxzxzdyyyzyzdzzzyzyzzxzxPBACo 证明：:0yF 0)()()()(
22、)()(Ydxdydzdzdydzdydxxdydxdydxdzzdzdxdzdxdyyxyxyxyzyzyzyyyy 化简并整理上式，得：0Yxzyxyzyy 3图示三角形截面水坝，材料的比重为，承受比重为 液体的压力，已求得应力解为aydxgydycxbyaxxyyx，试写出直边及斜边上的边界条件。解：由边界条件 Y )l()m(X)m()l(sxysysyxsx 左边界：sin,cosml ay)dxgy)dy(cxay)dx(by)(axssss 0(cossin0sincos 右边界：0,1ml ay)dxgyby)(axss 0(4已知一点处的应力分量,30Mpax,25MpayMpaxy50，试求主应力 21、以及1与 x 轴的夹角。解：Mpaxyyxyx56.59)50(2253022530 22 22221 Mpaxyyxyx06.5522 222 0111159.3050)30(56.59tgtgxyx