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1、正弦定理和余弦定理一、正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理a2b2c22bccosA；内容2RsinAsinBsinCabcb2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(2)sinA，sinB，sinC；2R2R2R(3)abcsinAsinBsinC；常见变形(4)abcabcabsinAsinBsinCsinAsinB；sinC(5)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA二、对三角形解的个数的探究正弦定理可以用来解决两类解三角形的
2、问题：1已知两角和任意一边，求另两边和另一角；2已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角cb2c2a2cosA；2bcc2a2b2cosB；2aca2b2c2cosC2ab第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：(1)若 sinB(2)若 sinB(3)若 sinBbsinA1，则满足条件的三角形的个数为 0，即无解；absinA1，则满足条件的三角形的个数为1；absinA1，则满足条件的三角形的个数为 1
3、或 2.absinA1 可得B有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大a显然由 0sinB角对大边”、“三角形内角和等于 180”等，此时需进行讨论判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定设A为锐角，若ab，则AB，从而B为锐角，有一解；若ab，则A1，无解；sinB1，一解；sinB1，两解法二：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数三、三角形的面积公式已知条件absinAab一解bsinAab两解ab一解ab无解选用公式111公式 1：SABCahabhbchc222(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)三角形的一边及此边上的高三角形的两边及夹角111公式 2：SA
4、BCabsinCbcsinAacsin2221 sinBsinC1 sinAsinC公式 3：SABCa2，SABCb2，2sinA2sinB三角形的两角及一边SABCc21 sinAsinB.2sinC公式 4：(海伦公式)SABCp三角形的三边papbpc，1其中p(abc).2111abc1SABCabsinCbcsinAacsinB(abc)r(R、r分别是三角形外接圆、2224R2内切圆的半径)，并可由此计算R，r.高频考点一高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形利用正弦定理、余弦定理解三角形例 1、(1)在ABC中，已知a2，b 6，A45，则满足条件的三角形有()A1 个C0
5、个B2 个D无法确定(2)在ABC中，已知sinAsinB21，c2b2 2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_1(3)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a 3，sinB，C，则b26_.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数【变式探究】(1)已知在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解
6、，则x的取值范围是()Ax2C2x2 2Bx2D2x23(2)在ABC中，A60，AC2，BC 3，则AB_.高频考点二高频考点二和三角形面积有关的问题和三角形面积有关的问题例 2、(2015浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，4b2a2c2.(1)求 tanC的值；(2)若ABC的面积为 3，求b的值【感悟提升】12111(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一222个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)
7、求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积高频考点三高频考点三正弦、余弦定理的简单应用正弦、余弦定理的简单应用例 3、(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cosA，则ABC为()A钝角三角形C锐角三角形B直角三角形D等边三角形cbBac(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为22c()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【举一反三】(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2 倍sinB(1)求；sinC(2)若AD1，DC2，求BD和AC的长2【感
8、悟提升】(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理【变式探究】在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形练习：1已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若 A，b2acosB，c1，3则ABC 的面积等于()A
9、.3333 B.C.D.2468c2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 C2B，则 为()b A2sinCB2cosBC2sinBD2cosCcbsinA3已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，则 B()casinCsinB3A.B.C.D.64344在ABC 中，若lg(ac)lg(ac)lgblg1，则 A()bcA90B60C120D1502sin2Bsin2A5在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则的值sin2A为()AB.C1D.6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足
10、 csinA 3acosC，则sinAsinB 的最大值是()191372A1B.2C.3D37.在ABC 中,若 A=,B=,BC=3A.B.,则 AC=()C.2D.48.在ABC 中,若 a2+b2b B.ab C.a=b D.a与 b 的大小关系不能确定11.在ABC 中,a=15,b=10,A=60,则 cosB=.22212.ABC 中,三个内角 A,B,C 对的边分别为 a,b,c,若 sin A+sin C-sin B=3sinAsinC,则B=.13.ABC 中,点 D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,BD=2DC.(1)求.(2)若BAC=60,求 B.14.在ABC
11、中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB.(1)求 cosB 的值.(2)若=2,且 b=2,求 a 和 c 的值.所 对 的 边 分 别 为a,b,c,点(a,b)在 直 线15.在 ABC中,角A,B,Cx(sinA-sinB)+ysinB=csinC 上.(1)求角 C 的值.(2)若 2cos2-2sin2=,且 AB,求.16.如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=(1)求 cosCAD 的值.(2)若 cosBAD=-,sinCBA=,求 BC 的长.正余弦定理在实际中的应用正余弦定理在实际中的应用对实际应用问题中
12、的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为.(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60.如图中ABC为北偏东 60或为东偏北30.（1）（2）（3）（4）知识点一测量距离问题例 1(导学号：30280048)如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东 75，距离为 12 6 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西 30
13、，距离为 8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东 60.求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离1如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时气球的高度AD是 60 m，则河流的宽度BC是()A240(31)mC120(31)m知识点二测量高度问题例 2(导学号：30280050)某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高B180(21)mD30(31)m2如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60
14、，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.知识点三测量角度问题例 3(导学号：30280052)如图，在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为(31)n mile 的B处有一艘走私船，在A处北偏西 75方向，距离A为 2 n mile 的C处有一艘缉私艇奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东 30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船，并求出所需时间(结果保留根号，无需求近似值)3(导学号：30280053)甲船在A处观察到乙船在它的北偏东 60的方向，两船相距a n mile，乙船向正北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应按什么方向前进才能尽快追上乙船？此时乙船行驶了多少？