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1、正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：ABC；S21ab sin C21bc sin A21ca sin B；2三角形中的边角不等关系:ABab,a+bc,a-bb时有一解 . 5余弦定理a2=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosB若用三边表示角，余弦定理可以写为、6余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边7 . 三角形面积公式课堂互动知识点 1 运用判断三角形形状例题 1 在 ABC中已知 acosB=bcosA, 试判断 ABC的形状 . 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断
2、三角形形状, 可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 A=B 即 ABC为等腰三角形解法 2: 由余弦定理 : 22222222bcacbbacbcaa22baba即 ABC为等腰三角形 . 巩固练习1在ABC中，若2222sinsin2 coscosbCcBbBC，试判断三角形的形状2在ABC中, 已知 a2tanB=b2tanA, 试判断这个三角形的形状.3已知ABC中
3、，有cos2cossincos2cossinACBABC，判断三角形形状.知识点 2运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1) 在下述情况下应首先使用余弦定理: 已知三条边 ( 边边边 ), 求三个角; 已知两边和它们的夹角( 边角边 ), 求其它一边和两角;(2) 在下述情况下应首先使用正弦定理: 已知两边和一边的对角 (边边角 ), 求其它一边和两角; 已知两角和任一边( 角角边、角边角), 求其它两边和一角.例题 2在ABC中，已知3a，2b，B=45求 A、C及 c.【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：
4、由正弦定理得：23245sin3sinsinbBaAB=45 90即ba A=60 或 120当 A=60 时 C=7522645sin75sin2sinsinBCbc当 A=120 时 C=1522645sin15sin2sinsinBCbc解法 2： 设c=x 由余弦定理Baccabcos2222将已知条件代入， 整理：0162xx解之：226x当226c时2)13(231226223)226(22cos2222bcacbA从而 A=60，C=75当226c时同理可求得： A=120C=15.巩固练习1已知在ABC中，2,6,45BCABA，试解该三角形在ABC中，213,2tantanc
5、bbbcBA，求三内角A、 B、 C3在ABC中，已知A、 B、C 成等差数列，且BCA2cossinsin，34ABCS，求三边a、b、 c4在ABC中，已知BCA2，32tantanCA，求 A、B、C 的大小，又知顶点C 的对边 C 上的高等于34，求三角形各边a、b、 c 的长知识点 3解决与三角形在关的证明、计算问题例题 3已知 A、 B、C 为锐角， tanA=1 ，tanB=2，tanC=3，求 A+B+C 的值【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角本题应先求出A+B 和 C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出 A+B+C 【答案
6、】ABC、 、为锐角0270ABC又，由公式可得tantanAB12ABCDatan()tan ()ABCABCtan()tantan() tanABCABC133133()=0 所以 A+B+C= 巩固练习1在ABC中,a 、 b、c 分别是角A、B 、C的对边 , 设 a+c=2b,A-C=3, 求 sinB 的值 . 2在ABC中，a，b，c 分别是ABC，的对边长， 已知 a，b，c 成等比数列， 且acacbc22，求A的大小及bBcsin的值3在ABC中，若4,5 ba且3231)cos(BA，求这个三角形的面积例题 4在ABC中, 角 A、B、C的对边分别为a、b、 c, 证明
7、:CBAcbasin)sin(222. 【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次. 【答案】证法一: 由正弦定理得CABCBAcba2222222sin22cos2cossinsinsin=CABAB2sin2)sin()sin(2=CBAC2sin)sin(sin=CBAsin)sin(. 证法二 : 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA, 则222cba=22cos2cAbcc=1-cb2?cosA, 又由正弦定理得cb=CBsinsin, 222cba=1-CBsins
8、in2?cosA=CABCsincossin2sin=CABBAsincossin2)sin(=CABBAsincossincossin=CBAsin)sin(. 证法三 : CBAsin)sin(=CABBAsincossincossin. 由正弦定理得cbCBcaCAsinsin,sinsin,CBAsin)sin(=cAbBacoscos,又由余弦定理得CBAsin)sin(=cbcacbbacbcaa22222222=22222222)()(cacbbca=222cba.巩固练习1已知锐角三角形ABC 中，3sin()5AB，1sin()5AB. （1）求证tan2tanAB； （2）
9、设3AB，求 AB 边上的高【考题再现】1 （04 年全国） 在ABC中，3AB，13BC，4AC，则边AC上的高（A）2 33（B）3 32（ C ）32（D）3 32 （05 年湖南卷） 已知在 ABC 中， sinA（sinBcosB） sinC 0，sinB cos2C 0，求角 A、B、C 的大小 . 3. （2005 年春季北京）在 ABC 中， sinA+cosA=22，AC=2，AB=3，求 tanA 的值和 ABC 的面积 . 4.（05 年江苏卷）ABC中，3A，3BC，则ABC的周长为（A）4 3 sin33B（B）4 3sin36B（C）6sin33B（D）6sin36
10、B5 （06 年湖北卷）若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAAA.153 B153 C53 D536. （2006 年安徽卷） 如果111A B C的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则（）A111A B C和222A B C都是锐角三角形 B111A B C和222A B C都是钝角三角形C111A B C是钝角三角形，222A B C是锐角三角形D111A B C是锐角三角形，222A B C是钝角三角形【模拟训练】1 （2004 年北京市朝阳区二模题）在ABC中，cos2cos2BA是AB的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充
11、要条件（D）既不充分也不必要条件2 （04 年南京市二模题）在ABC中， A，B，C 为三角形的三个内角，且ABC，4sin5B4cos(2)5AC，求cos2A的值3 （04 年华南师大附中）在ABC中，, ,a b c分别为角,A B C的对边，且274sincos222BCA（1）求A的度数（2）若3a，3bc，求b和c的值4 （05 年南通市基地学校联考）在ABC中，边 AB 为最长边，且23sinsin4AB，则coscosAB的最大值是5. （06 年湖北八校第二次联考）已知关于x的方程22coscos2sin02CxxAB的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是（A）直角三角
12、形（B ）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形 . 6.(06年黄岗市荆州市高三年级模拟) 已知ABC的三个内角为A 、 B、C所对的三边为a、b、c，若ABC的面积为222()Sabc，则tan2A_教考链接在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，
13、同时注意三角形面积公式ahS21，CabSsin21，还要注意三角形内角和CBA的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角形问题的求解能力参考答案课堂互动例题 1 巩固练习1 【答案】 解法1 ：由正弦定理2sinsinsinabcRABC， R 为ABC外接圆的半径，将原式化为22228sinsin8sinsincoscosRBCRBCBC，sinsin0BCQ，sinsincoscosBCBC. 即cos()0BC,90BCo，90Ao. 故ABC为直角三角形 解法 2 ：将已知等式变为2222(1cos)(1cos)2 coscosbCcBbBC，由余弦定理
14、可得22222222222222abcacbbcbcabac222222222acbabcbcacab，即22bc也即222bca，故ABC为直角三角形2 【答案】解法1: 由已知得AAbBBacossincossin22, 由正弦定理得AABBBAcossinsincossinsin22, sinAsinB 0, sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B,2A=2B或 2A=1800-2B, 即 A=B或 A+B=900. ABC是等腰三角形或直角三角形. 解法 2: 由已知得AAbBBacossincossin22, 由正弦定理得AabbacoscosB22, 即Ab
15、acoscosB, 又由余弦定理得bcacbba22acb-ca222222, 整理得 (a2-b2)(a2+b2-c2)=0, a=b, 或 a2+b2=c2, ABC是等腰三角形或直角三角形. 3解：由已知得例题 2 巩固练习1【答案】解法 1： 由正弦定理， 得2345sin26sin C因3226sin AAB6,2ABBC由623，则有二解，即60C或120C754560180B或1545120180B故13sinsinACBABCAC或13AC，15,120BC75,60BC解法 2：令 AC=b，则由余弦定理又Cbbcos222)6(22260,21cosCC或120C75)60
16、45(180B或15)12045(180B. 2【答案】由已知有bcBA21tantan，化简并利用正弦定理：由0sin，故6021cosAA由213cb，可设kckb2,)13(，由余弦定理，得kakkka6) 13(24)13(22222由正弦定理CcAasinsin得226232sinsinkkaAcC由bc则 C是锐角，故75180,45CABC3 【答案】由已知，得2CAB，又由180CBA60B故4160cossinsin2CA又由BcaSABCsin2134164334acac故64)sin()sin(sinsin22CcAaCAac8sinsinCcAa由3460sin8sin
17、8sinsinBABab则21260coscos222acbcaB即964848)(3)(222caacbca64ca把与联立，得)26(2),26(2ca或)26(2),26(2ca4 【答案】由已知BCA2，及120,60180CABCBA由CACACAtantan1tantan)tan(及32tantan,3)tan(CACA得33tantanCA，以CAtan,tan为一元二次方程032)33(2xx的两个根，解方程，得32tan1tanCA或1tan32tanCA7545CA或4575CA若75,45CA，则860sin34a，6445sin34b，)13(445sin75sin8s
18、insinACac若45,75CA，则60sin34a75sin34,8b)13(64)623(4)13(8sinsinBCbc例题 3 巩固练习1 【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b, 得 sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式, 得 2sin2CAcos2CA=2sinB. 由 A+B+C= 得 sin2CA=cos2B. 又 A-C=3, 得2cos23B=sinB. 2cos23B=2sin2Bcos2B, 02B2,cos2B0,sin2B=43. cos2B=2sin12B=413, sinB=2sin2Bcos2B=2?43?413=839. 2 【答案】（I ）a
19、bc， ，成等比数列bac2又acacbc22bcabc222在ABC中，由余弦定理得（II ）在ABC中，由正弦定理得sinsinBbAabBcbcasinsinsin26060323 【答案】解法1：由余弦定理得ccbcacbA892cos2222ccacbcaB1092cos2222由正弦定理得：BABAsin45sinsin4sin53231)cos1 (4510989222Bcccc故1694893689cos2ccA7165sin A4715sin21AcbSABC解法 2：如图，作BACAD，AD交 BC于 D，令xCD则由5a知，xADxBD5,5，在CAD中由余弦定理3231
20、)5(84)5()cos(222xxxBA化简得199xx，在CAD中由正弦定理例题 4 巩固练习1 【答案】（1）证明：因为3sin()5AB，1sin()5AB，所以3sincoscossin51sincoscossin5ABABABAB，2sincos51cossin5ABAB，tan2tanAB. 所以tan2tanAB（ 2）因为2AB，3sin()5AB，所以3tan()4AB，即tantan31 tantan4ABAB，将tan2tanAB代入上式并整理得22tan4tan10BB. 解得26tan2B，舍去负值得26tan2B，从而tan2 tan26AB. 设 AB边上的高为
21、CD. 则3tantan26CDCDCDABADDBAB由 AB=3 ，得 CD= 26，所以 AB边上的高等于26考题再现1 【答案】由余弦定理，得1cos2A，60A，所以AC边上的高3 3sin2BDABA选 B. 2 【答案】解法1：由0sin)cos(sinsinCBBA得.0)sin(cossinsinsinBABABA所以.0sincoscossincossinsinsinBABABABA即.0)cos(sinsinAAB因为),0(B所以0sinB，从而.sincosAA由),0(A知.4A从而43CB. 由.0)43(2cossin02cossinBBCB得即.0cossin
22、2sin.02sinsinBBBBB亦即由此得.125,3,21cosCBB所以,4A.125,3CB解法 2：由).223sin(2cossin02cossinCCBCB得由B0、c，所以.22223CBCB或即.22232BCCB或由0sin)cos(sinsinCBBA得.0)sin(cossinsinsinBABABA所以.0sincoscossincossinsinsinBABABABA即.0)cos(sinsinAAB因为0sinB，所以.sincosAA由.4),0(AA知从而43CB，知 B+2C=23不合要求 . 再由212BC，得.125,3CB所以,4A.125,3CB.
23、 3 【答案】解法1： sinA+cosA=2 cos（A45） =22， cos（A45） =21. 又 0A180，A45 =60，A=105 . tanA=tan （45 +60） =3131=23 . sinA=sin105 =sin （ 45+60） =sin45 cos60+cos45 sin60 =462. SABC=21ACABsinA=2123462=43（2 +6 ）. 4 【答案】在ABC内，由正弦定理得32 3sinsinsinsin3ACABBCBCA2 3sin,2 3sin2 3 sin2 3sin3ACB ABCABB周长为ABACBC2 3 sinsin33B
24、B322 3sincos322BB6sin36B5 【答案】由sin2A 2sinAcosA0，可知 A这锐角，所以sinA cosA 0，又25(sincos)1sin 23AAA，故选 A. 6 【答案】111A B C的三个内角的余弦值均大于0，则111A BC是锐角三角形，若222A B C是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222A B C是钝角三角形故选D模拟训练1 【答案】2222cos2cos212sin1 2sinsinsinB
25、ABABAsinsinABAB2 【答案】ABC，ABC，0,022BAC，由4sin5B得3cos5B，4sin()5AC，3cos5AC又由4cos(2)5AC得3sin(2)5AC33447sinsin2()555525AACAC2527cos212sin625AA. 3 【答案】由题意得272 1cos()2cos12BCA272 1cos2cos12A1cos2A03A2221cos22bcaAbc223bcabc将3,3abc代 入 得2,bc由3bc及2bc， 得1,2bc或2,1bc. 4 【答案】因为coscossinsincos()1ABABAB，易得coscosAB的最大值为234. 5 【答案】由题意可知：211coscoscos2 sin222CCAB，从而2coscos1cos()1coscossinsinABABABABcoscossinsin1ABAB，cos()1AB又因为AB所以0AB，所以ABC一定是等腰三角形选 C 6 【答案】1sin2SbcA，222()Sabc，2222cosabcbcA，1sin22cos2bcAbcbcA，22sin11 cos2tan4sin22sincos22AAAAAA