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1、 最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第十二章 二次根式 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2 ”，我们一般省略根指数 2，写作“”。如25 可以写作5 。（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3）式子a 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a0，a 0。其中 a0 是a 有意义的前提条件。（4）在具体
2、问题中，如果已知二次根式a，就意味着给出了 a0 这一隐含条件。（5）形如 ba（a0）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系。要注意当 b 是分数时不能写成带分数，例如83 2 可写成82 3，但不能写成 2 23 2。二、二次根式的性质：二次根式 的性质 符号 语言 文字语言 应用与拓展 注意 a（a 0）的性质 a 0（a0）一个非负数的算术平方根是非负数。（1）二次根式的非负性（a 0，a0）应用较多，如：a+1+b-3=0，则 a+1=0，b-3=0，即a=-1，b=3；又如x-a+a-x，则 x 的取值范围是 x-a0，a-x0，解得 x=a。（2）具有非负性的性质：a20；a
3、0；a 0（a0）（3）若 a2+b+c=0，则 a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于 0。a（a0）的最小值为0。（a）2（a 0）的性质（a）2=a（a0）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。正用公式：（5）2=5；（m2+1）2=m2+1；逆用公式：若 a0，则 a=（a）2如：2=（2）2，12=（12）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如 a2-5=a2-（5）2 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（a）2（a0）与a2 的区别与联系：（a）2 a2 区 别 表示的意义不同 表示非负数 a 的算术平方
4、根的平方 表示 a2的算术平方根 取值范围不同 a0 a 为任意实数 读法不同 读作“根号 a 的平方”或“a 的算术平方根的平方”读作“根号 a2”或“a 的平方的算术平方根”被开方数不同 被开方数是 a 被开方数是 a2 运算顺序不同 先开放后平方 先平方后开方 运算结果，运算依据不同（a）2=a，依据平方与开平方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到 作用不同（a）2 =a（a0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 a2=a，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内 联 系 含有两种相
5、同的运算，都要进行平方与开方 结果都是非负数；a0 时，（a）2=a2 三、代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x，x+y，3x（x0），-ab，st（t0，x3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（，=等）（1）将两个代数式用关系符号（，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如 2x+33x-5 是关系式。列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。=(a+5)(a-5)a2 的 性质 a2=a=a（a0）或 a2=a=-a（a0）一
6、个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。（1）正用公式：（3-2)=3-=3-（2）逆用公式：313 =3213 =3 化简形如a2 的式子时，先转化为 a形式，再根据 a 的符号去掉绝对值号。最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（2）公式法：根据公式列出代数式。（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。四、二次根式的乘除 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里
7、含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。五、二次根式的乘法法则 a b=ab（a0，b0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数 a，b 均为非负数这一条件。（2）推广a b c=abc（a0，b0，c0）ab cd=acbd 乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。练习：（1）28 7；（2）14 256；（3）4xy 1y (4)627（-23）六、二次根式乘法法则的逆用 ab=a b（a0，b0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进
8、行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。注：（1）公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0，b0，实际上，公式中的 a，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要 ab0 即可，如（-4）（-9）-4-9。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。推广：abcd=a b c d（a0，b0，c0，d0）三、二次根式的除法法则 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 a b =ab （a0，b0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。若a
9、，b 都是负数，虽然ab 0，ab 有意义，但a，b 在实数范围内无意义；若 b=0，则ab 无意义。（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如414 必须先化成174 ，以免出现414 =4 14 这样的错误。（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。推广：（ma）（nb）=（mn）（a b），其中 a0，b0，n0。七、二次根式除法法则的逆用 ab =a b （a0，b0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0，b0。公式中的 a，b 是限制公式右边的
10、，对公式的左边，只要ab 0 即可。例如计算-3-4 ，不能写为-3-4 =-3-4 ，而应写为-3-4 =34 =3 4 =3 2。利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为a b （a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 八、最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。对
11、于最简二次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1。拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；ab+cd与 ab-cd等。九、二次根式的加减 1、同
12、类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如 3ab 与-4ab 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（ab）2=a22ab+b2 5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 十、可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的
13、二次根式可以合并。最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 ma+na=（m+n）a 练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。（1）27；（2）-15 27a；（3）13；（4）2a3b（a0，b0）；（5）b127a3；（6）2243；（7）329ab（a0，b0）；（8）332ab（a0，b0）；十一、二次根式的加减 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式的加减法与整式的加减法类似，
14、步骤如下：（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简判断合并。二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 练习：计算：（1）239x+6x4-2x1x；（2）（24-0.5+223）-（18-6）十二、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。