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1、 第十二章 二次根式一、 二次根式的概念一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必需含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3） 式子表示非负数a的算术平方根，因此a0，0。其中a0是有意义的前提条件。（4） 在详细问题中，假如已知二次根式，就意味着给出了a0这一隐含条件。（5） 形如b（a0）的式子也是二次根式，b及是相乘的关系。要留意当b是分数时不能写成带分数，例如
2、可写成，但不能写成2 。二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用及拓展留意（a0）的性质0（a0）一个非负数的算术平方根是非负数。（1）二次根式的非负性（0，a0）应用较多，如：+=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，则x的取值范围是x-a0，a-x0，解得x=a。（2）具有非负性的性质：a20；a0；0（a0）（3）若a2+b+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。（a0）的最小值为0。（）2（a0）的性质（）2 = a（a0）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1；
3、逆用公式：若a0，则a=（）2如：2=（）2，=（）2逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)的性质=a=a（a0）或=a= - a（a0）一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值。（1）正用公式：=3-=3- （2）逆用公式：3=3化简形如的式子时，先转化为a形式，再根据a的符号去掉肯定值号。（）2（a0）及的区分及联络：（）2 区 别表示的意义不同表示非负数a的算术平方根的平方表示a2的算术平方根取值范围不同a0a为随意实数读法不同读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方”读作“根号a2”或“a的平方的算术平方根”被开方数不同被开方数是a被开方数
4、是a2运算依次不同先开放后平方先平方后开方运算结果，运算根据不同（）2 =a，根据平方及开平方互为逆运算得到根据算术平方根的定义得到作用不同（）2 = a（a0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将随意一个非负数写成一个数的平方的形式=a，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联 系含有两种一样的运算，都要进展平方及开方结果都是非负数；a0时，（）2=三、代数式用根本运算符号（根本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x，x+y，（x0），-ab，（t0，x3都是代数式注（1）单独
5、一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（，=等）（1） 将两个代数式用关系符号（，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如2x+33x-5是关系式。列代数式的常用方法：（1） 干脆法：根据问题的语言叙述干脆写出代数式。（2） 公式法：根据公式列出代数式。（3） 探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。四、二次根式的乘除1、 单项式及单项式相乘，把它们的系数、一样字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、 单项式及单项式相除，把系数及同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则
6、连同它的指数作为商的一个因式。五、二次根式的乘法法则=（a0，b0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1） 进展二次根式的乘法运算时，肯定不能忽视其被开方数a，b均为非负数这一条件。（2） 推广=（a0，b0，c0）ac=ac乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。练习：（1）；（2）；（3）4(4)6（-2）六、二次根式乘法法则的逆用=（a0，b0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积利用这特性质可以把二次根式化简，在进展二次根式的化简运算时，先将被开方数进展因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。注：（1）公式中的a，b可以是数，也
7、可以是代数式，但必需满意a0，b0，事实上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab0即可，如。（2）在本章中假如没有特殊说明，全部的字母都表示正数。推广：=（a0，b0，c0，d0）三、二次根式的除法法则=（a0，b0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。注：（1）a必需是非负数，b必需是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。（2）假如被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必需先化成，以免出现=这样的错误。（3）在二次根式的计算中，最终结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。推广：（m）（n
8、）=（mn）（），其中a0，b0，n0。七、二次根式除法法则的逆用=（a0，b0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根。注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必需满意a0，b0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要0即可。例如计算，不能写为=，而应写为=。利用这个公式，同样可以到达化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为（a0，b0）的形式，然后利用分式的根本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。八、最简二次根式的概念满意下列两个条件的二次根式，叫做最简
9、二次根式。（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。对于最简二次根式的概念我们可作如下说明：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进展，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的根本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：及；及；及；+及-；a+c及a-
10、c等。九、二次根式的加减1、同类项：所含字母一样，并且一样字母的指数也一样的项叫做同类项，例如3ab及-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母局部不变。3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，假如有括号就先去括号，然后再合并同类项。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（ab）2=a22ab+b2 5、多项式及多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn十、可以合并的二次根式将二次根式化成最简二次根式，假如被
11、开方数一样，则这样的二次根式可以合并。合并的方法及合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的根据是乘法安排律，如m+n=（m+n）练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。（1）；（2）-；（3）；（4）（a0，b0）；（5）b；（6）2； （7）（a0，b0）； （8）3（a0，b0）；十一、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数一样的二次根式进展合并。二次根式的加减法及整式的加减法类似，步骤如下：（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数一样的二次根式；（3）合并被开方数一样的二次根式将系数
12、相加仍作为系数，根指数及被开方数保持不变，可简记为：化简推断合并。二次根式的加减法及二次根式的乘除法的区分如下：运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式，再合并被开方数一样的二次根式注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一局部；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍旧适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。练习：计算：（1）+6 - 2x；（2）（-+2）-（ - ）十二、二次根式的混合运算二次根式的混合运算依次及整式的混合运算依次一样：先乘方、再乘除、最终加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则和乘法公式仍旧适用。注：在进展二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量运用乘法公式，有时还须要敏捷运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。