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1、 17 一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题：1关于x的方程0122 xax中，如果0a，那么根的情况是（B ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定 a4)2(2解：04 a 实数根。原方程有两个不相等的 a44 044a 0a 0即 2设21,xx是方程03622 xx的两根，则2221xx的值是（C ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）3 21xx，方程两根为解：2122122212)(xxxxxx 2332121xxxx，623232 3下列方程中，有两个相等的实数根的是（B ）（A）2y2+5=6y（B）x2+5=2 5
2、x（C）3 x2 2 x+2=0（D）3x22 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“4以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（B ）（A）y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0 （D）y25y6=0，则：，解：设方程两根为21xx 0)3)(2()3()2(2yy 322121xxxx，0652yy即：为根的一元二次方程为和以32 5如果21xx，是两个不相等实数，且满足12121 xx，12222 xx，那么21xx 等于（D）（A）2 （B）2 （C）1 （D）1 1212222121xxxx，解：的两根 12221xxxx可看作是方程
3、，121xx 二、填空题：1、如果一元二次方程0422kxx有两个相等的实数根，那么k2。0422kxx方程解：04162k 有两个相等的实数根 2k 17 2、如果关于x的方程012)14(222kxkx有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是89k。012)14(222kxkx方程解：098 k 有两个不相等的实数根 89k 0)12(8)14(22kk 3、已知21xx，是方程04722 xx的两根，则21xx 27，21xx2，221)(xx 41724)27(4)(221221xxxx 4、若关于x的方程01)2()2(22xmxm的两个根互为倒数，则m3。，则：，解：设方程两根为2
4、1xx 3m 2122221221mxxmmxx，0)2(4)2(322mmm时，当 方程两根互为倒数 0)2(4)2(322mmm时，当 121221mxx 3m 122m 5、当m4时，方程042 mxx有两个相等的实数根；有两个相等的实数根方程解：042 mxx 0162m 4m 当m04m且时，方程0142 xmx有两个不相等的实数根；有两个不相等的实数根方程解：0142 xmx 00416mm且 等的实数根。时，原方程有两个不相且04mm 6、已知关于x的方程07)3(102mxmx，若有一个根为 0，则m=7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为35，则m=9，这时方程的 两个根为
5、15821xx，.17 07)3(10)1(2mxmx设方程解：，则：、设原方程两根为ba)2(，则：另一根为1x 107103mabmba，10301mx 53原方程两根之和为 10701mx 53103mba 由，得：7m 9m 代入将7m，得：08352xx原方程可化为：11x 0)1)(85(xx 0171时，方程一根为，xm 158xx或 7、如果5)1(222mxmx是一个完全平方式，则m=2；05)1(222mxmx解：令 0204)12(422mmm 是完全平方式5)1(222mxmx 0168 m 有两个相等实根方程05)1(222mxmx 2m 0)5(4)1(222mm
6、8、方程6)4(22xmxx没有实数根，则最小的整数m=2;6)4(22xmxx解：将方程 08848m 068)12(2xxm化简，得：611m 原方程没有实数根 2为最小整数m 0)12(2464m 9、已知方程)4()3)(1(2mxmxx两根的和与两根的积相等，则m=2;)4()3)(1(2mxmxx解：将方程 mm3227 06)27(22mxmx化简，得：2m，则：，设方程两根为21xx 048)27(22mmm时，当 mxxmxx32272121，2m 17 积相等方程两根的和与两根的 10、设关于x的方程062kxx的两根是m和n，且2023 nm，则k值为16;是方程的两根、
7、解：nm 代入将8m，得：6 nm 2n kmn 代入，将28nm，得：2023 nm 16)2(8k 2-，得：043616kk时，当 8m 16k 8m 11、若方程01)12(22mxmx有实数根，则m的取值范围是43m;原方程有实数根解：34m 0)1(4)12(22mm 43m 04414422mmm 根。时，原方程有两个实数当43m 12、一元二次方程02qpxx两个根分别是32 和32，则 p=4,q=1;3232和方程两根为解：4p p)32()32(1q q)32()32(14qp，解之，得：13、已知方程01932mxx的一个根是 1，那么它的另一个根是316x，m=16;
8、，则：解：设方程的另一根为1x 31911 x 16m 31mx 01219162aa时，当 由，得：3161x 。，方程另一根为16316mx 将3161x代入，得：17 14、若方程012 mxx的两个实数根互为相反数，那么 m 的值是0;，则：，解：设方程两根为21xx 0m mxx21 0402mm时，当 方程两根互为相反数 反数。时，原方程两根互为相0m 021mxx 15、nm、是关于x 的方程01)12(22mxmx的两个实数根，则代数式nm=1。是方程的两根、解：nm 将代入，得：12mnm 1)1(2mmm 12 mmn 1m 化简，得：代入把1m，得：1 mn 2n 12
9、mmn 1)1(2nm 16、已知方程0132 xx的两个根为,，则+=3,=1;17、如果关于x的方程042mxx与022mxx有一个根相同，则 m 的值为30或;方程有一个相同的根解：，得：代入将042mxxmx mxxmxx2422 042mmm mmx2)14(0)3(mm mx 这个相同的根为：30mm或 18、已知方程0322kxx的两根之差为 212，则 k=2;，则：，解：设方程两根为21xx 425249k 2232121kxxxx，2k 21221 xx 0892kk时，425)(221xx 关于x的方程两根0322kxx 17 4254)(21221xxxx 。时，差为2
10、212k 19、若方程03)2(22xax的两根是 1 和3，则 a=2;31和方程两根解：42a)2()3(12a 2a 20、若关于x的方程04)1(222mxmx有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为21;，则：，解：设方程两根为21xx 21m 221214)1(2mxxmxx，016)1(22122mmm时，当 方程两根互为倒数 016)1(22122mmm时，当 14221mxx 21m、已知关于x的一元二次方程01)1()1(22xaxa两根互为倒数，则 a=2。，则：，解：设方程两根为21xx 2a 1111221221axxaaxx，0)1(4)1(222aaa时
11、，当 方程两根互为倒数 0)1(4)1(222aaa时，当 111221axx 2a 112a 21、如果关于x的一元二次方程022axx的一个根是12，那么另一个根是1x，a的值为12。，则：解：设方程的另一根为1x 2211x 12 a ax 1)21(04212aa时，当 由，得：11x 。，方程另一根为121ax 将11x代入，得：17 22、如果关于x的方程062kxx的两根差为2，那么k=8。，则：，解：设方程两根为21xx 4436k kxxxx21216，8k 221 xx 04368kk时，4)(221xx 关于x的方程的两根062kxx 44)(21221xxxx 。时，差
12、为82k 23、已知方程0422 mxx两根的绝对值相等，则m=0。，则：，解：设方程两根为21xx 02121xxxx时，当 222121xxmxx，0221mxx 21xx 0m 2121xxxx或 03202mm时，当 032221mxx时，当 两根绝对值相等0422mxx 0322m 。时，0m 21xx 24、一元二次方程)0(02prqxpx的两根为0和1，则qp=1:1。，则：，解：设方程两根为21xx 10和方程两根为 1pq pqxx21 1)1(0pq 25、已知方程0132 xx，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为2。，解：设方程两根为21xx 91332)3
13、1(2m，则：并设方程的常数项为m 1361m 3312121mxxxx，2m 9132221 xx 01212mm时，17 89m 0m 时，方程有两个正根890m 。时，方程有一根为当00m 负根方程有一个正根，一个、(2)三、解答下列各题：1、已知 3 2 是方程072 mxx的一个根，求另一个根及 m 的值。，则：解：设方程的另一根为1x mx123 6m 7)23(1x 23答：方程另一根为，由，得：232371x 6m。代入将231x，得：2、m 取什么值时，方程012)14(222mxmx（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；)12(8)14(2
14、2mm解：098m 816181622mmm 89m 98 m 时，原方程有两个当89m（1）有两个不相等的实数根 相等的实数根。098m （3）没有实数根 89m 098m 时，原方程有两个当89m 89m 不相等的实数根。时，原方程无实根。当89m（2）有两个相等的实数根 3、求证：方程0)4(2)1(222mmxxm没有实数根。)4)(1(4)2(222mmm证明：022m )45(44242mmm 0)2(422m 1616424mm 0即：17 )44(424mm 0)4(2)1(222mmxxm方程 22)2(4m 没有实数根。4、求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子2)2)
15、(1(kxx都可以分解成两个一次因式的积。0)2)(1(2kxx解：令 0即：02322kxx 0)2)(1(2kxx方程)2(492k 有两个不相等的实数根 142 k 不论 k 为何实数，关于 x 的式子 042k 2)2)(1(kxx都可以分解成两个 0142 k 一次因式的积。5、当 k 取什么实数时，二次三项式12)14(222kxkx可因式分解.012)14(222kxkx解：令 098 k 有两当012)14(222kxkx 89k 可因式分解个实根时，原二次项式 时，二次三项式当89k 0)12(8)14(22kk 可因式分解。12)14(222kxkx 6、已 知a是 实 数
16、，且 方 程0122 axx有 两 个 不 相 等 的 实 根，试 判 别 方 程0)1(21122222axaaxx有无实根？0)1(21122222axaaxx解：0442a 012422222axaaxx 12a 034)2(222aaxxa 20204424aa，)3)(2(416222aaa 02420424aa )3)(2(416222aaa 0即：2420424aa 0)1(21122222axaaxx方程 有两个不等实根方程0122 axx 有两个不相等的实数根。17 7、已知关于 x 的方程022 nxmx两根相等，方程0342nmxx的一个根是另一个根的 3 倍。求证：方程
17、0)()(2mkxnkx一定有实数根。022 nxmx方程证明：2m 两根相等 4n 0m 代入方程，将42nm 082mn 得：0)()(2mkxnkx 0342nmxx方程 得：0)2()4(2kxkx 倍一根是另一根的3 )2(4)4(2kk，则：，另一根为设方程一根为113xx 841682kkk mxx4311 2442kk nxx3311 20)2(2 k 2mn 0)2(2k 将代入，得：020)2(2 k 084 mm 0 0)8(3mm 0)()(2mkxnkx方程 20mm或 一定有实数根。0m 8、已知方程03522nmxx的两根之比为 23，方程0822mnxx的两根相
18、等(mn0)。求证：对任意实数 k，方程01)1(2kxknmx恒有实数根。03522nmxx方程证明：代入方程，将42nm 3:2的两根比为 得：01)1(2kxknmx，则：和设此方程两根为aa32 01)14(22kxkx maa2532 )1(8)3(2kk naa2332 88692kkk 17 2mn 122kk 两根相等方程0822mnxx 2)1(k 03242mn 0)1(2k又 082mn 0 084mm ，方程对于任意实数k 0)8(3mm 01)1(2kxknmx 20mm或 恒有实数根。0mn 2m 4n 9、设21xx，是方程03422 xx的两根，利用根与系数关系
19、求下列各式的值：)1)(1()1(21xx、2111)2(xx、2112)3(xxxx、121212)4(xxxx、是一元二次方程，解：21xx 2112)3(xxxx、的两根03422 xx 212221xxxx 2322121xxxx，21212212)(xxxxxx)1)(1()1(21xx、23)23(2)2(2 12121xxxx )32(72334 1232 314 25 121212)4(xxxx、2111)2(xx、)2(211xxx 2121xxxx )22(1 x 17 232 01 x 34 0 10、设方程03742 xx的两根为21xx，不解方程，求下列各式的值:(1
20、)2221xx (2)21xx （3）21xx （4）21xx 是一元二次方程，解：21xx （3）21xx 的两根03742 xx 221)(xx 43472121xxxx，21212xxxx(1)2221xx 43247 212212)(xxxx 347 432)47(2 3431 1625 2)231(2)21xx 231 221)(xx （4）21xx 212214)(xxxx 221)(xx 434)47(2 212214)(xxxx 161 434)47(2 41 41161 11、已知21xx，是方程01322 xx的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)32)(32
21、(21xx；(2)321231xxxx 17 是一元二次方程，解：21xx 169)9(2 的两根01322 xx 16 21232121xxxx，(2)321231xxxx(1)32)(32(21xx )(222121xxxx 96642121xxxx 2)(2122121xxxxxx 9)(642121xxxx )21(2)23(212 9)23(6)21(4 813 12、实数、分别满足方程0199192ss和且099192tt求代数式tsst14 的值。0199192ss解：tsst14 099192tt ttss14 可看作是方程、ts1 tsts4)1(的两根0199192xx 1
22、941999 191119991tststs，51995 13、设：011632 aa，011632 bb且ab，求44ba 的值。011632 aa解：44ba 011632 bb 222222)(baba 可看作是方程、ba 222222)(baabba 的两根011632 xx 222)311(2)311(22 3112abba，9914924291156 14、已知aa12，bb12，且ab，求(a1)(b1)的值。aa12解：11abba，bb12 )1)(1(ba 可看作是方程、ba 1baab 17 的两根xx12 1)(baab 012 xx原方程可化为：11)1(1 15、已
23、知042 mm，04112nn，m，n为实数，且nm1，求代数式nm1的值 042 mm解：的两根042 xx 04112nn 41,11nmnmnm 可看作是方程、nm1 代数式。的值为 11nm 16、已知07422 ss，02472 tt，s，t为实数，且st1。求下列各式的值：(1)tst1；(2)tsst323。07422 ss解：(1)、211tstst 02472 tt (2)ttsstsst323323 可看作是方程、ts1 tsts12)1(3 的两根07422 xx )27(2)2(3 27121tsts，1)7(6 17、已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0
24、 的两根的平方和等于 6，求 k 的值;则、解：设方程两根为,21xx 3k 212121kxxkxx，)2(4)1(2kk 62221 xx 不符合题意，应舍去时，当,03k 62)(21221xxxx ，符合题意时，当03k 6)2(2)1(2kk 。的值为3k 92k 18、方程 x2+3x+m=0 中的 m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大 2；(2)一个根是另一个根的 3 倍；(3)两根差的平方是 17 则、解：设方程两根为,21xx 1627)43(49m mxxxx21213，符合题意时，当01627m 17 m49 倍。的时，方程一根是另一根3162
25、7m 时，、当2)1(21 xx 时，、当17)()3(221 xx 252121xx，174)(21221xxxx 45)25(21m 1749m，符合题意时，当045m 2m 时，方程一根比另一根45m 02时，m。大2 。是时，方程两根差的平方172m 时，、当213)2(xx 434921xx，19、已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形 方程有两个相等实根证明：0)(12)(22222cbacba cba 0)(3)(2222cbacba 这个三角形是正三角形 0222222222
26、bcacabcba 0)2()2()2(222222bccbaccaabba 0)()()(222cbcaba 000cbcaba，20、已知关于 x 的方程0)1(4)12(2axax的两个根是斜边长为 5 的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。则、解：设方程两根为,21xx 14aa或)1(4122121axxaxx，是三角形的两边、21xx 的直角三是斜边长为、521xx 且01221axx 角形的两直角边 0)1(421axx 252221xx 121aa且 17 23232121xxxx或 09)74(22kk 21212323xxxx时，当 0)374)(374(k
27、kkk 45)74(245)74(321kxkx，71kk或 23245)74(245)74(3kkk )6(94)74(22kk 0225)74(22kk ，符合题意时，当01k 049562412kk ，符合题意时，当07k 0492414562 时或值，当存在71kkk 此方程无实根；2321xx方程两根满足。23、已知关于 x 的方程01)1(22mxmx的两根满足关系式121 xx，求 m 的值及两个根。则、解：设方程两根为,21xx 111mm或 21,212121mxxmxx )1(8)1(2mm 121 xx 1004121xxm，此时方程两根为：时，当 434121mxmx，
28、32041121xxm，此时方程两根为：时，当 214341mmm 时，方程两根为：答：1m1021xx，；)1(8)3)(1(mmm 时，方程两根为：11m3221xx，。0)83)(1(mm 24、是关于 x 的方程044422mmmxx的两个实根，并且满足2)1)(1(，求 m 的值。是方程的两根、解：2m 442mmm，)4(161622mmm 2)1)(1(，不符合题意，应舍去时，当02m 21)(，符合题意时，当02m 17 1442mmm 。的值为2m 42m 25、已知一元二次方程0)12(82mxmx，根据下列条件，分别求出 m 的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数
29、；(3)有一根为零；(4)有一根为 1；(5)两根的平方和为641。则、解：设方程两根为,21xx 1)4(方程有一根为、8,8122121mxxmxx 0)12(8mm mm32)12(2 7m 两根互为倒数、)1(07 时，当m 18m 17时，方程有一根为m 8m 641)5(方程两根的平方和为、08 时，当m 时，方程两根互为倒数8m 6412221 xx 两根互为相反数、)2(6412)(21221xxxx 0812m 641464)12(2mm即：21m 032mm 021时，当m 0)3(mm 数时，方程两根互为相反21m 30mm或 0)3(方程有一根为、00 时，当m 0m
30、，不符合题意，应舍去时，当03m 00时，当m 6410为时，方程两根的平方和m 00时，方程有一根为m 26、已知方程042 mxx和016)2(2xmx有一个相同的根，求 m 的值及这个相同的根。17 方程有一个相同的根解：16)2(422xmxmxx 0)4)(133(mm 20)2(xmm 4313mm或 mx110这个相同的根为：3313xm：时，两方程相同的根为当，得：代入将041102mxxmx 24xm：时，两方程相同的根为当 04110)110(2mmm ；：时，两方程相同的根为答：当3313xm 05232mm 24xm：时，两方程相同的根为当 27、已知关于 x 的二次方
31、程05)2(222axax有实数根，且两根之积等于两根之和的 2 倍，求 a 的值。则、解：设方程两根为,21xx 31aa或 5)2(222121axxaxx，)5(4)2(222aa 2121)(2xxxx 3616 a 5)2(42aa ，符合题意时，当01a 0342aa ，不符合题意，应舍去时，当03a 0)3)(1(aa 。的值为答：1a 28、已知方程02cbxx有两个不相等的正实根，两根之差等于 3，两根的平方和等于 29，求 b、c 的值。则、解：设方程两根为,21xx 2922cb cxxbxx2121，-得：10c 321 xx 代入将10c，得：232321bxbx，7
32、b cbb2323 根方程有两个不相等正实 942cb 002121cxxbxx，292221 xx 7b 292)(21221xxxx 107cb，答：17 29、已知一元二次方程0524)32(2kkxxk，且 4k+1 是腰长为 7 的等腰三角形的底边长，求：当 k取何整数时，方程有两个整数根。方程有两个实根解：时，原方程可化为：当1k 0 ，满足条件和其解为310342 xx 0)52)(32(4)4(2kkk即：时，原方程可化为：当2k 1615k 其解不是整数，0182 xx 的等腰三角形的底边长是腰长为714 k 不满足条件，应舍去 1414k 时，原方程可化为：当3k 014k
33、 其解不是整数，011232xx 413k 不满足条件，应舍去 41k 。时，原方程两根为整数答：当1k 4131615 k 321、可能为整数k 30、已知21xx，是关于 x 的方程02qpxx的两根，1121xx，是关于 x 的方程02pqxx的两根，求常数 p、q 的值。解：据题意，得：pxx21 12pq qxx21 将代入，得：qxx1121 2)12(pp pxx)1)(1(21 1 p 将代入，得：1p将代入，得：2 qp 3q 将、代入，得：1p答：，3q 31、已知21xx，是关于 x 的方程022nxmx的两个实数根；21yy，是关于 y 的方程0752 myy的 17
34、两个实数根，且222211yxyx，求 m、n 的值。解：据题意，得：0)4)(1(mm nxxmxx21221,41mm或 7,52121yymyy 无实根时，方程当07512myym 222211yxyx，4m 42211yxyx 时，方程当4m022nxmx有两个实根 4)5(2mm 0416n 4n 0452mm 44nm，答：32、关于 x 的方程0n41mx2x22，其中 m、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是 8，等腰三角形的面积是 12，求这个三角形的周长。224)1(nm、证明：64422nm )2
35、)(2(nmnm 164122nm 的腰长和底边分别是一个等腰三角形、nm 2241nmh在等腰三角形中，0202nmnm，122121hn 0 1241212122nmn 实根。这个方程有两个不相等 484122nmn hxx并设三角形的高为、设方程两根为,)2(21 将代入，得：12n 22121412nxxmxx，代入将12n,得：821 xx )(132舍负m 64221xx 该三角形的周长为：644)(21221xxxx 121342 nm 33、在解方程02qpxx时，小张看错了 p，解得方程的根为 1 与3；小王看错了 q，解得方程的根为 4 17 与2。这个方程的根应该是什么?
36、p小张看错了解：代入原方程，得：，将32qp 3)3(1q 0322 xx q小王看错了 0)1)(3(xx)2(4p 1321xx，2 p 。和答：这个方程的根是13 34、已知方程02baxx的两根为21xx，且0421 xx，又知根的判别式=25，求 a，b 的值。解：据题意得：axx21 0942 ba 0421 xx 25 bxx21 2542ba -，得：-4，得：31ax 4b 将代入，得：代入将4b，得：342ax 3a 将、代入，得：43ba，答：35、已知21xx，是一元二次方程02nxmx的两个实数根，且5223)(22212212221xxxxxx，求 m 和 n 的值。是一元二次方程，解：21xx 2542nnm 的两根，02nxmx 将代入，得：nxxmxx2121，03252 nn，3)(2212221xxxx 0)1)(35(nn 3)(2)(22121221xxxxxx 153nn或 17 32)(22nm 102153mn时，当 23nm 211mn时，当 23 nm 04 nm 5222221xx 不符合题意，应舍去，531021nm 5)(2)(222121221xxxxxx 121nm，52)(222nnm