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1、.一元二次方程根与系数的关系习题 准备知识回顾：1、一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。2、一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为：acb42（1）当0时，方程有两个不相等的实数根。（2）当0时，方程有两个相等的实数根。（3）当0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识 1 若 一 元 二 次 方 程)0(02acbxax有 两 个 实 数 根21xx 和，那 么21xx ，21xx 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2、如果
2、一元二次方程02qpxx的两个根是21xx 和，则21xx ，21xx 。3、以21xx 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212xxxxxx 4、在一元二次方程)0(02acbxax中，有一根为 0，则c ；有一根为 1，则cba ；有一根为1，则cba ；若两根互为倒数,则c ；若两根互为相反数，则b 。5、二次三项式的因式分解(公式法)在 分 解 二 次 三 项 式cbxax2的 因 式 时，如 果 可 用 公 式 求 出 方 程 .)0(02acbxax的两个根21xx 和，那么)(212xxxxacbxax如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2
3、不能分解.基础运用 例 1：已知方程02)1(32xkx的一个根是 1，则另一个根是 ，k 。解：变式训练：1、已知1x是方程0232kxx的一个根，则另一根和k的值分别是多少？2、方程062kxx的两个根都是整数，则k的值是多少？例 2：设21xx 和是方程03422 xx，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221xx （2）)1)(1(21xx （3）2111xx （4）221)(xx .变式训练：1、已知关于x的方程01032kxx有实数根，求满足下列条件的k值：（1）有两个实数根。（2）有两个正实数根。（3）有一个正数根和一个负数根。（4）两个根都小于 2。2、已知关于
4、x的方程022aaxx。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）a取何值时，方程有两个正根。（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（4）a取何值时，方程到少有一根为零？.选用例题：例 3：已知方程)0(02acbxax的两根之比为 1：2，判别式的值为 1，则ba与是多少？例 4、已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大 16，求m的值。.例 5、若方程042mxx与022mxx有一个根相同，求m的值。基础训练：1关于x的方程0122 xax中，如果0a，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（
5、C）没有实数根 （D）不能确定 2设21,xx是方程03622 xx的两根，则2221xx的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）3 3下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A）2y2+5=6y（B）x2+5=25 x（C）3 x22 x+2=0（D）3x226 x+1=0 4以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0 （D）y25y6=0 5如果 x1，x2是两个不相等实数，且满足 x122x11，x222x21，那么 x1x2等于（）（A）2 （B）2 （C）1 （D）1 6.关于 x 的
6、方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定.7.设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，则 x12x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）3 8如果一元二次方程 x24xk20 有两个相等的实数根，那么 k 9如果关于 x 的方程 2x2(4k+1)x2 k210 有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是 10已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 11 若关于x的方程(m22)x2(m2)x10的两个根互为倒数，则m .
7、二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2x=5 (2)9x262+2=0 (3)x2x+2=0 2、当 m=时，方程 x2+mx+4=0 有两个相等的实数根；当 m=时，方程 mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、已知关于 x 的方程 10 x2(m+3)x+m7=0，若有一个根为 0，则 m=，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为35，则 m=，这时方程的 两个根为 .4、已知32 是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根及 m 的值。.5、求证：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0 没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 15 和
8、 1+5。7、设 x1,x2是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2x1+x1x2 （3）x12+x1x2+2 x1 8、如果 x22(m+1)x+m2+5 是一个完全平方式，则 m=;9、方程 2x(mx4)=x26 没有实数根，则最小的整数 m=;10、已知方程 2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则 m=;11、设关于x的方程x26x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ;.12、设方程 4x27x+3=0 的两根为 x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1)x12+x22 (2)x
9、1x2 （3）21xx （4）x1x2212 x1 13、实数、分别满足方程 1929910 和且 199920 求代数式41 的值。14、已知 a 是实数，且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+112(a2x2a21)=0 有无实根？15、求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子(x1)(x2)k2都可以分解成两个一次因式的积。.16、实数 K 在什么范围取值时，方程0)1()1(22kxkkx有实数正根？训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)7u=0,;2、若方程
10、x2(2m1)x+m2+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ;3、一 元 二 次 方 程 x2+px+q=0 两 个 根 分 别 是 2+3 和 2 3，则p=,q=;4、已知方程 3x219x+m=0 的一个根是 1，那么它的另一个根是 ，m=;5、若方程 x2+mx1=0 的两个实数根互为相反数，那么 m 的值是 ;6、m,n 是关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 的两个实数根，则代数式 mn=。.7、已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6，求 k 的值;8、如果和是方程 2x2+3x1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一
11、元二次方程，使它的两个根分别等于+1 和+1 ;9、已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形 10.取什么实数时，二次三项式 2x2(4k+1)x+2k21 可因式分解.11.已知关于 X 的一元二次方程222（3）10 的两实数根为,，若1 1 ，求的取值范围。训练（二）.1、已知方程 x23x+1=0 的两个根为,，则+=,=;2、如果关于 x 的方程 x24x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同，则 m 的值为 ;3、已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 212，则 k=;
12、4、若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a=;5、方程 4x22(a-b)xab=0 的根的判别式的值是 ;6、若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;7、已知 p0,q0，则一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情况是 ;8、以方程 x23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2)1x1 1x2 10m 取什么值时，方程 2x2(4m+1)x+2m21=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有
13、两个相等的实数根，（3）没有实数根；.那么：x1+x2=；x1x2=；2111xx ；x21+x22=；(x1+1)(x2+1)=；x1x2=。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。4、如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是12，那么另一个根是 ，a的值为 。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。6、已知方程2x2+mx4=0两根的绝对值相等，则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p0)的两根为0和1，则qp=。8、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a21)x2(a+1)x+1=0两根互
14、为倒数，则a=。10、已知关于x的一元二次方程mx24x6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=2，则m=，(x1+x2)21xx=。11、已知方程3x2+x1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。13、若、为实数且+3+(2)2=0，则以、为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程x22(m1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，.则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。15、已知方程x2+4x2m=0的一个根比另一个根小4，则=；=；m=。16、已知关于x的方程
15、x23x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x的方程x23mx+2(m1)=0的两根为x1、x2，且43x1x121，则m=。18、关于x的方程2x23x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。19、若方程x24x+m=0与x2x2m=0有一个根相同，则m=。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x2=0两根的二倍，则所求的方程为 。21、一元二次方程2x23x+1=0的两根与x23x+2=0的两根之间的关系是 。22、已知方程5x2+mx10=0的一根是5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+3是x24x+k=
16、0的一根，求另一根和k的值。24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)，那么另一个根必是AB。25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22xxx .26、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x31x2+x1x32 27、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x1x1 28、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(x21x22)2 2
17、9、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1x2 30、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：122xx 31、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x51x22+x21x52 32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和26。33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。34、造一个方程，使它的根是方程3x27x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。.35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1
18、)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。36、已知关于x的方程2x2(m1)x+m+1=0的两根满足关系式x1x2=1，求m的值及两个根。37、是关于x的方程4x24mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足10091)1)(1(，求m的值。.38、已知一元二次方程8x2(2m+1)x+m7=0，根据下列条件，分别求出m的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为641。39、已知方程x2+mx+4=0和x2(m2)x16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。40、已知关于x的二次方程x22
19、(a2)x+a25=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。.41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。42、设：3a26a11=0，3b26b11=0且ab，求a4b4的值。43、试确定使x2+(ab)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。.44、已知一元二次方程(2k3)x2+4kx+2k5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。45、已知：、是关于x的方程x2+(m2)x+1=0的两根，求(1+m+2)(1+m+2)的值。46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+
20、q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。.47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1y1=2,x2y2=2，求m、n的值。48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0 有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2am2+6m4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、关于x的一元二次方程 3x2(4m21)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。.50、已知：、是关于x的二次方程：(m2)x2+2(m4)x+m4=0的两
21、个不等实根。(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若2+2=6时，求m的值。51、已知关于x的方程mx2nx+2=0两根相等，方程x24mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2(k+n)x+(km)=0一定有实数根。.52、关于x的方程22n41mx2x=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1
22、，求p的值。.54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为、，且两个关于x的方程x2+(+1)x+2=0与x2+(+1)x+2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根、，那么(1)2+(1)2的最小值是多少?56、已知方程2x25mx+3n=0的两根之比为23，方程x22nx+8m=0的两根相等(mn0)。求 证：对任意实数k，方程mx2+(n+k1)x+k+1=0恒有实数根。.57、(1)方程x23x+m=0的一个根是2，则另一个根是 。(2)若关于y的方程y2my+n=0的两个根中只有一个根为
23、0，那么m，n应满足 。58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 x2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 3x22x1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 2x2+3=0；.61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 2x2+5x=0。62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是2，求它的另一个根及m的值。63、已知关于x的方程3x21=tx的一个根是2，求它的另一个根及t的值。64、设x1，x2是方程3x22x2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x14)(x24)；(2)x13x24+x14x23；(3
24、)12213131xxxx；(4)x13+x23。.65、设x1，x2是方程2x24x+1=0的两个根，求x1x2的值。66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。.67、以2，3为根的一元二次方程是 ()A.x2+x+6=0 B.x2+x6=0 C.x2x+6=0 D.x2x6=0 68、以3，1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ()A.3x22x+3=0 B.3x2+2x3=0 C.3x26x9=0 D.3x2+6x9=0 69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ()A.x2+2x3=0 B.x22x+
25、3=0 C.x2+2x+3=0 D.x22x3=0 70、以3，2为根的一元二次方程为 ，以213，213 为根的一元二次方程为 ，以5，5为根的一元二次方程为 ，以4，41为根的一元二次方程为 。71、已知两数之和为7，两数之积为12，求这两个数。.72、已知方程2x23x3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+1(2)baab 2,2 73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为27cm2，求这个直角三角形斜边的长。74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q，解得方程的根为
26、4与2。这个方程的根应该是什么?75、关于x的方程x2ax3=0有一个根是1，则a=，另一个根是 。.76、若分式1322xxx的值为0，则x的值为 ()A.1 B.3 C.1或3 D.3或1 77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ()A.m=0且n0 B.n=0且m0C.m=0且n0 D.n=0且m0 78、已知x1，x2是方程2x2+3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(2x13)(2x23)；(2)x13x2+x1x23。79、已知a2=1a，b2=1b，且ab，求(a1)(b1)的值。.80、如果x=1是方程2x23mx+1
27、=0的一个根，则m=，另一个根为 。81、已知m2+m4=0，04112nn，m，n为实数，且nm1，则nm1=。82、两根为3和5的一元二次方程是 ()A.x22x15=0 B.x22x+15=0 C.x2+2x15=0 D.x2+2x+15=0 83、.设x1，x2是方程2x22x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x12+2)(x22+2)；(2)(2x1+1)(2x2+1)；(3)(x1x2)2。.84、.已知m，n是一元二次方程x22x5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。85、已知方程x2+5x7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分
28、别是已知方 程的两个根的负倒数。86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根之比为21，求证：2b2=9ac。87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。.88、已知关于y的方程y22ay2a4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?89、已知一元二次方程x210 x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?90、已知关于x的方程x2(2a1)x+4(a1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。.零?(2)m为何值时，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。93、当m为何值时，方程3x2+2x+m8=0：(1)有两个大于2的根?(2)有一个根大于2，另一个 根小于2?.94、已知2s2+4s7=0，7t24t2=0，s，t为实数，且st1。求下列各式的值：(1)tst1；;(2)tsst323。95、已知x1，x2是一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根，且x12+x22+(x1+x2)2=3，