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1、第一部分:填空题1 复变函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点z xiy可导的必要条件是_2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_3 复变函数f(z)z z在z _处可导4 复变函数f(z)xyiy在z _处可导5ln(1)_6 指数函数f(z)ez的周期为_21dz _7 1z 2(z)2zezdz _8 z 3z319dz _2 z 4z21coszdz _5(z 1)z 111z1011 在z01的邻域上将函数f(z)e展开成洛朗级数为_12 将e1/z在z0 0的邻域上展开成洛朗级数为_1在z01的邻域上展开成洛朗级数为_z 1sin z14z0 0为函数的_2z115z0 0为函
2、数sin的_z13 将sin16z01为函数e17z0 0为函数11z的_cos z的_阶极点z4sin z18z0 0为函数4的_阶极点z1e2z19函数f(z)在z0 0的留数Resf(0)_z320 函数f(z)e11z在z01的留数Resf(1)_,在无限远点的留数Resf()_21函数f(z)e1/z2在z0 0的留数Resf(0)_22函数f(z)cosz在z0 0的留数Resf(0)_3zsin z23函数f(z)3在z0 0的留数Resf(0)_z24积分f()(t0)d _(t(a,b)ab25两端固定的弦在线密度为f(x,t)(x)sint的横向力作用下振动,泛定方程为_.
3、26两端固定的弦在点x0受变力f(x,t)f0sint的横向力的作用,其泛定方程为_.27弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F Rut（R 为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_。28长为l的均匀杆，两端有恒定的热流q0进入，其边界条件为_.29长为l的均匀杆,一端x 0固定,另一端x l受拉力F0的作用而作纵振动,其边界条件为_30长为l的均匀杆,一端x 0固定,另一端x l受拉力F0的作用而伸长,杆在放手后振动,其边界条件为_初始条件为_.31长为l的两端固定的弦,在x0点施加冲量为I的冲力使其振动,其初始条件为_32本征值问题X(x)X(x)00 xlX(0)0,X(l)0中
4、的本征值 _,本征函数X(x)_33本征值问题X(x)X(x)00 xlX(0)0,X(l)0中的本征值 _,本征函数X(x)_34 本征值问题X(x)X(x)00 xlX(0)0,X(l)0中的本征值 _,本征函数X(x)_35本征值问题X(x)X(x)00 xlX(0)0,X(l)0中的本征值 _,本征函数X(x)_36本征值问题()()0(2)()中的本征值 _,本征函数()_37 一维无界空间的波动问题utta2uxx0ut0(x)的解是_utt0(x)38.无限长弦的自由振动,其初始位移为(x),初始速度为a(x),则u(x,t)_39极坐标系中 Laplace 方程带有周期性边界条
5、件u(,2)u(,)的解_40.勒让德多项式P2n1(0)_,P2n(0)_Pl(1)_,Pl(1)_41.以勒让德多项式为基本的函数族,在区间1,1上将函数f(x)展开为广义傅立叶级数f(x)1f P(x),其系数fl _lll042.11Pl(x)2dx _43.1xnPl(x)dx _,(n l)（不要求）44.勒让德多项式的微分表达式Pl(x)_45.以勒让德多项式为基本的函数族在区间1,1上将函数f(x)x展开为广义傅立叶级数,即x _46.勒让德多项式的母函数22_(r 1)1，12rcosr2_(r 1)_(r R)1R22rRcosr2_(r R)47独立的l阶球函数共有_个4
6、8.独立的 1 阶球函数分别为_49.独立的 2 阶球函数分别为_50.若周期函数f(x)为奇函数,傅立叶展开式为 _,其展开系数为_；若 周 期 函 数f(x)为 偶 函 数,傅 立 叶 展 开 式 为_,其展开系数为_.第二部分:计算题1.已知解析函数f(z)的实部u(x,y)或虚部v(x,y),求该解析函数(1)v e cos y(2)u xx2 y2x2 y22,f()0（课上的例题）(3)u ln,f(1)0（作业题）2.计算下列积分(1)I z 2 z 1coszdz（例题）(2)I 5dz i z 1z(z 2)23.在挖去奇点的环域上或指定的环域上将下列函数展开成洛朗级数(1)
7、(2)(3)1在z0 2（课上的例题）z 1(z 2)e1/1z在z01（课上的例题）1在1 z 2，在z 2（课上的例题）z 1(z 2)0ze/z在z(4)0（作业题）1cosz在z0 0（作业题）z1(6)sin在z0 0z 14.计算下列函数在其有限远奇点的留数(5)zezez(1)2（作业题）(2)（课上的例题）(3)32(z a)z ae1/1z（课后习题）5计算下列回路积分（1）I dz22(z 1)(z 1)x2y22x2y0（课上的例题）coszI dz（作业题）3（2）zz 1（3）I I z 2 e1/z2dz（课后习题）（4）z 2 122zdzsin z2（课后习题）
8、6计算下列实变定积分：（1）I（2）I02dxdz（作业题）2cosxdxdz，(0 1)（作业题）2(1cos x)0（3）I x2 1dx（作业题）4x 1（4）I 0cos mxdx，(m 0)（作业题）4x 17两端固定的弦长为l，用细棒敲击x x0点，在该点施加冲力，设其冲量为I，求解弦的振动。（utt0I(x x0)）(课上的例题)8长为l的杆，一端(x 0)固定，另一端(x l)受力F0而伸长，求放手后杆的纵振动。（作业题）9细杆导热问题，长为l的杆，两端绝热，初始温度分布为Ax。10均匀细杆长为l，一端(x 0)保持零度，另一端(x l)有恒定的热流q0流入，且初始温度为零度，
9、求解细杆的温度分布。11均匀细杆长为l，初始温度均匀为u0，两端分别保持温度u1和u2，求解细杆的导热问题.（课上的例题）12在圆形区域内求解u 0，使满足边界条件ua Acos213 在圆形区域外求解u 0，使满足边界条件ua A Bcos（仿照例题）14 求解定解问题（作业题，冲量定uta2uxx Asintuxx0 0uxxl 0u 0t0理法）15证明：Pl(1)1，Pl(1)1（课上的例题，运用勒让德多项式的积分表示）16以勒让德多项式为基本函数，在区间1,1上把下列函数展为广义傅立叶级数。lf(x)x2，f(x)x3（作业题）u 0217.球形区域内部求解定解问题(r a)（课上的
10、例题）u cosrau 0u18.球形区域外部求解定解问题(r a)cosrrar19.本来是匀强的静电场E0中放置半径为布。（作业题）20.电荷40q的电场中放置半径为a的接地导体球，试求球外的电势分a的接地导体球，球心与点电荷相距d(a),求解这个静电场。（课上例题）21.用球函数把下列函数展开sincos（课上例题）sinsin（课上例题）3sin2cos21（课上例题）sin2sincossin2cos2(13cos)sincos（作业题）22在半径为r0的球的（1）内部（2）外部求解定解问题（作业题）u 0urr0 4sin2(cossin12)附加题：sin2x1.0 x2dxsin3x20 x3dx3.在半径为r0的球的内部区域求解泊松方程问题。u Arcosurr0 04求处于一维无限深势阱中的粒子状态iht)h22t(x,2m x2(a,t)(a,t)01t0asina(xa)