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1、“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：例例 1 1、已知a 2333x 20，b x 18，c x 16，88822求：代数式a b c ab ac bc的值解析：本题若将a、b、c的值直接代入计算，则复杂繁琐，显然不可取，考虑到：1a2b2 c2 ab ac bc=(a b)2(b c)2(c a)2，而由题设可以求
2、得2a b,b c,c a的值，整体代入，则化繁为简，迅速可解333x 20，b x 18，c x 16，可得a b 2,b c 2,c a 48881222222从而a b c ab ac bc=(a b)(b c)(c a)211222=(2)(2)4 24 1222由a 例例 2 2、已知x y 4，xy 1，求代数式(x 1)(y 1)的值解析：由题设条件求出x,y的值，再分别代入待求式计算，有一定困难，可考虑将待求式(x 1)(y 1)变形，用x y和xy来表示，然后再整体代入求值2222(x21)(y21)=x2y2 x2 y21(xy)2(x y)2 2xy 122把x y 4，
3、xy 1，整体代入得到：1 4 21116即(x 1)(y 1)=1622例例 3 3、已知x 2时，代数式ax bx cx 8 10，求当x 2时，代数式53ax5bx3 cx 8的值解析：由于ax bx cx中x的指数均为奇数，故当x 2和x 2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值当x 2时，代数式ax bx cx 8 10，即2 a 2 b 2c 8 10则32a 8b 2c 1853当x 2时，代数式ax bx cx 8=(2)a (2)b (2)c 853535353=(32a 8b 2c)8将式整体代入，得到(32a 8b 2c)8=188 26即当x 2
4、时，代数式ax bx cx 8的值为26例例 4 4、已知a b b c 533222，a b c 1，则abbc ca的值等于535解析：由已知条件求出a,b,c的值，再代入待求式计算，比较复杂，由a b b c 222可先求出a c的值，再将abbc ca变形，用a b c、a b、bc及a c来表示，从而整体代入，可使问题化难为易，迅捷获解由a b b c 236，可以得到a c=5522222由(a b)(b c)(a c)2(a b c)2(ab bc ac)得到1abbc ca=(a2b2 c2)(a b)2(b c)2(a c)22将a b c、a b、bc及a c的值整体代入，
5、可得22213361542 abbc ca=1()2()2()2 1255522525例例 5 5、若M 123456789123456786，N 123456788123456787试比较 M 与 N 的大小解析：在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易，在解决大数值的问题时，也可考虑将某些大数值整体用字母代换，转化为整式问题，使问题化繁为简，巧妙获解，通过仔细观察发现这些大数值都在123456788 左右波动，不妨将 123456788 整体用a代换，则 123456789=a+1，123456786=a-2，123456787=a-1，从而：M (a 1)(a 2)a a 2，N a(a 1)a a所以M N (a a 2)(a a)20，由此得到：MN2222