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1、【最新整理，下载后即可编辑】小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨知识点拨一、等积模型一、等积模型AB等底等高的两个三角形面积相等；SS两个三角形高相等，面积比等于它们的底之abCD比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S1:S2 a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACDSBCD；12反之，如果SACD SBCD，则可知直线AB平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三
2、角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则SABC:SADE(AB AC):(AD AE)【最新整理，下载后即可编辑】DAADEEBCB图C图三、蝶形定理三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：S1:S2 S4:S3或者S1S3 S2S4AO:OC S1 S2
3、:S4 S3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：S221:S3 a:bS221:S3:S2:S4 a:b:ab:ab；S的对应份数为a b2四、相似模型四、相似模型(一)金字塔模型ADFEBGC【最新整理，下载后即可编辑】DAS1S2S4OS3BCAaSD1S2OS4S3BbC(二)沙漏模型EAFDADAEDEAF；ABACBCAGBGCSADE：SABC AF2:AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
4、(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么ASABO:SACO BD:DCE上述定理给出了一
5、个新的转化面积比与线段比的手F段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这OCD个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都B有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题典型例题【例【例 1 1】如图，如图，正方形正方形ABCD的边长为的边长为 6，AE 1.5，CF 2长方形长方形EFGH的面积为的面积为【最新整理，下载后即可编辑】_ H_ D_ H_ D_ A_ E_ G_ A_ E_ G【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角
6、形的面积，SDEF 66 1.56 2 26 2 4.54 2 16.5,所 以 长 方 形EFGH面积为 33【巩固】【巩固】如图所示，如图所示，正方形正方形ABCD的边长为的边长为8厘米，厘米，长方形长方形EBGF的长的长BG为为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？厘米，那么长方形的宽为几厘米？_ B_ F_ C_ B_ F_ C_ E_ A_ F_ D_ G_ C_ B_ F_ D_ A_ E_ B_ C_ G【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接AG(我们通过ABG
7、把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形ABCD中，SABG1SSABG2ABCD1 AB AB边上的高，2(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，SABG1SEFGB2 正 方 形ABCD与长 方形EFGB面积相等 长 方 形 的 宽8810 6.4(厘米)【例【例 2 2】长方形长方形ABCD的面积为的面积为 36cm2，E、F、G为各边中点，为各边中点，H为为AD边边上任意一点，问阴影部分面积是多少？上任意一点，问阴影部分面积是多少？【最新整理，下载后即可编辑】AHDEG【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：BFCAHDEGBFC可 得：SEHB1
8、SAHB2、SFHB11SCHB、SDHGSDHC，而2212SABCD SAHB SCHB SCHD36即SEHB SBHF SDHG(SAHB SCHB SCHD)36 18；而SEHB SBHF SDHG S阴影 SEBF12，11111SEBFBEBF(AB)(BC)36 4.522228所以阴影部分的面积是：S阴影18 SEBF184.513.5解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：AD(H)EG这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：BFC1111111S阴影 SABCD SAED SBEF SCFD 36363636 13.5222
9、2222【巩固】在边长为【巩固】在边长为6 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接点连接,求阴影部分求阴影部分面积面积【最新整理，下载后即可编辑】ADA(P)DADPPBB【解析】（法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和1，所以阴46BCCC影部分的面积为62(11)15平方厘米46（法 2）连接PA、PC由于PAD与PBC的面积之和等于正方形AB
10、CD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1，同4理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为62(11)15平方厘米46【例【例 3 3】如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，AB 8，AD 15，四边形，四边形EFGO的面积为的面积为ADOEBFGC【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为
11、1330，所以三角形AOE和DOG的面积之和为12070 20；4411又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 30，所24120以四边形EFGO的面积为3020 10【最新整理，下载后即可编辑】另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即12070 50，所以四边形的面积为605010【巩固】如图，长方形【巩固】如图，长方形ABCD的面积是的面积是 36，E是是AD的三等分点，的三等分点，AE 2ED，则阴影部分的面积
12、为则阴影部分的面积为AOB【解析】如图，连接OEEDAMOENDCBC，所 以根 据 蝶 形 定 理，SOEN1SOED；21ON:ND SCOE:SCDESCAE:SCDE1:1211OM:MA SBOE:SBAESBDE:SBAE1:4，所以SOEMSOEA5211又SOEDS矩形ABCD 3，SOEA 2SOED 6，所以阴影部分面积为：341136 2.725【例【例 4 4】已知已知ABC为等边三角形，面积为为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边的中分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积，求阴影五边形的面积(丙是丙是三
13、角形三角形HBC)A甲 乙IJMBNH丙EDFC【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN【最新整理，下载后即可编辑】和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为 200根据图形的容斥关系，有SABC S丙 SABN SAMC SAMHN，即400 S丙 200200 SAMHN，所以S丙 SAMHN又S阴影 SADF S甲 S乙 SAMHN，所以1S阴影 S甲 S乙 S丙 SADF143400 434【例【例 5 5】如图，已知如图，已知CD 5，DE 7，EF 15，FG 6，线段，线段AB将
14、图形分成两将图形分成两部分，部分，左边部分面积是左边部分面积是 38，右边部分面积是右边部分面积是 65，那么三角形那么三角形ADG的面积是的面积是AACDBEFGCDEBFG【解析】连接AF，BD根据题意可知，CF 5715 27；DG 7156 28；1571221SCBF，SAEDSADG，SBECSCBF，SAEGSADG，272827287122115SSCBF 38；SS 65于是：；ADGADGCBF28272827可得SADG40故三角形ADG的面积是 40SBEF所以，【例【例 6 6】如如图图在在ABC中中，D,E分分别别是是AB,AC上上的的点点，且且AE:AC 4:7，
15、SADE16平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积AAAD:AB 2:5，DEDEBCBC【解析】连接BE，SADE:SABE AD:AB 2:5 (24):(54)，SABE:SABC AE:AC 4:7 (45):(75)，所以SADE:SABC(24):(75)，设SADE8份，则SABC35份，SADE16平方厘米，所以1份是2平方厘【最新整理，下载后即可编辑】米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形【巩固】如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的
16、 5 倍，倍，AC是是AE的的 3 倍，如果倍，如果三角形三角形ADE的面积等于的面积等于 1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？ADECDAECB【解析】连接BEBEC 3AESABC3SABE又AB 5ADSADE SABE5 SABC15，SABC15SADE15【巩固】【巩固】如图，如图，三角形三角形ABC被分成了甲被分成了甲(阴影部分阴影部分)、乙两部分，乙两部分，BD DC 4，BE 3，AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AEB甲DEA乙C【解析】连接ADB甲D乙CBE 3，AE 6AB 3BE，SABD3SBDE又BD
17、DC 4，SABC2SABD，SABC 6SBDE，S乙 5S甲【例【例 7 7】如图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，且AB:AD 5:2，AE:EC 3:2，SADE12平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积【最新整理，下载后即可编辑】DDAAEBCE【解析】连接BE，SADE:SABE AD:AB 2:5 (23):(53)SABE:SABC AE:AC 3:(3 2)(35):(3 2)5，所以SADE:SABC(32):5(32)6:25，设SADE6份，则SABC25份，SADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米
18、，由此我们得到一个重要的定理，共角ABC的面积是50平方厘米定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例【例 8 8】如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BE AB，CF 2CB，GD 3DC，HA 4AD，平行四边形平行四边形ABCD的面积是的面积是2，求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比BCHHAGDFBCEAGDFBCE【解析】连接AC、BD根据共角定理在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，SABCSFBEABBC111BE BF133又SABC1，所以SFBE3同理可得SGCF8，SDHG15，SAEH8所以SEF
19、GH SAEH SCFG SDHG SBEF SABCD8815+3+236所以SABCDSEFGH213618【最新整理，下载后即可编辑】【例【例 9 9】如图所示的四边形的面积等于多少？如图所示的四边形的面积等于多少？C1312O131213D13【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为121214
20、4.(也可以用勾股定理)【例【例 10 10】如图所示，如图所示，ABC中，中，ABC 90，AB 3，BC 5，以以AC为一边向为一边向ABC外作正方形外作正方形ACDE，中心为，中心为O，求，求OBC的面积的面积EE1212ABOA3B5CDOA3DFC5B【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置由于ABC 90，AOC 90，所以OABOCB 180而OCF OAB，所以OCF OCB180，那么B、C、F三点在一条直线上由于OB OF，BOF AOC 90，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为821164根据面积比例模型，OBC的面积为1
21、65108【例【例 11 11】如图，以正方形的边如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形ABE，【最新整理，下载后即可编辑】AEB 90，AC、BD交于交于O已知已知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求三角形求三角形OBE的面积的面积CBCBOEDAOEFAD【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置那么EAF EABBAF EABDAE 90，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF AE 3，所以梯形AFBE的面积为：353112(cm2)2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2 AE
22、2 BE2 3252 34，所以SABDAB217(cm2)那么SBDE SABDSABE SADE SABD SAFBE17125(cm2)，所以SOBESBDE 2.5(cm2)【例【例 12 12】如下图，六边形如下图，六边形ABCDEF中，中，AB ED，AF CD，BC EF，且有，且有AB平平1212行于行于ED，AF平行于平行于CD，BC平行于平行于EF，对角线，对角线FD垂直于垂直于BD，已，已知知FD 24厘米，厘米，BD 18厘米，请问六边形厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平的面积是多少平方厘米？方厘米？BACGABCFEDFED【解析】如图，我们将BCD平移使得C
23、D与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了这样就组成了一个【最新整理，下载后即可编辑】长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为2418 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米【例【例 13 13】如图，三角形如图，三角形ABC的面积是的面积是1，E是是AC的中点，点的中点，点D在在BC上，且上，且，AD与与于于BD:DC 1:2ABE交交 于于 点点F 则则 四四 边边 形形ADFEC的的 面面 积积 等等EBDAEFBCFCB33EF312CDS【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，ABFDSACF
24、SAEBD11,，ABFSCBFECDC2SABF 3份，SAEF SEFC3份，设SBDF1份，则SDCF 2份，如图所标所以SDCEF55SABC121211SS方法二：连接DE，由题目条件可得到ABD，ABC331121BFSABD1，SADESADCSABC，所以FES12233ADE1111111SDEFSDEBSBECSABC，22323212211SS而CDE所以则四边形DFEC的面积等于5ABC32312【巩固】如图，长方形【巩固】如图，长方形ABCD的面积是的面积是2平方厘米，平方厘米，EC 2DE，F是是DG的中的中点阴影部分的面积是多少平方厘米点阴影部分的面积是多少平方厘
25、米?【最新整理，下载后即可编辑】AFBGDECAA3FBB3G1DDE【解析】设SDEFC1份，则 根 据 燕 尾 定 理 其 他 面 积 如 图 所 示GFx2y3yxCES阴影55SBCD平方厘米.1212【例【例 14 14】四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O(如图所示如图所示)如果三角形如果三角形ABD的面积等于三角形的面积等于三角形BCD的面积的的面积的1，且且AO 2，DO3，那么那么CO3的长度是的长度是DO的长度的的长度的_倍倍AOBCBDAHODG【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件
26、，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件SABD:SBCD1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题解 法 一：AO:OC SABD:SBDC1:3，OC 23 6，OC:OD 6:3 2:1解法二：作AH B
27、D于H，CG BD于GSABD111SSDOC，SBCD，AH CG，AOD3333CAO 1CO，OC 23 6，OC:OD 6:3 2:1【最新整理，下载后即可编辑】【巩固】如图，四边形被两条对角线分成【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形个三角形，其中三个三角形的面积已知，的面积已知，求：三角形求：三角形BGC的面积；的面积；AG:GC？A2B1G3D【解析】根据蝶形定理，SBGC1 23，那么SBGC 6；根据蝶形定理，AG:GC 1 2:3 61:3【例【例 15 15】如图，如图，平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF
28、、ODF、4、4 和和 6 求：求：求求OCF的面积；的面积；求求GCEBOE的面积依次是的面积依次是 2、的面积的面积AOGBECDCF【解析】根据题意可知，那么BCO和CDO的BCD的面积为2446 16，面积都是162 8，所以OCF的面积为84 4；由于BCO的面积为 8，BOE的面积为 6，所以OCE的面积为86 2，根 据 蝶 形 定 理，EG:FG SCOE:SCOF2:41:2，所 以SGCE:SGCF EG:FG 1:2，那么SGCE【例【例 16 16】如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，BE:EC 2:3，DF:FC 1:2，三角形，三角形DFG的面的面112SCEF
29、2 1 233积为积为2平方厘米，求长方形平方厘米，求长方形ABCD的面积的面积【最新整理，下载后即可编辑】AGDFCAGDFCBE【解析】连接AE，FE，BE所以因SDEF为BE:EC 2:3DF:FC 1:2，3111()S长方形ABCDS长方形ABCD532101SS长方形ABCD，AG:GF 1:15:1，所以SAGD 5SGDF10平方因为AED22 101S12SS长方形ABCD，所以长方厘米，所以AFD平方厘米因为AFD6形ABCD的面积是72平方厘米【例【例 17 17】如图，如图，正方形正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点边上的中点求图求图中阴
30、影部分的面积中阴影部分的面积BCGADM【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC 1:2，根据梯形蝶形定理可以知道SAMG:SABG:SMCG:SBCG12（:12）（:12）:221:2:2:4，设SAGM1份，则SMCD1 2 3份，所以正方形的面积为1 2 2 4312份，S阴影 2 2 4份，所以S阴影:S正方形1:3，所以S阴影1平方厘米【巩固】【巩固】在下图的正方形在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，点，三角形三角形BEF的面积为的面积为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是面积是平方厘米平方厘米【最
31、新整理，下载后即可编辑】ADFB【解析】连EC接DE，根 据 题 意 可 知BE:AD 1:2，根 据 蝶 形 定 理 得2S梯形（1 2）9(平 方 厘 米)，SECD3(平 方 厘 米)，那 么SABCD12(平方厘米)【例【例 18 18】已知已知ABCD是平行四边形，是平行四边形，BC:CE 3:2，三角形，三角形ODE的面积为的面积为 6 平平方厘米则阴影部分的面积是方厘米则阴影部分的面积是平方厘米平方厘米AODAODB【解析】连接ACCEBCE由于ABCD是平行四边形，BC:CE 3:2，所以CE:AD 2:3，根据梯形蝶形定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD 22:23:
32、23:32 4:6:6:9，所 以SAOC6(平 方 厘 米)，SAOD 9(平 方 厘 米)，又SABC SACD 69 15(平方厘米)，阴影部分面积为615 21(平方厘米)【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如是平行四边形，已知三角形面积如图所示图所示(单位：平方厘米单位：平方厘米)，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是平方厘平方厘米米【最新整理，下载后即可编辑】A9214BEDA921CBO4ED【分析】连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCD SOAE2根据蝶形定理，SOCDSOAE SOCESOAD493
33、6，故SOCD 36，C所以SOCD 6(平方厘米)【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如是平行四边形，已知三角形面积如图所示图所示(单位：平方厘米单位：平方厘米)，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是平方厘平方厘米米A8162BECBE16DA8O2CD【解析】连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCD SOAE根 据 蝶 形 定 理，SOCDSOAE SOCESOAD 28 16，故SOCD216，所以SOCD 4(平方厘米)另解：在平行四边形ABED中，SADE1S2ABED116812(平方厘2米)，所以SAOE
34、 SADE SAOD1284(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为824 4(平方厘米)【例【例 19 19】如图，长方形如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 块的面积分块的面积分别为别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为的面积为_平方厘米平方厘米【最新整理，下载后即可编辑】AE25O8DF?BAE25O8F?B【解析】连接DE、CF四边形EDCF为梯形，所以SEOD SFOC，又根据蝶形定理，SEODSFOC SEOFSCOD，所以SEODSFOC SEOFSCOD 28 16，所以那么长方形ABCD
35、的面SEOD 4(平方厘米)，SECD 48 12(平方厘米)积为122 24平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)【例【例 20 20】如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段是正方形，线段AB与与CD相相交于交于K点已知正方形点已知正方形DEFG的面积的面积 48，AK:KB 1:3，则，则BKD的面的面积是多少？积是多少？DKBEFCBECDCAGDKAG【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的而AK:KB 1:3，所以ACK的面积是ABC面积的面积的14
36、11那么BDK的面积也是ABC，134MFC由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM DE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为 48那么BDK的面积为481124【例【例 21 21】下图中，四边形下图中，四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形，的正方形，E、F、G、H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影影 部部 分分 的的 面面 积积 之之 比比 是是 最最 简简 分分 数数于于mn，那那 么么，
37、(m n)的的 值值 等等【最新整理，下载后即可编辑】AHDAHDEGEG【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的1，4BFCBFC所以三角形AMD的面积为12111又左图中四个空白三角形的248面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为114 182AHDAHDMEGENGBFCBFC如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N可知EFAC且AC 2EF那么
38、三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1，所以三角形BEF的面积为12111，梯形AEFC的面积为4113288248在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:12:1 2:221:2:2:4，所以三角形EFN的面积为311，那么四边形BENF的面积为111而右图中四81 2 2 4248246个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1114 63那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为【最新整理，下载后即可编辑】1 1m3:3:2，即，2 3n2那么mn 32 5【例【例 22 22】如图，如图，ABC中，中，DE，FG，BC
39、互相平行，互相平行，AD DF FB，则则SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCBADFBEGC【解析】设SADE1份，根据面积比等于相似比的平方，所以SADE:SAFG AD2:AF21:4，SADE:SABC AD2:AB21:9，因此SAFG4份，SABC9份，S四边形FGCB5份，进而有S四边形DEGF3份，所以SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5【巩固】如图，【巩固】如图，DE平行平行BC，且，且AD 2，AB 5，AE 4，求，求AC的长的长ADBEC【解析】由金字塔模型得AD:AB AE:AC DE:BC 2:5，所以AC 42510【巩固】如图，【巩固】如
40、图，互相平行，互相平行，ABC中，中，DE，FG，MN，PQ，BCADEGAD DF FM MP PB，则，则SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCBFMP【解析】设SADE1份，SADE:SAFG AD2:AF21:4，因B此SAFG 4份，进而有S四边形DEGF 3份，同理有S四边形FGNM 5份，S四边形MNQP 7份，S四边形PQCB 9份【最新整理，下载后即可编辑】NQC所以有SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB1:3:5:7:9【例【例 23 23】如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的
41、边长为4，F是是BC边的中点，边的中点，E是是DC边边上的点，且上的点，且DE:EC 1:3，AF与与BE相交于点相交于点G，求，求SABGABABABGFGFGF【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM BF:FC 1:1，因此CM 4，根据题意有CE 3，再根据另一个沙漏有GB:GE AB:EM 4:7，所以EEDECDCMDCSABG4432SABE(442)471111AE,EF方 法 二：连 接SAEF，分 别 求SABF4224，44 41 232 2 4 7，根据蝶形定理 BG:GE 4:7，所以SABGSABF:SAEF4432S
42、ABE(442)471111【例【例 24 24】如图所示，已知平行四边形如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是的面积是 1，E、F是是AB、AD的的中点，中点，BF交交EC于于M，求，求BMG的面积的面积AFHMGCAFHGCDDEBIEMB【解析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF/BD，而FD:BC FH:HC 1:2，EB:CD BG:GD 1:2所以CH:CF GH:EF 2:3，【最新整理，下载后即可编辑】并得G、H是BD的三等分点，所以BG GH，所以SBFD所以BM 2BF，BG:EF BM:MF 2:3，53111SABDS222121354130ABCD
43、1；4又因为BG 1BD，所以SBMGSBFD1235解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，AI:BC AE:EB 1:1，从而可以确定M的点的位置，21BM:MF BC:IF 2:3，BM BF，BG BD(鸟头定理)，53可得SBMG21211SBDFS53534ABCD130【例【例 25 25】如图，如图，ABCD为正方形，为正方形，AM NB DE FC 1cm且且MN 2 cm，请问四，请问四边形边形PQRS的面积为多少？的面积为多少？DERSPAMNBQFCDERSPFCQNBAM【解析】(法1)由AB/CD，有MPPC，所以PC 2PM，又MQMB，所以QCECDC1111
44、1MQ QC MC，所以PQ MC MC MC，所以SSPQR占SAMCF的，22366所以SSPQR11(11 2)2(cm2)63(法2)如图，连结AE，则SABE144 8(cm2)，2而RBER，所以RBAB 2，SABR2SABE2816(cm2)ABEFEFEF333而SMBQ SANS1341 3(cm2)，因为MNMP，22DCPC所以MP 1MC，则SMNP12414(cm2)，阴影部分面积等于32331642SABR SANS SMBQ SMNP33(cm2)333MN【例【例 26 26】如右图，三角形如右图，三角形ABC中，中，BD:DC 4:9，CE:EA 4:3，求
45、，求AF:FB【最新整理，下载后即可编辑】AFBODEC【解析】根据燕尾定理得SAOB:SAOC BD:CD 4:9 12:27SAOB:SBOC AE:CE 3:412:16（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以SAOC:SBOC27:16 AF:FB【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形【巩固】如右图，三角形ABC中，中，BD:DC 3:4，AE:CE 5:6，求，求AF:FB.AFBODEC【解析】根据燕尾定理得SAOB:SAOC BD:C
46、D 3:4 15:20SAOB:SBOC AE:CE 5:615:18（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以SAOC:SBOC20:1810:9 AF:FB【巩固】如右图，三角形【巩固】如右图，三角形ABC中，中，BD:DC 2:3，EA:CE 5:4，求，求AF:FB.AFBODEC【解析】根据燕尾定理得SAOB:SAOC BD:CD 2:310:15SAOB:SBOC AE:CE 5:410:8（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以SAOC:SBOC15:8 AF:FB【最新整理，下载后即可编辑】【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例
47、解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例【例 27 27】如右图，三角形如右图，三角形ABC中，中，AF:FB BD:DC CE:AE 3:2，且三角形，且三角形ABC的面积是的面积是1，则三角形则三角形ABE的面积为的面积为_，三角形三角形AGE的面积为的面积为_，三角形，三角形GHI的面积为的面积为_AEFHBGIDCAEFHGIDC【分析】连接AH、BI、CG5B由于CE:AE 3:2，所以AE 2AC，故SABE2SABC2；55根据燕尾定理，SACG:SABG CD:BD 2:3，SBCG:SABG CE:EA 3:2，所以SACG:SA
48、BG:SBCG 4:6:9，则SACG4，SBCG9；1919那么SAGE2SAGC2455198；95同 样 分 析 可 得EG:EB SACG:SACB 4:19SACH919，则EG:EH SACG:SACH 4:9，所 以EG:GH:HB 4:5:10，同 样 分 析 可 得AG:GI:ID 10:5:4，所以SBIE55215511SBAE，SGHISBIE1010551919519【巩固】【巩固】如右图，如右图，三角形三角形ABC中，中，AF:FB BD:DC CE:AE 3:2，且三角形且三角形GHI的面积是的面积是1，求三角形，求三角形ABC的面积的面积AAFIBHGDEFIC
49、BHGDEC【解析】连接BG，SAGC6份【最新整理，下载后即可编辑】根据燕尾定理，SAGC:SBGC AF:FB 3:26:4，SABG:SAGC BD:DC 3:2 9:6得SBGC4(份)，SABG9(份)，则SABC19(份)，因此SAGCSABC6,19同理连接AI、CH得SABHSABCS6SBIC6196661,所以GHI19SABC19SABC1919三角形GHI的面积是 1，所以三角形ABC的面积是 19【巩固】如图，【巩固】如图，ABC中中BD 2DA，CE 2EB，AF 2FC，那么，那么ABC的面积是的面积是阴影三角形面积的阴影三角形面积的倍倍ADGFHBEICHICB
50、EDGFA【分析】如图，连接AI根据燕尾定理，SBCI:SACI BD:AD 2:1，SBCI:SABI CF:AF 1:2，22SABCSABC1 2 47同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的2，所以阴影三7角形的面积等于ABC面积的1231，所以ABC的面积是阴影三77所以，SACI:SBCI:SABI1:2:4，那么，SBCI角形面积的 7 倍【巩固】如图在【巩固】如图在ABC中，中，DCEAFB1,求求GHI的面积的值的值DBECFA2ABC的面积AEHFIBGDCBFIGDCHEA【解析】连接份，根据燕尾定理SAGC:SBGC AF:FB 2:1,SABG:SAGC BD