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1、小学奥数平面几何五种模型等积，鸟头，蝶形，相似，共边目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似含金字塔模型和沙漏模型，共边含燕尾模型和风筝模型， 掌握五大面积模型各种变形知识点拨一、等积模型等底等高两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们高之比；如右图夹在一组平行线之间等积变形，如右图；反之，如果，那么可知直线平行于等底等高两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高平行四边形面积一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们高之比二、鸟头定理两个三角
2、形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边乘积之比如图在中，分别是上点如图 (或在延长线上，在上)，那么 图 图三、蝶形定理任意四边形中比例关系(“蝶形定理)：或者蝶形定理为我们提供了解决不规那么四边形面积问题一个途径通过构造模型，一方面可以使不规那么四边形面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应对角线比例关系梯形中比例关系(“梯形蝶形定理)：；对应份数为四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所谓相似三角形，就是形状一样，大小不同三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关常
3、用性质及定理如下：相似三角形一切对应线段长度成比例，并且这个比例等于它们相似比；相似三角形面积比等于它们相似比平方；连接三角形两边中点线段叫做三角形中位线三角形中位线定理：三角形中位线长等于它所对应底边长一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间边与面积关系相互转化工具在小学奥数里，出现最多情况是因为两条平行线而出现相似三角形五、共边定理燕尾模型和风筝模型在三角形中，相交于同一点，那么上述定理给出了一个新转化面积比与线段比手段，因为和形状很象燕子尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛运用，它特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中三角形面积对应底边之间提
4、供互相联系途径.典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD边长为6，1.5，2长方形EFGH面积为 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B_C_D_E_F_G_H【解析】 连接DE，DF，那么长方形EFGH面积是三角形DEF面积二倍三角形DEF面积等于正方形面积减去三个三角形面积，,所以长方形EFGH面积为33【稳固】如下图，正方形边长为厘米，长方形长为厘米，那么长方形宽为几厘米？_A_B_G_C_E_F_D _A_B_G_C_E_F_D【解析】 此题主要是让学生会运用等底等高两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊平行四边形)三角形面积等于与它等底等高平行四边形面积一半证明：连接
5、(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形中，边上高，(三角形面积等于与它等底等高平行四边形面积一半)同理，正方形与长方形面积相等 长方形宽(厘米)【例 2】 长方形面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【解析】 解法一：寻找可利用条件，连接、，如下列图： 可得：、，而 即； 而， 所以阴影局部面积是： 解法二：特殊点法找特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图： 这样阴影局部面积就是面积，根据鸟头定理，那么有： 【稳固】在边长为6厘米正方形内任取一点，将正方形一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影局部面积 【解析】 法1特殊点法由于是正方
6、形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，那么阴影局部变为如上中图所示，图中两个阴影三角形面积分别占正方形面积和，所以阴影局部面积为平方厘米法2连接、由于与面积之和等于正方形面积一半，所以上、下两个阴影三角形面积之和等于正方形面积，同理可知左、右两个阴影三角形面积之和等于正方形面积，所以阴影局部面积为平方厘米【例 3】 如下图，长方形内阴影局部面积之和为70，四边形面积为 【解析】 利用图形中包含关系可以先求出三角形、和四边形面积之和，以及三角形和面积之和，进而求出四边形面积由于长方形面积为，所以三角形面积为，所以三角形和面积之和为；又三角形、和四边形面积之和为，所以四边形面积为另解：从
7、整体上来看，四边形面积三角形面积三角形面积白色局部面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积一半，即60，白色局部面积等于长方形面积减去阴影局部面积，即，所以四边形面积为【稳固】如图，长方形面积是36，是三等分点，那么阴影局部面积为 【解析】 如图，连接根据蝶形定理，所以；，所以又，所以阴影局部面积为：【例 4】 为等边三角形，面积为400，、分别为三边中点，甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形面积(丙是三角形)【解析】 因为、分别为三边中点，所以、是三角形中位线，也就与对应边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形面积都等于三角形一半，即为200根据图形容斥关系，有，即，所以又，所以【例 5】
8、 如图，线段将图形分成两局部，左边局部面积是38，右边局部面积是65，那么三角形面积是 【解析】 连接，根据题意可知，；所以，于是：；可得故三角形面积是40【例 6】 如图在中，分别是上点，且，平方厘米，求面积 【解析】 连接，所以，设份，那么份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，面积是平方厘米由此我们得到一个重要定理，共角定理：共角三角形面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边乘积之比 【稳固】如图，三角形中，是5倍，是3倍，如果三角形面积等于1，那么三角形面积是多少？ 【解析】 连接 又，【稳固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影局部)、乙两局部，乙局部面积是甲局部面积几倍？ 【
9、解析】 连接，又，【例 7】 如图在中，在延长线上，在上，且，平方厘米，求面积 【解析】 连接， ，所以，设份，那么份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，面积是平方厘米由此我们得到一个重要定理，共角定理：共角三角形面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边乘积之比【例 8】 如图，平行四边形，平行四边形面积是， 求平行四边形与四边形面积比 【解析】 连接、根据共角定理 在和中，与互补，又，所以同理可得，所以所以【例 9】 如下图四边形面积等于多少？【解析】 题目中要求四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使
10、长为两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 位置.这样，通过旋转后所得到新图形是一个边长为正方形，且这个正方形面积就是原来四边形面积.因此，原来四边形面积为.(也可以用勾股定理)【例 10】 如下图，中，以为一边向外作正方形，中心为，求面积 【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达位置由于，所以而，所以，那么、三点在一条直线上由于，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它面积为根据面积比例模型，面积为【例 11】 如图，以正方形边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于、长分别为、，求三角形面积 【解析】 如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到位置那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形面积为
11、：()又因为是直角三角形，根据勾股定理，所以()那么()，所以()【例 12】 如下列图，六边形中，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，厘米，厘米，请问六边形面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中了这样就组成了一个长方形，它面积与原六边形面积相等，显然长方形面积为平方厘米，所以六边形面积为平方厘米【例 13】 如图，三角形面积是，是中点，点在上，且，与交于点那么四边形面积等于 【解析】 方法一：连接，根据燕尾定理，, 设份，那么份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，所以，而所以那么四边形面积等于【稳固】如图，长方
12、形面积是平方厘米，是中点阴影局部面积是多少平方厘米【解析】 设份，那么根据燕尾定理其他面积如下图平方厘米.【例 14】 四边形对角线与交于点(如下图)如果三角形面积等于三角形面积，且，那么长度是长度_倍 【解析】 在此题中，四边形为任意四边形，对于这种不良四边形，无外乎两种处理方法：利用条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出条件是面积关系，转化为边关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个不良四边形，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高一样，
13、那么面积之比等于底边之比，得出结果请教师注意比拟两种解法，使学生体会到蝶形定理优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题解法一：，解法二：作于，于，【稳固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形面积，求：三角形面积；？【解析】 根据蝶形定理，那么；根据蝶形定理，【例 15】 如图，平行四边形对角线交于点，、面积依次是2、4、4和6求：求面积；求面积【解析】 根据题意可知，面积为，那么和面积都是，所以面积为；由于面积为8，面积为6，所以面积为，根据蝶形定理，所以，那么【例 16】 如图，长方形中，三角形面积为平方厘米，求长方形面积 【解析】 连接，因为，所以因为，所以平方厘米
14、，所以平方厘米因为，所以长方形面积是平方厘米【例 17】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上中点求图中阴影局部面积【解析】 因为是边上中点，所以，根据梯形蝶形定理可以知道，设份，那么 份，所以正方形面积为份，份，所以，所以平方厘米【稳固】在下列图正方形中，是边中点，与相交于点，三角形面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米【解析】 连接，根据题意可知，根据蝶形定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米) 【例 18】 是平行四边形，三角形面积为6平方厘米那么阴影局部面积是 平方厘米【解析】 连接由于是平行四边形，所以，根据梯形蝶形定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，
15、阴影局部面积为(平方厘米)【稳固】右图中是梯形，是平行四边形，三角形面积如下图(单位：平方厘米)，阴影局部面积是 平方厘米 【分析】 连接由于与是平行，所以也是梯形，那么根据蝶形定理，故，所以(平方厘米)【稳固】右图中是梯形，是平行四边形，三角形面积如下图(单位：平方厘米)，阴影局部面积是 平方厘米【解析】 连接由于与是平行，所以也是梯形，那么根据蝶形定理，故，所以(平方厘米)另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影局部面积为(平方厘米)【例 19】 如图，长方形被、分成四块，其中3块面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下四边形面积为_平方厘米 【解析】 连接、
16、四边形为梯形，所以，又根据蝶形定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么长方形面积为平方厘米，四边形面积为(平方厘米)【例 20】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点正方形面积48，那么面积是多少？【解析】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形在梯形中，和面积是相等而，所以面积是面积，那么面积也是面积由于是等腰直角三角形，如果过作垂线，为垂足，那么是中点，而且，可见和面积都等于正方形面积一半，所以面积与正方形面积相等，为48那么面积为【例 21】 下列图中，四边形都是边长为1正方形，、分别是，中点，如果左图中阴影局部与右图中阴影局部面积之比是最简分数，那么，值等于 【解
17、析】 左、右两个图中阴影局部都是不规那么图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中空白局部面积都比拟好求，所以可以先求出空白局部面积，再求阴影局部面积如下列图所示，在左图中连接设与交点为左图中为长方形，可知面积为长方形面积，所以三角形面积为又左图中四个空白三角形面积是相等，所以左图中阴影局部面积为如上图所示，在右图中连接、设、交点为可知且那么三角形面积为三角形面积，所以三角形 面积为，梯形面积为在梯形中，由于，根据梯形蝶形定理，其四局部面积比为：，所以三角形面积为，那么四边形面积为而右图中四个空白四边形面积是相等，所以右图中阴影局部面积为那么左图中阴影局部面积与右图中阴影局部面积之比为，即，那么
18、【例 22】 如图， 中，互相平行，那么 【解析】 设份，根据面积比等于相似比平方，所以，因此份，份，进而有份，份，所以【稳固】如图，平行，且，求长【解析】 由金字塔模型得，所以【稳固】如图， 中，互相平行，那么 【解析】 设份，因此份，进而有份，同理有份，份，份所以有【例 23】 如图，正方形边长为，是边中点，是边上点，且，与相交于点，求【解析】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以方法二：连接，分别求，根据蝶形定理，所以【例 24】 如下图，平行四边形面积是1，、是、中点， 交于，求面积 【解析】 解法一：由题意可得，、是、中
19、点，得，而，所以，并得、是三等分点，所以，所以，所以，；又因为，所以 解法二：延长交于，如右图， 可得，从而可以确定点位置， ，(鸟头定理)， 可得【例 25】 如图，为正方形，且，请问四边形面积为多少？ 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占，所以(法)如图，连结，那么(，而，所以，()而()，因为，所以，那么()，阴影局部面积等于()【例 26】 如右图，三角形中，求【解析】 根据燕尾定理得 都有面积要统一，所以找最小公倍数所以【点评】此题关键是把面积统一，这种找最小公倍数方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它转化本质，我们就能到达解奥数题四两拨千斤巨大力量！【稳固】
20、如右图，三角形中，求.【解析】 根据燕尾定理得 都有面积要统一，所以找最小公倍数所以【稳固】如右图，三角形中，求.【解析】 根据燕尾定理得 都有面积要统一，所以找最小公倍数所以【点评】此题关键是把面积统一，这种找最小公倍数方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它转化本质，我们就能到达解奥数题四两拨千斤巨大力量！【例 27】 如右图，三角形中，且三角形面积是，那么三角形面积为_，三角形面积为_，三角形面积为_ 【分析】 连接、由于，所以，故；根据燕尾定理，所以，那么，；那么；同样分析可得，那么，所以，同样分析可得，所以，【稳固】 如右图，三角形中，且三角形面积是，求三角形面积【解析】 连接
21、BG，份根据燕尾定理，得(份)，(份)，那么(份)，因此,同理连接AI、CH得,所以三角形GHI面积是1，所以三角形ABC面积是19【稳固】如图，中，那么面积是阴影三角形面积 倍 【分析】 如图，连接根据燕尾定理，所以，那么，同理可知和面积也都等于面积，所以阴影三角形面积等于面积，所以面积是阴影三角形面积7倍【稳固】如图在中，,求值【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,得(份)，(份),那么(份)，因此,同理连接AI、CH得,所以【点评】如果任意一个三角形各边被分成比是一样，那么在同样位置上图形，虽然形状千变万化，但面积是相等，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到，即再重复一次解题思路，因
22、此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形面积是，三角形被分成局部，请写出这局部面积各是多少 【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N连接CP，CQ，CM，CN根据燕尾定理，设(份)，那么(份)，所以同理可得，,而，所以，同理，,所以，,【稳固】如图，面积为1，点、是边三等分点，点、是边三等分点，那么四边形面积是多少？ 【解析】 连接、根据燕尾定理，所以，那么，类似分析可得又，可得那么，根据对称性，可知四边形面积也为，那么四边形周围图形面积之和为，所以四边形面积为【例 29】 右图，中，是中点，、是边上四等分点，与交于，与交于，面积比四
23、边形面积大平方厘米，那么面积是多少平方厘米？【解析】 连接、根据燕尾定理，所以；再根据燕尾定理，所以，所以，那么，所以根据题意，有，可得(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 三等分点,求阴影局部面积. 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用比例和燕尾定理吧！令BI与CD交点为M，AF与CD交点为N，BI与AF交点为P,BI与CE交点为Q,连接AM、BN、CP求：在中，根据燕尾定理，设(份)，那么(份),(份),(份),所以，所以,所以,同理可得另外两个顶点四边形面积也分别是面积求：在中，根据燕尾定理,所以,同理在中，
24、根据燕尾定理,所以，所以同理另外两个五边形面积是面积，所以【例 31】 如图，面积为l三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 三等分点,求中心六边形面积.【解析】 设深黑色六个三角形顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在中根据燕尾定理，,所以,同理,所以，同理根据容斥原理，和上题结果课后练习：练习1. 面积为平方厘米，求面积【解析】 ，设份，那么份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米练习2. 如图，四边形面积是平方米，求四边形面积 【解析】 连接由共角定理得，即同理，即所以连接，同理可以得到所以平方米练习3. 正方形面积是120平方厘米，是中点，是中点，四边形
25、面积是 平方厘米 【解析】 欲求四边形面积须求出和面积由题意可得到：，所以可得：将、延长交于点，可得：，而，得，而，所以 此题也可以用蝶形定理来做，连接，确定位置(也就是)，同样也能解出练习4. 如图，那么 【解析】 将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，所以是正方形三角形和三角形关于正方形中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：；所以练习5. 如图，正方形面积是平方厘米，是中点，是中点，四边形 面积是_平方厘米 【解析】 连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份，份，因此份，所以(平方厘米).练习6. 如图，中，点是边中点，点、是边三等分点，假设面积为1
26、，那么四边形面积是_ 【解析】 由于点是边中点，点、是边三等分点，如果能求出、三段比，那么所分成六小块面积都可以求出来，其中当然也包括四边形面积连接、根据燕尾定理，而，所以，那么，即那么，另解：得出后，可得，那么练习7. 如右图，三角形中，且三角形面积是，求角形 面积【解析】 连接BG，12份根据燕尾定理，得(份)，(份)，那么(份)，因此,同理连接AI、CH得,所以三角形ABC面积是,所以三角形GHI面积是月测备选【备选1】 按照图中样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影局部面积 【解析】 如右图，我们将三角形甲
27、与乙进展平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和所以阴影局部面积为：【备选2】 如下图，矩形面积为36平方厘米，四边形面积是3平方厘米，那么阴影局部面积是 平方厘米【解析】 因为三角形面积为矩形面积一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形面积，即9平方厘米，又四边形面积为3平方厘米，所以三角形与三角形面积之和是平方厘米又三角形与三角形面积之和是矩形面积一半，即18平方厘米，所以阴影局部面积为(平方厘米)【备选3】 如图，与相交于点,那么被分成局部面积各占 面积几分之几？【解析】 连接,设份，那么其他局部面积如下图，所以份，所以四局部按从小到大各占面积【备选4】 如图，在中，延长至，使，延长至，使，是中点，假设面积是，那么面积是多少？【解析】 在和中，与互补，又，所以同理可得，所以【备选5】 如图，,那么 【解析】 根据燕尾定理有,所以【备选6】 如图在中，,求值【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,得(份)，(份),那么(份)，因此,同理连接AI、CH得,所以