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1、.I.基本函数的导数01.C 0；02.xx1；03.sin x cos x；04.cos x sin x；05.tan x sec2x；06.cot x csc2x；07.sec x sec xtan x；08.csc x csc xcot x；09.ax axlna；10.ex ex；11.log x1axlna；12.ln x1x；13.arcsin x11 x2；14.arccos x 11 x2；Word 资料15.arctan x11 x2；16.arccot x 11 x2。II.和、差、积、商的导数01.u v uv；02.Cu Cu；03.uv uvuv；u 04.vuvuv
2、v2(v 0)。III 复合函数的导数若y fu,u x，则dydxdy dudu dx或yx f ux。.计算极限时常用的等价无穷小12limsin x:xlimtan x:xlim1cosx:xx0 x0 x02limex1:xlimln1 x:xlimn1 x 1:x0 x0 x0 两个重要极限:limx01xnsin x1 1lim1 exxxgxx 若lim fx A0,limgx B，则lim fx AB 罗尔定理罗尔定理：Fx 0若fx在a,b上连续，在a,b可导，且fa fb，则存在一a,b，使f 0。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若fx在a,b上连续，在a,b可导，则存在
3、一a,b，使得fb fa f ba。柯西中值定理柯西中值定理：若fx、Fx在a,b上连续，在a,b可导，且Fx 0则fb faf 存在一a,b，使得xx0，则。FbFaFfxlimFx 0(或)，罗必达法则罗必达法则：若（1）xlim（2）f x及Fxa(或)xa(或)在0 x x0（或x X）处存在，且Fx 0，（3）xlima(或)），则limf x存在（或F(x)xa(或)fxf xlim。F(x)xa(或)F(x)泰勒公式：泰勒公式：f x0f x0fnx02nfx fx0 x x0 x x0L x x0 Rnx1!2!n!其中：Rnxfx xn1,x0,x。0n1!n1Word 资料
4、.f 0f 02fn0nxx L x Rnx 马克劳林公式：马克劳林公式：fx f01!2!n!其中：Rnxxfn1n1!xn1,0,x。x2x3xnexn1e 1 xL x01 x 1 1.2!3!n!n1!x3x5x7x2m1m1L x 2 2.sin x xL 13!5!7!2m1!2nx2x4x6nxL x 3.3.cosx 1L 12!4!6!2n!123n1 x x x K x L1 x 14.4.1 x1n2n241 x x L 1 xL1 x 15.5.21 xn1x2x3x4nxL1 x16.6.ln1 x xL 1234n1 驻点驻点：导数为零的点 x1 x2fx1 fx2
5、f拐点拐点：，则称fx在a,b上是凸的，22 x x fx1 fx2f12，则称fx在a,b上是凹的，22若曲线在x0两旁改变凹凸性，则称x0,fx0为曲线的拐点。凹凸性判断凹凸性判断（充分条件）：设f x存在，若a x b时f x 0，则曲线是为凸的，若a x b时f x 0，则曲线是为凹的。设曲线程y fx，fx具有二阶导数，则函数y fx在x,y的曲率K为：K y1 y22/3（工程中，若y 1时，K y）。Word 资料.基本积分公式：基本积分公式：1x1kdx kxCx dx 1Cxdx ln x C111 x2dx arctan xC1 x2dx arcsin xCcosxdx s
6、in xCsin xdx cosxC；12dx seccos2xxdx tan xC12dx cscsin2xxdx cot xCsecxtan xdx secxCcscxcot x cscxCxaxxxaCe dx e Cdx lnashxdx chxCchxdx shxC*tandx ln cosx C*cot xdx ln sin x C*secxdx ln secx tan x C*cscxdx ln cscxcot x C11xa11xdx lnCdx arctanC*2*222x a2ax ax aaadxxdx22 arcsinC ln xx aC*2*222aa xx adx2
7、2 ln xx aC*22x a基本积分法1 1 换元法：换元法：（1）设fu具有原函数Fu，而u x可导，则有：xxdx fudu F xC；f（2）设x t在区间,上单调可导，且t 0，又设f xx具1有原函数Ft，则有：fxdx f tt dt F tC。Word 资料.2 2 分布积分法：分布积分法：udv uvvdu3.3.有理函数积分：有理函数积分：AxadxnMx Nx2 Pxqndx4.4.万能代换（三角函数的有理式的积分）万能代换（三角函数的有理式的积分）：设tan u，则dx 1u22u，cosx。sin x 1u21u2x22du，1u211 2 3 L n nn12n1
8、。62222 定积分中值定理：定积分中值定理：fxdx fba a b。ab 定理：定理：如果函数fx在区间a,b上连续，则积分上限的函数xftdt在a,b上具有导数，并且它的导数是axdxftdt fxa x bxadx 定积分换元公式：定积分换元公式：a,b，fxdx abf ttdt。20fsin xdx 2fcosxdx00 xfsin xdx fsin xdx20 定积分的分步积分：定积分的分步积分：baudv uvavduabb n1 n33 1gLg g ,n为正偶数nn24 2 2In2sinnxdx 0n1 n34 2gLg ,n为大于1的奇数 nn25 3Word 资料.弧
9、长计算公式：弧长计算公式：s ba1 y2dx;x t t，s 2t2tdt;y t x rcos22s rr d。y rsin，向量代数向量代数x1x2y1y2z1z2,y,z 定比分点公式：定比分点公式：x。111r rr rb a b cos，ag b axbxaybyazbz。数量积：数量积：agr raxbxaybyazbzag bcos。222a baxayaz2bx2bybz2r rab ax 向量积：向量积：bx 平面平面rirjaybyrkaz。bzr 平面的一般程：平面的一般程：Ax By Cz D 0（向量n A,B,C为平面法向量）。平面点法式程平面点法式程：Ax x0
10、 By y0Cz z0 0。xyz 平面的截距式程：平面的截距式程：1（a,b,c为平面在三个坐标轴上的截距）。abc 两个平面的夹角：两个平面的夹角：两个平面程为：1平面：A1x B1y C1z D 0，2平面：A2x B2y C2z D 0，则两平面的夹角的余弦为：Word 资料.cosA1A2 B1B2C1C2A B B212121A B B222222。两平面平行的条件：两平面平行的条件：A1B1C1D1。A2B2C2D2 两平面垂直的条件：两平面垂直的条件：A1A2 B1B2C1C2 0。点到平面的距离：点到平面的距离：平面：Ax ByCz D 0，平面外一点：Mx1,y1,z1，则
11、点 M 到平面的距离：d 空间直线空间直线11 两个平面的交线：两个平面的交线：1。A x B yC z D 0222Ax1 By1Cz1 DA B C222。Ax B yC z D 0u r 点向式程：点向式程：直线上的一点M0 x0,y0,z0，直线的一个向量S m,n,p，则x x0mtx x0y y0z z0直线程为：，参数程为：y y0ntmnpz z pt0 两直线的夹角：两直线的夹角：L1:x x01y y01z z01x x02y y02z z02，L2:，则m1n1p1m2n2p2两直线的夹角余弦为：cos两直线平行：两直线平行：m1m2n1n2 p1p2m n p21212
12、1m n p222222。m1n1p1，m2n2p2两直线垂直：两直线垂直：m1m2n1n2 p1p2 0，两直线共面（平行或相交）两直线共面（平行或相交）：x x01y y01z z01L:x2 x11mnp111两直线：，共面的条件：m1x xy yz z020202L:m22mnp222y2 y1n1n2z2 z1p1p2 0。直线与平面的夹角直线与平面的夹角Word 资料.平面：:Ax ByCz D 0，直线：L:若直线与平面相交，夹角：sinx x0y y0z z0mnpAm BnCpA B C222m n p222；若直线与平面平行：Am BnCp 0；若直线与平面垂直：多元函数微
13、积分多元函数微积分ABC。mnpfffcossin（为x轴到向l的转角）1.1.向导数：向导数：lxyfrfrfrij k2.2.梯度：梯度：grad fx,y,zxyz3.3.二元函数的极值：二元函数的极值：z fx,y，fxx0,y0 0，fyx0,y0 0。令fxxx0,y0 A，fxyx0,y0 B，fyyx0,y0C。当AC B2 0时具有极值，且当A 0时具有极大值，当A 0具有极小值；当AC B2 0时没有极值；当AC B2 0时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。3.3.二重积分的计算二重积分的计算fx,ydadx1xfx,ydy cdy1yfx,ydxDb2xd2yfx
14、,ydfrcos,rsinrdrdDDfrcos,rsinrdrdD2frcos,rsinrdrd121dfrcos,rsinrdr4.4.曲面的面积计算：曲面的面积计算：Word 资料.z z A 1 fx2x,y fy2x,yd1dxdyxyDD22M平面薄片的重心：平面薄片的重心：x Mxx,ydDDM,y Mx,ydyx,ydDx,y dD22I yx,y d,I x平面薄片的转动惯量：平面薄片的转动惯量：xyx,ydDD5.5.三重积分的计算：三重积分的计算：fx,y,zdv Dbadxy2xy1xdyz2x,yz1x,yfx,y,zdz曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分x t1.
15、1.对弧长的曲线积分：对弧长的曲线积分：t y t22fx,yds f t,tt tdt222fx,y,zds f t,t,tt t tdtL2.2.对坐标的曲线积分：对坐标的曲线积分：x t,y tLPx,ydxQx,ydy Pt,t22t,ttQ tdt3.3.对曲面的积分：对曲面的积分：22fx,y,zdS f x,y,z x,y1 zx,y zxyx,ydxdyDxy4.4.对坐标的曲面积分：对坐标的曲面积分：Word 资料.无穷级数无穷级数 收敛级数的基本性质：收敛级数的基本性质：1.1.如果级数如果级数un收敛于和收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数则它的各项同乘以一个常数k所得的
16、级数所得的级数kunn1n1也收敛，且其和为也收敛，且其和为ks。2.2.如果级数如果级数s、vn分别收敛于和分别收敛于和s、，则级数，则级数unvn也收敛，且其和也收敛，且其和n1n1为为s。3.3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。4.4.如果级数如果级数un收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数n1u L uu1n1n11L un2L un21L unkL仍收敛，且其和不变。仍收敛，且其和不变。5.5.（级数收敛的必要条件）如果级数（级数收敛的必要条件）如果级数un收敛
17、，则它的一般项趋于零，即收敛，则它的一般项趋于零，即n1limun 0。n 常数项级数的审敛法：常数项级数的审敛法：定理定理 1 1.正项级数正项级数un收敛的充分必要条件是：它的部分和数列收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界。有界。n1定理定理 2 2（比较审敛法）（比较审敛法）.设设un和和vn都是正项级数，且都是正项级数，且unvnn 1,2,L。若。若n1n1Word 资料.级数级数vn收敛，则级数收敛，则级数un收敛；反之，若级数收敛；反之，若级数un发散，则级数发散，则级数vn发发n1n1n1n1散。散。推论推论 1 1.设设un和和vn都是正项级数，如果级数都是正项级数，
18、如果级数vn收敛，且存在自然数收敛，且存在自然数N，n1n1n1使当使当n N时有时有un kvnk 0成立，则级数成立，则级数un收敛；如果级数收敛；如果级数un发散，发散，n1n1且当且当n N时有时有un kvnk 0成立，则级数成立，则级数vn发散。发散。n11推论推论 2 2.设设un为正项级数，如果有为正项级数，如果有p 1，使，使unpn 1,2,L，则级数，则级数unnn1n11收敛；如果收敛；如果unn 1,2,L，则级数，则级数un发散。发散。nn1定理定理 3 3（比较审敛法的极限形式）（比较审敛法的极限形式）.设设un和和vn都是正项级数，如果都是正项级数，如果n1n1
19、unlim l0 l ，则级数，则级数un和级数和级数vn同时收敛或同时发散。同时收敛或同时发散。nvn1n1n定理定理 4 4（比值审敛法，达朗贝尔（比值审敛法，达朗贝尔（D Alembert）判别法）判别法）.若正项级数若正项级数un的的n1lim后项于前项之比值的极限等于后项于前项之比值的极限等于：nlimun1，则当则当1时级数收敛；时级数收敛；（或（或1unun1）时级数发散；）时级数发散；1时级数可能收敛也可能发散。时级数可能收敛也可能发散。nun定理定理 5 5（根值审敛法，柯西判别法）（根值审敛法，柯西判别法）.设设un为正项级数，如果它的一般项为正项级数，如果它的一般项n1u
20、n的的n次根的极限等于次根的极限等于：limnun，则当，则当1时级数收敛；时级数收敛；1（或（或nlimnun）时级数发散；）时级数发散；1时级数可能收敛也可能发散。时级数可能收敛也可能发散。n定理定理 6 6（莱布尼茨定理）（莱布尼茨定理）.如果交错级数如果交错级数1un满足条件：满足条件：（1 1）n1n1Word 资料.（2 2）limun 0，则级数收敛，且其和，则级数收敛，且其和s u1，其余项，其余项rn的的unun1n 1,2,3L，n绝对值绝对值rnun1。定理定理 7 7.如果级数如果级数un绝对收敛，则级数绝对收敛，则级数un必定收敛。必定收敛。n1n1幂级数幂级数定理定
21、理 1 1（阿贝尔（阿贝尔（Abel）定理）定理）.如果级数如果级数axn当当x x0 x0 0时收敛，则适时收敛，则适n1合不等式合不等式x x0的一切的一切x使这幂级数绝对收敛；使这幂级数绝对收敛；反之，反之，如果级数如果级数axn当当x x0n1时发散，则适合不等式时发散，则适合不等式x x0的一切的一切x使这幂级数发散。使这幂级数发散。推论推论：如果幂级数：如果幂级数axn不是仅在不是仅在x 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收一点收敛，也不是在整个数轴上都收n1敛，则必有一个完全确定的正数敛，则必有一个完全确定的正数R存在，使得：当存在，使得：当x R时，幂级数绝对收时，幂级数绝对收敛
22、；当敛；当x R时，幂级数发散；当时，幂级数发散；当x R与与x R时，幂级数可能收敛也可能时，幂级数可能收敛也可能发散。发散。an1，其中，其中an1、an是幂级数是幂级数axn的相邻两项的系数，则的相邻两项的系数，则定理定理 2 2.如果如果limnan1n 1 0这幂级数的收敛半径这幂级数的收敛半径R 00 性质性质 1 1.设幂级数设幂级数axn的收敛半径的收敛半径RR 0，则其和函数，则其和函数sx在区间在区间R,Rn1连续。连续。如果幂级数在如果幂级数在x R（或（或x R）也收敛，也收敛，则和函数则和函数sx在在R,R（或（或R,R）连续。）连续。性质性质 2 2.设幂级数设幂级
23、数axn的收敛半径的收敛半径RR 0，则其和函数则其和函数sx在区间在区间R,R是是n1Word 资料.nn可导的，可导的，且有逐项求导公式且有逐项求导公式sxanxanxnanxn1，其中其中x R，n1n1n1逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。性质性质 3 3.设幂级数设幂级数axn的收敛半径的收敛半径RR 0，则其和函数则其和函数sx在区间在区间R,R是是n1可积的，且有逐项积分公式可积的，且有逐项积分公式0sxdx 0 xxxann1nna xdx a x dx x,n0nn1n1n1n1其中其中x R，逐项积分后得到的幂级
24、数和原级数有相同的收敛半径。，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。欧拉公式：欧拉公式：傅立叶级数傅立叶级数eix cosxisin xcosnxdx 0n=1,2,3,Lsinnxdx 0n=1,2,3,Lsinkxcosnxdx 0n=1,2,3,Lsinkxsinnxdx 0n=1,2,3,L,k ncoskxcosnxdx 0n=1,2,3,L,k n 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数（fx是期为是期为2的期函数）的期函数）a0fxakcoskxbksinkx2k1Word 资料.1a0fxdx1anfxcosnxdxn=0,1,2,L其中：其中：1bnfxsinnx
25、dxn=1,2,3,L定理（收敛定理，狄利克雷（定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）充分条件）：设：设fx是期为是期为2的期的期函数，如果它满足：函数，如果它满足：（1 1）在一个期连续或只有有限个第一类间断点，）在一个期连续或只有有限个第一类间断点，（2 2）在一个期至多只有有限个极值点，）在一个期至多只有有限个极值点，则则fx的傅里叶级数收敛，并且：的傅里叶级数收敛，并且：当当x是是fx的连续点时，级数收敛于的连续点时，级数收敛于fx；1fx0 fx0当当x是是fx的间断点时，级数收敛于的间断点时，级数收敛于。2定理定理.设设fx是期为是期为2的函数，在一个期上可积，则
26、的函数，在一个期上可积，则（1 1）当）当fx为奇函数时，它的傅里叶系数为：为奇函数时，它的傅里叶系数为：an 0n=0,1,2,3,L2b f x sinnxdxn=1,2,3,L n0（2 2）当）当fx为偶函数时，它的傅里叶系数为：为偶函数时，它的傅里叶系数为：2an0fxcosnxdxn=0,1,2,3,Lbn 0n=1,2,3,L期为期为2l的期函数的傅里叶级数的期函数的傅里叶级数定理定理：设期为设期为2l的期函数的期函数fx满足收敛定理的条件，满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展则它的傅里叶级数展Word 资料.a0开式为：开式为：fxakcoskxbksinkx2k11lnxanfxcosdxn=0,1,2,Llll其中系数其中系数an,bn为：为：l1nxb fxsindxn=1,2,3,Lnlllnx fx b sin当当fx为奇函数时，为奇函数时，nln12lnxb f x sindxn=1,2,3,L 其中系数其中系数bn为：为：n0lla0nx fx a cos当当fx为偶函数时，为偶函数时，n2n1l2lnxa f x cosdxn=0,1,2,L 其中系数其中系数an为：为：n0ll 微分程：微分程：dy y 齐次程齐次程：dxxu ydydu y ux u xxdxdxdydududx y uu xudxdxuuxxWord 资料.Word 资料