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1、解读小学数学核心概念解读小学数学核心概念首先，核心概念是课程目标的支点，起着沟通课程目标与具体数学内容之间联系的作用。我们知道，课程标准设计了知识技能 数学思考问题解决情感态度四个方面的培养目标，同时选择编排了大量的数学知识。如数的知识、运算的知识、图形的知识、测量的知识、统计和概率的知识、解决问题的知识等。在中小学数学课程这个结构里，核心概念介于课程目标与众多具体数学内容之间，是课程目标的落脚点。课程目标通过有关的核心概念得到比较清楚的描述，也通过相关核心概念的教学和形成得以实现。如，课程标准关于 数学思考方面的培养目标是如下表述的，这样的叙述指出了数学思考的培养应该往什么方向去落实，也使数
2、学思考的培养目标具有可行性和可操作性。-建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。-体会统计方法的意义，发展数据分析意识，感受随机现象。-在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力，清晰地表达自己的想法。-学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。其次，核心概念起着统领众多具体数学内容，导向其教育价值的作用。课程标准提出的核心概念，有些和数与代数领域的内容联系密切，有些和图形与几何领域的内容联系密切，有些和统计与概率领域的联系密切，有些和综合与实践领域的内容联系密切。围绕每一个核心概念都有许多具体的数学内容，通过这
3、些数学内容的教学才能在学生头脑里形成核心概念。使学生形成必要的核心概念是数学教学的重要任务，也是有效的数学教学的归宿。核心概念起着统领具体数学内容及其教学的作用，使众多数学知识之间不是隔裂的，每个数学知识不是孤立的，而是相互联系、相互作用、相互影响的。课程标准提出核心概念，一方面指出了某个核心概念需要哪些数学知识，另方面指出了这些数学知识的教学应该形成核心概念，成为学生的意识与能力。如 数感主要和数与代数领域里的数的认识 数的运算以及数量关系有着联系，课程标准指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。学生的数感是他们认数学习和计算学习中的智慧结晶，是他们经常接触并领悟
4、常见数量关系的经验升化。数感的形成使数的知识、运算的知识、数量关系的知识转化成个体的数学素养。小学生的数感主要表现在：能够用数刻画客观对象的量的多少或大小，能够估计客观对象有多大、有多少；能够估计运算的结果大约是多少，能够评价笔算或计算器计算结果的合理性；能够用常见数量关系描述实际问题里的数学内容，能够体会到常见数量关系里的简单函数关系。数感就这样把与认数和计算有关的教学内容有机组织起来了，教学数及其运算的知识应该归结到培养和形成数感的上面。再如，课程标准指出 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。小学数学里有数字
5、符号 09，运算符号、，关系符号、，字母符号 h 表示形体的高、s 表示图形的面积（有时表示路程）、v 表示立体的体积（有时表示速度），这些都是人们约定俗成、共同使用的符号。人们学习数学、应用数学时，还可以使用个体的符号。如用一横、一竖或者一个表示一个物体，用字母A、B、C 分别表示某些对象等。符号具有简单明了、使用方便等优点，学习数学离不开它。小学数学初步培养学生的符号意识，让他们知道并使用人类已经共同使用的一些符号，用符号表示运算律、求积公式、常见数量关系；鼓励学生用自己设定的符号进行记录，开展统计活动，不仅方便交流与表达，还体会到符号的价值。符号意识就这样把用字母表示数（数量关系或运算规
6、律）、对含有字母式子的运算、方程以及解决实际问题等数学内容组织起来，有效解决众多知识相互割裂、过于分散的现象，并且给于它们明确的教学方向。又如，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间形式是数学的研究对象，客观世界存在着各种各样、大大小小的物体，物体在运动变化，物体之间有着相互联系。这些内容反映在人的头脑里，形成的有关概念、模型，产生的想象、引发的形象思维，就是个体的空间观念。小学数学教学许多基本的形体知识，学生应该形成初步的空间观念。小学生的空间观念一般表现为：头
7、脑里有常见平面图形和立体图形的数学模型，知道这些形体的名称、形状、结构特点，看到某个物体能够想到其数学模型和数学名称，想到某个模型或者听到某个名称，能够在身边找到相应的物体；从正面、侧面和上面观察某个简单的物体，能够用分别看到的图形表示这个物体的形状与结构；能够想象出简单几何体的表面展开图，能够根据表面展开图想象出几何体；能够把稍复杂的组合形体分解成若干简单形体；能够数学地描述物体的运动方式以及所在位置。可见，核心概念不是指某一个或某几个具体的数学知识，而是许多相关数学知识的概括提升；核心概念不是另外教学的数学内容，而是蕴涵在相关数学知识的教学之中的上位概念。正如课程标准修订组核心成员、东北师
8、范大学教授马云鹏所说的：核心概念体现数学内容的本质。核心概念本质上体现了数学的基本思想，反映了数学内容的本质特征以及数学思维方式。数学内容的四个方面都以 10 个核心概念中的一个或几个为统领，学生对这些核心概念的体验与把握，是对这些内容的真正理解和掌握的标志。课程标准（实验稿）提出六个核心概念，分别是数感符号感空间观念 统计观念 应用意识 推理能力。课程标准（2011）提出十个核心概念，分别是数感 符号意识 运算能力 空间观念 几何直观 数据分析观念 模型思想 推理能力 应用意识创新意识。把课程标准修改前后的核心概念比一比，可以看到：新增加了四个运算能力 几何直观 模型思想 创新意识；较大改动
9、了三个数据分析意识 推理能力 应用意识；另外三个数感 符号意识 空间观念的修改不大。下面我们看一看新增加的和较大改动的七个核心概念。1.运算能力。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。重视运算能力是我国小学数学教学的优秀传统，我国学生的运算能力受到世界瞩目。有关运算的知识主要是四则计算的意义、法则，四则混合运算顺序，运算律和运算性质等。有关运算教学的要求是学生获得重要的计算知识，能够正确、熟练、合理、灵活地应用运算知识，解决相应的问题，包括计算题和实际问题。进入新课程，数学教学的内容发生了很大变化。增加了
10、许多十分有意义的数学知识，如图形的运动、图形的位置、数据统计活动、事件发生的可能性、探索规律和实践活动等。有关计算的教学内容也有很大变动，一是精简了大数目的计算，整数加、减法一般不超过三位数的加或减，整数乘、除法只到三位数乘或除以两位数；二是重视口算、加强估算；三是使用计算器进行较繁琐的计算。而且，用于计算教学的时间比过去少了。所以，培养学生的运算能力是数学教学面临的一个课题。学生的运算能力一般表现为：能够选择恰当的计算形式解决问题，做到可以口算就口算，需要笔算就笔数，不要精确得数就估算，遇到大数目的计算就使用计算器；追求计算结果正确，有及时检验得数的习惯，能够采用合适的方法进行验算并随时纠正
11、计算错误；有简便运算的意识，能够根据具体情况，合理而灵活地利用运算律或运算性质，提高计算效率。课程标准重新提出运算能力，是对数学教学的要求。计算毕竟是数学内容的一部分，是常用的数学活动之一，是学习和应用其它数学知识不可缺少的工具。既不能因为增加了许多其它数学内容而忽视计算教学，也不能以传统的计算教学来要求和衡量新课程的计算教学。学生的计算应该达到适当的速度要求。课程标准提出：20 以内加减法和表内乘除法口算，810 题分；百以内加减法和一位数乘除两位数口算，34 题分；两位数和三位数加减法笔算，23 题分；一位数乘除两位数和三位数笔算，两位数乘两位数笔算，12 题分。这些速度要求，是大多数学生
12、经过适量练习就能够达到的，不会耗费过量的教学资源，而影响其它数学内容的教学。这些速度要求，能够基本满足继续学习数学和解决实际问题的需要。这些速度水平，一但形成，能够维持，不会有过大的衰退。2.几何直观。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。几何直观可以看成数形结合的手段与方法。数形结合是一种数学思想方法，指利用代数里的模型来抽象地表示几何图形的本质内容，利用几何图形来形象直观地表示代数里的关系。数学是抽象的，儿童喜欢具体形象的思维，几何
13、直观经常能够解决抽象与形象之间的矛盾。数学教学往往会利用简单的图形来表示比较抽象的数学问题或数量关系，如用线段图表示相差关系和倍数关系，用线段图表示相遇问题的已知、未知和数量关系，用简单图形表示田地面积的变化等，这些都十分有助于学生理解题意、找到问题的解法。几何直观是人们理解复杂的数学问题，探索其解法的手段，是人们解决问题时经常采用的策略。课程标准提出几何直观，不仅教师要充分利用这个手段教学数学知识，还应该培养学生自己运用几何直观的习惯和能力。要联系实例让学生体会什么是几何直观，感受几何直观对解决问题的积极作用；要指导学生画图，初步学会几何直观；要鼓励学生经常运用几何直观，逐步成为个体的解决问
14、题策略之一。3.模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。模型是一种表达形式。数学模型表达的是客观现象里的数学内容，是对数学内容的高度抽象与概括，最本质且最简练的表达。所以，人们还把数学定义为模式的科学。数学关系式或者数学图像都是数学模型，如小学数学里的正比例关系就是用关系式 k（一定）表示的；或者在直角坐标系里，用从原点（0 点）出发向右
15、上方的射线表示。这些就是数学模型。弗赖登塔尔指出：学习数学就是学习数学化。所谓数学化，是指从数学的角度看现象、用数学思维想问题，用数学方法解决和解释问题，建立数学模型就是数学化。建立和求解模型的过程大致由三部分构成：一是从具体对象里抽象出数学问题；二是用数学形式表示变化规律或各种关系；三是求出结果、解释其意义。可见，建模过程是数学化过程，模型思想有助于学习数学，有利于发展数学思维，数学教学应该重视模型思想的培养。小学数学里称得上数学模型的不是很多，但含有模型思想的数学内容却不少。如从每小时行驶的千米数行驶的小时数一共行驶的千米数 每分钟走的米数走的分钟数一共走的米数等具体的数量关系式，概括出速
16、度时间路程，再用字母公式svt表示，这个过程里就有模型思想。又如从大量事实概括出交换两个加数的位置，和不变，并用字母式子abba表示这条运算律，也是富有模型思想的过程。再如方程就是数学模型，列方程解决实际问题就是建立模型、应用模型的活动。小学数学培养模型思想，不一定要学生写出十分规范的关系式或画出十分规范的图像。让他们用自己的语言或喜欢的其它方式表示发现的数学规律、认识的数学现象，都能促进模型思想的发展。4创新意识。创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新
17、的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。历史告诉我们，创新精神对于振兴中华民族是十分重要的。民族的创新精神，源于其每一个成员的创新意识和创新能力。创新在不同范畴有不同内容。创新的狭义含义是指创造出人类从未有的、完全崭新的成果，包括新的理论、新的作品、新的工艺、新的方法等，这些创新是对全人类的贡献。创新的广义含义是指某个群体或某个人创造出对自己而言的的新认识、新发现。如果说，对于全人类的创新经常是科学家、发明家和少数优秀人才的成就，那么属于个体的创新则是每一个人的可作可为。而科学家、发明家的创新能力，也是在个体的、初步的创新意识基础上发展出来的。所以，培养学生的创新
18、意识，既直接关系到每一个学生的精神面貌，也间接关系着若干年以后的人类新创造。在现有的数学教学中培养创新意识，要改变教与学的方式。使一些数学内容的教学，由教师传授变为学生探索。鼓励学生猜想、验证；实验、发现；质疑、探索；合作、交流。经常在教师的引导和组织下发现新知识、建构新认识，他们的创新意识就得到了应有的培养。5.数据分析观念。数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有
19、足够的数据就可能从中发现规律。进入新课程以来，小学数学的统计教学发生了很大的变化。从过去以制作统计图表为主要教学内容，变成以统计活动为主要教学内容。提出数据分析观念要促进统计教学的进一步改革。首先，统计是人们认识现象、解决问题的一种重要方法。如，要了解一个单位的员工年龄结构和文化程度结构，就可以就这两个内容进行统计；要了解物价的情况以及对人们生活的影响，需要进行有关的统计；要了解儿童的体质状况和生活方式的变化，也可以通过统计其次，统计总是围绕数据而进行的，统计的主要活动是关于数据的活动，统计过程一般是收集和整理数据、分析和利用数据的过程。统计结果一方面有其客观性，另方面有其局限性。所谓统计结果
20、的客观性，是指数据都是真实的，一般是经过调查得到的；统计结论是根据实实在在的数据得出的。人们常说没有调查就没有发言权 用数据说明问题，都是肯定了数据的客观性。所谓统计结果的局限性，是因为分析数据要在现实的背景下进行，同一组数据，在不同的背景下会表达出不同的意思，引起人们不同的思考。如某所学校对教师的课堂教学水平进行了调查，随堂听课的优课率 15、良好课 50、合格课 25、较差课 10。这组数据如果与该校过去的课堂教学水平比，可能看到有了明显进步；如果与所在地区各学校的整体课堂教学水平比，可以看到该学校处于什么位置上；如果与其他高水平学校比，可以看出还存在的差距。这是同一组数据在不同背景下，反
21、映出不同的信息。离开了现实背景的数据并不能说明什么问题。另外，数据还是随机的，需要有足够的数据才能比较客观地反映出事实或规律。如评价一位教师的课堂教学水平，如果只考察他的一堂课，往往会有片面性。如果考察几堂甚至几十堂课，得出的评价就会客观一些；如果对这位教师教学各类知识的课堂分别进行充分的考察，得出的评价就更加可信。统计教学的目的在于培养学生的数据分析意识与能力，具体些说，一要学生关注数据、重视数据，体会到数据不是枯燥的数字，而是蕴含着丰富的信息内容；二要学生收集信息，通过整理获得有用的数据，并用适当的统计图表呈现数据，直观反映出数据特征；三要学生对数据进行深入的分析，用数据解释事实、判断是非
22、、预测未来。6.推理能力。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。从已有的判断得出新判断的思维形式叫做推理，推理是常用的思维形式，人们经常通过推理，实现由此及彼的思考跨越。数学教育历来很重视演绎推
23、理，因为它十分严密。演绎推理是从一般到特殊的推理，它根据已有的事实，按照逻辑的规则，得出新的结论。例如，前面提到的六年级（上册）教科书里的分数乘整数3的算法就是通过演绎推理得出的。从个别例题得出分数乘整数的计算法则以后，再进行其它的分数乘整数，只要按照法则进行。这时，按已有法则进行同类计算，可以看作演绎推理。再如，认识运算律以后的简便运算，其思考是按照因为所以进行的，也是演绎推理。数学教育应该培养学生的演绎推理能力，也确实有着许多培养机会。推理不只是演绎推理，合情推理也很常见，主要有归纳推理、类比推理。归纳推理是从特殊到一般的推理，它根据部分实际例子，形成具有普遍意义的概念或规则。例如，对小学
24、生来说，分数除以分数的计算法则很难通过演绎推理得出，教科书采用合情推理，鼓励学生猜想并验证，给予学生很大的自主探索空间，避免了 直接灌输 式的机械学习。再如通过对若干个长方形的研究，得出所有长方形都具有对边相等、四个直角的特点。通过 12 道两位数乘两位数的算法探索，得出计算法则。这些都是不完全归纳在小学数学教学中的的具体应用。归纳推理有完全归纳和不完全归纳，小学数学里一般都是不完全归纳。类比推理是特殊到特殊的推理，它根据个案之间已经存在的一些关系，联想还会有其它的共同点或相似点。如已经知道比与除法有联系，除法与分数有联系，于是认为比和分数也会有联系，认为比也可以写成分数的形式；已经知道除法有
25、商不变性质，分数有基本性质，于是认为比也有类似的性质。这些认为都是类比推理的结果。数学教育只重视演绎推理是不够的，合情推理也十分重要。合情推理比较开放、比较活泼，往往含有猜想、估计、预测的成分，人类的许多发明、发现都起源于合情推理。合情推理得出的估计、猜想，经过演绎推理的验证，如果是正确的，就是人们的创新。如果不正确，还可以修正或者放弃。所以说，演绎推理与合情推理的功能不同，却相辅相成，缺一不可。既然数学教育曾经忽略了合情推理，那么应该注意加强。新课程重视合情推理，并不意味轻视演绎推理，而是在继续重视演绎推理的同时，也关注学生的合情推理能力。心理学认为，演绎推理是必然性推理，只要推理的前提和线
26、索正确，结果就一定正确。合情推理是或然性推理，即使前提正确，结论未必一定正确，其正确性需要证明。小学数学里的不完全归纳推理和类比推理，虽然难以进行严格的证明，还是应该让学生充分经历两个过程：一是广泛地列举具体事例，即学生人人举例，各人具的例子不同，从众多的实例中归纳出来的结论，可靠性和说服力会强些。二是积极寻找反例，只要能够找到一件反例，就否定了原来的结论。如果实在找不到反例，才能看成正确的结论（严格地讲，还只是猜想）。7.应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问
27、题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体人们学习数学的目的，不只是获得数学知识和技能，更是要应用数学知识、技能、思想、方法去解决日常生活、生产劳动、科学研究里的实际问题，即形成个体的数学能力。具有数学知识是形成数学能力的必要前提。但是，知识的多与少和解决问题能力的高与低不成正比，未必知识越多，能力越强。影响数学能力的因素相当多，除了数学知识与技能，应用意识也十分重要。所谓应用意识，更多体现在个体主动地利用自己已经掌握的数学去解决实际问题，并有取得成功的愿望与信心。如果在日常生活中，眼睛看不到数学，
28、心里想不到数学，都是缺少应用意识的表现。学生学习数学，要完成许多数学练习题。可以这样认为，他们解答每一道数学题，都在应用数学知识解决问题。尤其是解答应用题，具有解决实际问题的意味。遗憾的是，几乎全体数学教师和学生，都把数学练习看成巩固知识、培养技能的数学训练。只关注学生解题的结果是否正确，做作业的态度是否认真，他们的解题思考是否顺畅，解题方法是否熟练。并没有把培养应用意识放上应有的位置。对于数学练习能否培养学生的应用意识，曾经有过争论。确实，由于数学练习的某些特殊性（练习环境、练习心态、练习题的素材与呈现、练习结果的处理等），在培养学生应用意识方面有很大的不足。但是，数学练习是必须进行的，如果
29、改变数学练习题的素材、结构与呈现方式，改变数学练习环境与心理状态，改变练习的评价视角与方法，应该在培养学生的应用意识方面有所作为。课程标准把应用意识作为核心概念，指出应用意识的两方面含义。要求数学教学从学生有知识 会解题变成学生善于用数学解决实际问题 善于从现实生活中获取数学认识。为此，数学教学应该很好地联系学生实际和社会现实，组织起有意义的教学素材和有价值的教学活动，特别是形成数学知识与应用数学知识的过程。让学生充分体会到现实既是数学的源泉，也是数学的归宿，从根本上提高数学教学和数学学习的目的性。虽然数学教学的主渠道是课堂教学，但是必要的走出教室，走进学生现实的生活、走进学生身边的社会，从中学习数学、体验数学，是不能少的补充。课程标准设计的综合与实践是培养应用意识的教学内容。，