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1、一元二次方程根与系数的关系习题一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师主编：闫老师准备知识回顾:1、一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的求根公式为 b b2 4ac2x(b 4ac 0)。2a2、一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式为:b2 4ac（1）当 0时,方程有两个不相等的实数根。（2）当 0时，方程有两个相等的实数根.（3）当 0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则；方程有两个相等的实数根，则；方程没有实数根，则。韦达定理相关知识1 若 一 元 二 次 方 程ax2 bx c 0(a 0)有 两 个 实 数 根x1和x2，那 么x1 x2，
2、x1 x2。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理韦达定理。2、如果一元二次方程x2 px q 0的两个根是x1和x2，则x1 x2，x1 x2。3、以x1和x2为根的一元二次方程（二次项系数为1)是x2(x1 x2)x x1 x2 04、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，有一根为 0,则c；有一根为 1，则a b c;有一根为1,则a b c;若两根互为倒数,则c；若两根互为相反数，则b。5、二次三项式的因式分解(公式法）在 分 解 二 次 三 项 式ax2bxc的 因 式 时,如 果 可 用 公 式 求 出 方 程ax2 bx c 0(a 0)的两个根x
3、1和x2，那么ax2bxc a(x x1)(x x2)如果方程ax2 bx c 0(a 0)无根,则此二次三项式ax2bxc不能分解。基础运用例 1：已知方程3x2(k 1)x 2 0的一个根是 1，则另一个根是，k。解：变式训练:1、已知x 1是方程3x22xk 0的一个根，则另一根和k的值分别是多少？2、方程x2kx6 0的两个根都是整数，则k的值是多少？例 2:设x1和x2是方程2x24x3 0，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）x1 x2(2)(x11)(x21)(3）2211（4）(x1 x2)2x1x2变式训练:1、已知关于x的方程3x210 xk 0有实数根，求满足
4、下列条件的k值:（1)有两个实数根。(2)有两个正实数根.（3）有一个正数根和一个负数根。(4）两个根都小于 2.2、已知关于x的方程x22axa 0。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。(2）a取何值时,方程有两个正根。（3）a取何值时，方程有两异号根,且负根绝对值较大。（4）a取何值时,方程到少有一根为零？选用例题：例 3：已知方程ax2 bx c 0(a 0)的两根之比为 1：2，判别式的值为 1，则a与b是多少？例 4、已知关于x的方程x22(m2)xm25 0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大 16，求m的值。例 5、若方程x24xm 0与x2 x2m 0有一个根相
5、同，求m的值。基础训练:1关于x的方程ax22x1 0中，如果a 0，那么根的情况是(）(A）有两个相等的实数根 (B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 (D）不能确定2设x1,x2是方程2x26x3 0的两根，则x1 x2的值是（）（A)15（B)12（C)6（D）33下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A）2y2+5=6y（B）x2+5=2 5 x(C）错误错误!x2错误错误!x+2=0（D）3x22错误错误!x+1=04以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（)（A）y2+5y6=0 (B)y2+5y6=0（C）y25y6=0（D）y25y6=05如果 x1
6、，x2是两个不相等实数，且满足 x122x11,x222x21,那么 x1x2等于(）（A）2（B）2 (C）1 (D）16.关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（)(A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D)不能确定7。设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，则 x12x22的值是（）（A）15（B）12（C)6（D）38如果一元二次方程 x24xk20 有两个相等的实数根，那么 k9如果关于 x 的方程 2x2（4k+1)x2 k210 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是10 已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两
7、根,则 x1x2，x1 x2，(x1x2)211 若关于x的方程（m22)x2（m2）x10的两个根互为倒数，则m。22二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1)x2x=5 (2)9x26 2+2=0 (3)x2x+2=02、当 m=时,方程 x2+mx+4=0 有两个相等的实数根;当 m=时，方程 mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、已知关于 x 的方程 10 x2（m+3）x+m7=0,若有一个根为 0,则 m=，这时方程的另一个根是 ;若两根之和为错误错误!，则 m=，这时方程的 两个根为 .4、已知 3错误错误!是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根
8、及 m 的值。5、求证：方程(m2+1）x22mx+（m2+4）=0 没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1错误错误!和 1+错误错误!.7、设 x1，x2是方程 2x+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）(x1+1)(x2+1）(2)错误错误!+错误错误!（3)x12+x1x2+2 x128、如果 x22(m+1）x+m2+5 是一个完全平方式,则 m=;9、方程 2x（mx4）=x26 没有实数根，则最小的整数 m=；10、已知方程 2（x1）（x3m）=x（m4)两根的和与两根的积相等，则 m=；11、设关于x 的方程 x26x+k=0 的两根是
9、m 和 n,且 3m+2n=20,则 k 值为；12、设方程 4x27x+3=0 的两根为 x1,x2,不解方程，求下列各式的值：1（1)x12+x22（2)x1x2（3）x1x2（4）x1x22 x1213、实数、分别满足方程 1929910 和且 199920 求代数式错误错误!的值.14、已知 a 是实数,且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程 x2+2ax+1错误错误!(a x a 1)=0 有无实根？15、求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子(x1）(x2)k2都可以分解成两个一次因式的积。16、实数 K 在什么范围取值时，方程kx2 2(k 1)x(k
10、1)0有实数正根？训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；222(1）2t+3t4=0,；(2）16x+9=24x,；(3）5(u2+1)7u=0，;2、若方程 x2（2m1)x+m2+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ;3、一元二次方程 x2+px+q=0 两个根分别是 2+3 和 2错误错误!,则 p=，q=;4、已知方程 3x219x+m=0 的一个根是 1,那么它的另一个根是，m=；5、若方程 x2+mx1=0 的两个实数根互为相反数，那么 m 的值是 ;6、m，n 是关于 x 的方程 x2(2m-1）x+m2+1=0 的两个实数根，则代数式mn=。7、已知关于 x 的方
11、程 x2(k+1）x+k+2=0 的两根的平方和等于 6，求 k 的值;8、如果和是方程 2x2+3x1=0 的两个根,利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于+错误错误!和+错误错误!；9、已知 a，b,c 是三角形的三边长，且方程（a2+b2+c2）x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10。取什么实数时，二次三项式 2x2（4k+1)x+2k21 可因式分解。11。已知关于 X 的一元二次方程222（3)10 的两实数根为，若错误错误!错误错误!，求的取值范围。22训练（二）1、已知方程 x23x+1=0 的两个根为,，则+=
12、,=;2、如果关于 x 的方程 x24x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同，则 m 的值为；3、已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2错误错误!,则 k=；4、若方程 x2+（a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a=;5、方程 4x22（a-b）xab=0 的根的判别式的值是；6、若关于 x 的方程 x2+2（m1）x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为；7、已知 p0，q0，则一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情况是 ;8、以方程 x23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是；9、设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根
13、,求下列各式的值：(1）x12x2+x1x22 (2）错误错误!错误错误!10m 取什么值时,方程 2x2(4m+1）x+2m21=0（1）有两个不相等的实数根，(2）有两个相等的实数根，（3)没有实数根；11设方程 x2+px+q=0 两根之比为 1：2，根的判别式=1，求 p,q 的值。12是否存在实数k，使关于x的方程9x2(4k 7)x6k2 0的两个实根x1,x2，满足x13，如果存在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在，请说明理x22由。一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根是 x1、x2,那么 x1+x2=，x1x2=.2
14、、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的两个根，那么：x1+x2=；x1x2=；11；x1x2x21+x22=；（x1+1）(x2+1）=；x1x2=。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 .4、如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是12,那么另一个根是 ,a的值为。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。6、已知方程2x2+mx4=0两根的绝对值相等,则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0（p0)的两根为0和1，则qp=。8、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a21)x2(a+1）x+1=
15、0两根互为倒数，则a=。10、已知关于x的一元二次方程mx24x6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=2，则m=，(x1+x2）x1x2=。1311、已知方程3x2+x1=0，要使方程两根的平方和为,那么常数项应改9为。12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6，则这个方程为。13、若、为实数且|+3+(2)2=0，则以、为根的一元二次方程为。（其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程x22（m1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数,则m=;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m=。15、已知方程x2+4x2m=0的一个根比另一个根小4，则=；=；m=。16、已知关于x的方
16、程x23x+k=0的两根立方和为0，则k=113，则17、已知关于x的方程x23mx+2(m1)=0的两根为x1、x2,且x1x24m=。18、关于x的方程2x23x+m=0,当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时,方程有一个根为0。19、若方程x24x+m=0与x2x2m=0有一个根相同，则m=。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x2=0两根的二倍，则所求的方程为。21、一元二次方程2x23x+1=0的两根与x23x+2=0的两根之间的关系是。22、已知方程5x2+mx10=0的一根是5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+3是x24x+k=0的一根
17、，求另一根和k的值。24、证明:如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)，那么另一个根必是AB.25、不解方程，判断下列方程根的符号,如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?(1)x23x 5 0,(2)x2 2 6 3 026、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系，求下列各式的值:1122x1x228、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值:（x21x22）229、已
18、知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1x230、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系,求下列各式的值：x22x131、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x51x22+x21x5232、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和26。33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。34、造一个方程，使它的根是方程3x27x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍;（3)相反数；（4)倒数.35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1）一个根比另一
19、个根大2；（2)一个根是另一个根的3倍；（3）两根差的平方是17.36、已知关于x的方程2x2(m1)x+m+1=0的两根满足关系式x1x2=1，求m的值及两个根。37、是关于x的方程4x24mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足(1)(1)19，求m的值。10038、已知一元二次方程8x2（2m+1)x+m7=0，根据下列条件,分别求出m的值：(1）两根互为倒数;（2)两根互为相反数；(3）有一根为零；（4）有一根为1;（5)两根的平方和为1。6439、已知方程x2+mx+4=0和x2（m2)x16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根.40、已知关于x的二次方程x22(a2)x+a2
20、5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。42、设：3a26a11=0，3b26b11=0且ab，求a4b4的值。43、试确定使x2+(ab）x+a=0的根同时为整数的整数a的值。44、已知一元二次方程（2k3)x2+4kx+2k5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根.45、已知：、是关于 x的方程x2+(m2)x+1=0的两根，求(1+m+2）（1+m+2）的值。46、已知x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1
21、+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值.47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1y1=2,x2y2=2，求m、n的值.48、关于x的方程m2x2+(2m+3）x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2am2+6m4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、关于x的一元二次方程3x2（4m21）x+m(m+2）=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。50、已知：、是关于x的二次方程：（m2）x2+2(m4)x+m4=0的两个不等实根.(1）若m为正
22、整数时,求此方程两个实根的平方和的值；（2)若2+2=6时，求m的值。51、已知关于x的方程mx2nx+2=0两根相等，方程x24mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2（k+n)x+(km)=0一定有实数根.152、关于x的方程x2 2mxn2=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底4边长.（1）求证：这个方程有两个不相等的实根；（2）若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2（x1x2),在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。54、已知关于
23、x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为、，且两个关于x的方程x2+（+1)x+2=0与x2+(+1)x+2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2（m+3)x+m2+3=0有两个实数根、,那么（1）2+(1)2的最小值是多少?56、已知方程2x25mx+3n=0的两根之比为23，方程x22nx+8m=0的两根相等(mn0)。求证：对任意实数k,方程mx2+（n+k1)x+k+1=0恒有实数根.57、(1）方程x23x+m=0的一个根是2，则另一个根是。(2）若关于y的方程y2my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足。58、不解方
24、程，求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x22x1=0；60、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+3=0;61、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是2，求它的另一个根及m的值。63、已知关于x的方程3x21=tx的一个根是2，求它的另一个根及t的值。64、设x1，x2是方程3x22x2=0的两个根,利用根与系数的关系，求下列各式的值:（1）（x14)(x24)；(2)x13x24+x14x23；（3）x1 13x2x1 23x1；（4)x13+
25、x23.65、设x1,x2是方程2x24x+1=0的两个根,求|x1x2的值。66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7,求m和n的值。67、以2，3为根的一元二次方程是（)A.x2+x+6=0B.x2+x6=0C.x2x+6=0D。x2x6=068、以3，1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是(）A。3x22x+3=0B.3x2+2x3=0C。3x26x9=0D。3x2+6x9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是（)A.x2+2x3=0B。x22x+3=0C。x2+2x+3=0D。x22x3=070、以3，2为根的一
26、元二次方程为，3 13 1，为根的一元二次方程为，22以5，5为根的一元二次方程为，1以4，为根的一元二次方程为。471、已知两数之和为7,两数之积为12，求这两个数。72、已知方程2x23x3=0的两个根分别为a,b，利用根与系数的关系，求一个以一元二次方程，使它的两个根分别是:（1）a+1.b+12b 2a（2),ab773、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为2cm2，求这个直角三角形斜边的长。74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q,解得方程的根为4与2.这个方程的根应该是什么？75、关于x的方程x2ax3=0有一个根是1,则a=
27、，另一个根是。x2 2x 376、若分式的值为0，则x的值为x 1()A.1B.3C。1或3D.3或177、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则（）A.m=0且n0B。n=0且m0C.m=0且n0D。n=0且m078、已知x1，x2是方程2x2+3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1）（2x13)（2x23）；(2)x13x2+x1x23。79、已知a2=1a，b2=1b,且ab,求(a1）(b1）的值.80、如果x=1是方程2x23mx+1=0的一个根，则m=，另一个根为。11181、已知m2+m4=0，24 0，m，n为实数,且m，则nn
28、n1m=。n82、两根为3和5的一元二次方程是（)A。x22x15=0B.x22x+15=0C.x2+2x15=0D.x2+2x+15=083、.设x1，x2是方程2x22x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）(x12+2）(x22+2)；（2）（2x1+1）(2x2+1)；(3)（x1x2)2。84、.已知m，n是一元二次方程x22x5=0的两个实数根,求2m2+3n2+2m的值。85、已知方程x2+5x7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0)的两根之比为21,求证：
29、2b2=9ac。87、。已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值.88、已知关于y的方程y22ay2a4=0.（1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根;(2)a为何值时,方程的两根之差的平方等于16？89、已知一元二次方程x210 x+21+a=0。（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根?（2)此 方程会有两个负根吗?为什么？90、已知关于x的方程x2（2a1)x+4（a1）=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式=25，求a,b 的值.92、已知一元二次方程8y2（m+1）y+m5=0。(1）m为何值时，方程的一个根为零？（2)m为何值时，方程的两个根互为相反数?（3）证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。93、当m为何值时，方程3x2+2x+m8=0:（1)有两个大于2的根?（2）有一个根大于2，另一个 根小于2?94、已知2s2+4s7=0，7t24t2=0，s，t为实数,且st1.求下列各式的值：st 1;t3st 2s 3（2）.t(1)95、已知x1，x2是一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根,且x12+x22+(x1+x2)2=3，22 5，求m和n的值。22x1x2