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1、一、知识要点 1 数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列na的项无限趋近于某个常数（即|ana|无限地接近于 0），那么就说数列na以为极限记作limnnaa（注：a 不一定是an中的项）2 几个重要极限：（1）01limnn（2）CCnlim（C 是常数）（3）1,11,110limaaaaann或不存在，（4）)()()(0lim0011101110tstsbatsbnbnbnbanananassssttttn不存在 3.数列极限的运算法则:如果,lim,limBbAannnn那么 BAbannn)(limBAbannn)(lim BAbannn.).(lim)0(limB
2、BAbannn 4无穷等比数列的各项和 公比的绝对值小于 1的无穷等比数列前 n项的和，当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做limnnSS 1lim,(0|1)1nnaSSqq 二、方法与技巧 只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）求数列极限最后往往转化为Nmnm1或1qqn型的极限.求极限的常用方法：分子、分母同时除以或.求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.利用已知数列极限（如01lim,10limnqqnnn等）.含参数问题应对参数进行分类讨
3、论求极限.,00,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限 题型讲解 例 1 求下列式子的极限：nnn)1(lim；nlim112322nnn；nlim1122nn；nlim757222nnn;（2）nlim（nn2n）;（3）nlim（22n+24n+22nn）例 2BAbaBbAannnnnnnlimlim,lim是的（）A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 例 3 数列an和bn都是公差不为 0 的等差数列，且nnnbalim=3,求nnnnbaaa221lim的值为 例4 求nnnnnaaaalim （a0);例5 已知1)
4、11(lim2bannnn,求实数 a,b 的值;例6 已知等比数列an的首项为 a1,公比为 q,且有nlim（qa11qn）=21,求 a1的取值范围 例 7 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足 lganlgan1lgc，其中 n 是大于 1的整数，c是正数（1）求数列an的通项公式及前 n 和 Sn；（2）求nlim1122nnnnaa的值 数列极限课后检测 1 下列极限正确的个数是（）nlimn1=0（0）nlimqn=0 nlimnnnn3232=1 nlimC=C（C 为常数）A2 B3 C4D 都不正确 3 下列四个命题中正确的是（）A若nliman2A2，则nlim
5、anA B若 an0，nlimanA，则 A0 C若nlimanA，则nliman2A2 D若nlim（anb）0，则nlimannlimbn 5 若数列an的通项公式是 an=2)23()1(23nnnnn,n=1,2,则nlim（a1+a2+an）等于（）A2411 B2417 C2419 D2425 6 数列an中,的极限存在，a1=51,an+an+1=156n,nN*,则nlim（a1+a2+an）等于（）A52B72C41D254 7nlimnn212=_nlim32222nnn=_ nlimn（131）（141）（151）（121n）=8 已知 a、b、c 是实常数，且nlimc
6、bncan=2,nlimbcncbn22=3,则nlimacncan22的值是（）9 an中 a1=3，且对任意大于 1的正整数 n,点（na,1na）在直线 xy=0 上，则nlim2)1(nan=_ 10 等比数列an公比 q=21,且nlim（a1+a3+a5+a2n1）=38,则 a1=_ 11已知数列an满足（n1）an+1=（n+1）（an1）且 a2=6,设 bn=an+n（nN*）（1）求bn的通项公式；（2）求nlim（212b+213b+214b+21nb）的值 12 已知an、bn都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2是 a2与 a3的等差中项,且nlimnnb
7、a=21,求极限nlim（111ba+221ba+nnba1）的值 例题解析答案 例 1 分析：(1)nn的分子有界，分可以无限增大，因此极限为 0；112322nnn的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比；nlim1122nn的分子次数小于于分母次数，极限为 0 解：(1)lim0nnn；2222213321limlim3111nnnnnnnn；nlim2222121limlim0111nnnnnnn 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以 n2后再求极限；（5）因nn 2与 n都没有
8、极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限 解:（1）nlim757222nnn=nlim2275712nnn=52（2）nlim（nn2n）=nlimnnnn2=nlim1111n=21（3）原式=nlim22642nn=nlim2)1(nnn=nlim（1+n1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：原式=)75(lim)72(lim22nnnnn=1,nlim（2n2+n+7）,nlim（5n2+7）不存在，原式无极限 对于（2）要避免出现下面两种错误：nlim（nn 2n）=nlimnn 2nlimn=0;原式=nlimnn 2nli
9、mn=不存在 对于（3）要避免出现原式=nlim22n+nlim24n+nlim22nn=0+0+0=0这样的错误 例 2 B 例 3 数列an和bn都是公差不为 0 的等差数列，且nnnbalim=3,求nnnnbaaa221lim的值为 解：由nnnbalim=3d1=3d2，nnnnbaaa221lim=2121114)12(2)1(limdddnbndnnnan=43 点评：化归思想 例 4 求nnnnnaaaalim （a0);解：nnnnnaaaalim=).10(111lim),1(0),1(11111lim2222aaaaaaannnnnn点评：注意分类讨论 例 5 已知1)1
10、1(lim2bannnn,求实数 a,b的值;解：11)()1(lim2nbnbanan=1，1)(01baaa=1,b=1 例 6 已知等比数列an的首项为 a1,公比为 q,且有nlim（qa11qn）=21,求 a1的取值范围 解:nlim（qa11qn）=21,nlimqn一定存在0|q|1 或 q=1 当 q=1时，21a1=21,a1=3 当 0|q|1 时，由nlim（qa11qn）=21得qa11=21,2a11=q 0|2a11|10a11 且 a121 综上,得 0a11 且 a121或 a1=3 例 7 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足 lganlgan1l
11、gc，其中 n 是大于 1的整数，c是正数（1）求数列an的通项公式及前 n 和 Sn；（2）求nlim1122nnnnaa的值 解:（1）由已知得 anan1,an是以 a13，公比为 c的等比数列，则 an3n1 Sn).10(1)1(3)1(3cccccnn且（2）nlim1122nnnnaanlimnnnncc323211 当 c=2 时，原式41;当2 时，原式nlimcccnn3)2(23)2(11c1;当 02 时，原式=nlim11)2(32)2(31nnccc21 点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B 3 解析:排除法，取 an（）n，排除 A；
12、取 ann1，排除；取 anbnn，排除 D答案:C 5 解析:an=),(22323),(2)23(23为偶数为奇数nnnnnnnnnn即 an=).3),(2(为偶数为奇数nnnn a1+a2+an=（21+23+25+）+（32+34+36+）nlim（a1+a2+an）=411213132122221+91191=.2419答案:C 6 解析:2（a1+a2+an）=a1+（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+（an1+an）+an=51+256+356+n56+an原式=2151+511256+nliman=21（51+103+nliman）an+an+1=156n,nli
13、man+nliman+1=0nliman=0答案:C 7 解析:原式=nlim2)1(2nnn=nlim221212nnn=0 nlim32222nnn=nlim23221nn=21 解析:nlimn（131）（141）（151）（121n）=nlimn32435421nn=nlim22nn=2 答案:C 8 解析:答案:D 由nlimcbncan=2,得 a=2b 由nlimbcncbn22=3,得 b=3c,c=31bca=6nlimacncan22=nlim22nacnca=ca=6 9 析:由题意得na1na=（n2）na是公差为的等差数列，1a=na=+（n1）=nan=3n2 nl
14、im2)1(nan=nlim12322 nnn=nlim21213nn=3 10 析:q=21,nlim（a1+a3+a5+a2n1）=4111a=38a1=2 11 解:（1）n=1 时，由（n1）an+1=（n+1）（an1）,得 a1=1 n=2 时，a2=6代入得 a3=15 同理 a4=28,再代入 bn=an+n,有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想 bn=2n2要证bn=2n2,只需证 an=2n2n 当 n=1 时，a1=2121=1成立假设当 n=k 时，ak=2k2k成立 那么当 n=k+1时，由（k1）ak+1=（k+1）（ak1）,得 ak+1=11
15、kk（ak1）=11kk（2k2k1）=11kk（2k+1）（k1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2（k+1）当 n=k+1 时，an=2n2n正确，从而 bn=2n2（2）nlim（212b+213b+21nb）=nlim（61+161+2212n）=21nlim311+421+)1)(1(1nn=41nlim131+2141+11n11n=41nlim1+21n111n=83 12 解:an、bn的公差分别为 d1、d2 2b2=a2+a3,即 2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,2d23d1=2 又nlimnnba=nlim21)1(2)1(3dndn=21dd=21,即 d2=2d1,d1=2,d2=4an=a1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2 nnba1=)24()12(1nn=41（121n121n）原式=nlim41（1121n）=