《2022年数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题 .pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列na的项na无限趋近于某 个 常 数a（ 即 |an a|无 限 地 接 近 于0 ） ， 那 么 就 说 数 列na以a为 极 限记 作l i mnnaa （注： a 不一定是 an中的项 ）2几个重要极限：（1）01limnn（2）CCnlim（C是常数）（3）1, 11, 110limaaaaann或不存在，（4）)()()(0lim0011101110tstsbatsbnbnbnbanananassssttttn不存在3. 数列极限的运算法则:如果,lim,limBbAannnn那么BAbannn)(lim
2、BAbannn)(l i mBAbannn.).(lim)0(l i mBBAbannn4无穷等比数列的各项和公比的绝对值小于1 的无穷等比数列前n 项的和， 当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做limnnSS1lim,(0| 1)1nnaSSqq二、方法与技巧只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限. 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）求数列极限最后往往转化为Nmnm1或1qqn型的极限 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
3、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 求极限的常用方法：分子、分母同时除以mn或na. 求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. 利用已知数列极限（如01lim,10limnqqnnn等）. 含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ,00,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例 1 求下列式子的极限：nnn) 1(lim；nlim112322nnn；nlim1122nn；nlim757222nnn; （2）nlim（nn2n）;（3）nlim（22n+24n+22nn）例 2BAba
4、BbAannnnnnnlimlim,lim是的（）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例 3 数列 an 和bn 都是公差不为0 的等差数列，且nnnbalim=3,求nnnnbaaa221lim的值为例4求nnnnnaaaalim（a0); 例5已知1)11(lim2bannnn,求实数 a,b 的值 ; 例6 已知等比数列 an的首项为 a1,公比为 q,且有nlim（qa11qn）=21,求 a1的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
5、- - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 例 7已知数列 an是由正数构成的数列，a13，且满足lganlgan1lgc，其中 n 是大于 1 的整数， c 是正数（1）求数列 an的通项公式及前n 和 Sn；（2）求nlim1122nnnnaa的值数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（）nlimn1=0（0） nlimqn=0 nlimnnnn3232=1 nlimC=C（C 为常数）A 2 B3 C4 D都不正确3下列四个命题中正确的是（）A若nliman2A2，则nlimanAB 若 an0，nlimanA，则 A0 C若nlimanA，则nliman2A
6、2D若nlim（anb） 0，则nlimannlimbn5若数列 an的通项公式是an=2)23() 1(23nnnnn,n=1,2,则nlim（a1+a2+an）等于（）A2411B2417C2419D24256数列 an中,na的极限存在， a1=51,an+an+1=156n,nN*,则nlim（a1+a2+an）等于（）A52B72C41D2547nlimnn212=_nlim32222nnn=_nlim n（131） （141） （ 151）（ 121n） = 8已知 a、b、c 是实常数，且nlimcbncan=2, nlimbcncbn22=3,则nlimacncan22的值是（
7、）9 an 中 a1=3，且对任意大于1 的正整数 n,点（na,1na）在直线xy3=0 上，则nlim2) 1(nan=_ 10等比数列 an公比 q=21,且nlim（a1+a3+a5+a2n1）=38,则 a1=_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 11已知数列 an满足（ n1）an+1=（n+1） （an1）且 a2=6,设 bn=an+n（nN*）（1）求 bn的通项公式；（2）求nlim（212b+2
8、13b+214b+21nb）的值12已知an、 bn 都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2是 a2与 a3的等差中项 ,且nlimnnba=21, 求极限nlim（111ba+221ba+nnba1）的值例题解析答案例 1 分析：( 1)nn的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；112322nnn的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项 )系数之比；nlim1122nn的分子次数小于于分母次数，极限为0解：( 1)lim0nnn；2222213321limlim3111nnnnnnnn；nlim2222121limlim0111nnnnnnn点评：分子次数高于分母次数，极限
9、不存在；分析 :（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（5）因nn2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）nlim757222nnn=nlim2275712nnn=52（2）nlim（nn2n）= nlimnnnn2=nlim1111n=21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - （3
10、）原式 =nlim22642nn=nlim2) 1(nnn=nlim（1+n1）=1点评：对于（ 1）要避免下面两种错误：原式=)75(lim)72(lim22nnnnn=1,nlim（2n2+n+7）, nlim（5n2+7）不存在，原式无极限对于（ 2）要避免出现下面两种错误：nlim（nn2n）= nlimnn2nlimn= =0;原式 =nlimnn2nlimn=不存在对于（ 3）要避免出现原式=nlim22n+nlim24n+nlim22nn=0+0+0=0 这样的错误例 2 B 例 3 数列 an 和bn 都是公差不为0 的等差数列，且nnnbalim=3,求nnnnbaaa221
11、lim的值为解：由nnnbalim=3d1=3d2，nnnnbaaa221lim=2121114)12(2) 1(limdddnbndnnnan=43点评：化归思想例 4 求nnnnnaaaalim（a0); 解：nnnnnaaaalim=).10(111lim),1(0),1(11111lim2222aaaaaaannnnnn点评：注意分类讨论例 5 已知1)11(lim2bannnn,求实数 a,b 的值; 解：11)()1(lim2nbnbanan=1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
12、- - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1)(01baaa=1,b= 1例 6 已知等比数列an 的首项为 a1,公比为 q,且有nlim（qa11qn）=21,求 a1的取值范围解: nlim（qa11qn）=21, nlimqn一定存在 0|q|1 或 q=1当 q=1 时，21a1=21,a1=3当 0|q|1 时，由nlim（qa11qn）=21得qa11=21,2a11=q0|2a11|10a11 且 a121综上 ,得 0a11 且 a121或 a1=3例 7 已知数列 an是由正数构成的数列，a13，且满足 lganlgan1lgc，其中
13、n 是大于1 的整数， c 是正数（1）求数列 an的通项公式及前n 和 Sn；（2）求nlim1122nnnnaa的值解:（1）由已知得anan1, an是以 a13，公比为 c 的等比数列，则an3n1Sn).10(1)1( 3) 1(3cccccnn且（2）nlim1122nnnnaanlimnnnncc323211当 c=2 时，原式41; 当2 时，原式nlimcccnn3)2(23)2(11c1; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - -
14、 - - - - - - - 当 02 时，原式 =nlim11)2(32)2(31nnccc21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析1答案:B 3解析 :排除法，取an（）n，排除 A；取 ann1，排除；取anbnn，排除 D答案 :C 5 解析:an=),(22323),(2)23(23为偶数为奇数nnnnnnnnnn即 an=).3),(2(为偶数为奇数nnnna1+a2+an=（21+23+25+） +（32+34+36+）nlim（a1+a2+an）=411213132122221+91191=.2419答案 :C 6 解析:2 （a1+a2+an） =a1+ （a1
15、+a2） + （a2+a3） + （a3+a4） + （an1+an） +an=51+256+356+n56+an原式 =2151+511256+nliman=21（51+103+nliman）an+an+1=156n,nliman+nliman+1=0nliman=0答案 :C 7 解析 :原式 =nlim2)1(2nnn=nlim221212nnn=0nlim32222nnn=nlim23221nn=21解析 : nlimn（131） （141） （151）（ 121n） =nlim n32435421nn=nlim22nn=2答案 :C 8解析 : 答案 :D 由nlimcbncan=2
16、,得 a=2b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 由nlimbcncbn22=3,得 b=3c,c=31bca=6nlimacncan22=nlim22nacnca=ca=69析:由题意得na1na=3（n2）na是公差为3的等差数列，1a=3na=3+（n1） 3=3nan=3n2nlim2)1(nan=nlim12322nnn=nlim21213nn=310析:q=21,nlim（a1+a3+a5+a2n1）=4
17、111a=38a1=211 解:（1）n=1 时，由（ n1）an+1=（n+1） （an1）,得 a1=1n=2 时， a2=6 代入得 a3=15同理 a4=28,再代入 bn=an+n,有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想 bn=2n2要证 bn=2n2,只需证 an=2n2n当 n=1 时， a1=2121=1 成立 假设当n=k 时， ak=2k2k 成立那么当 n=k+1 时，由（ k1）ak+1=（k+1） （ak1）,得 ak+1=11kk（ak1）=11kk（2k2k1）=11kk（2k+1） （k1）=（k+1） （ 2k+1）=2（k+1）2（ k+1
18、）当 n=k+1 时， an=2n2n 正确，从而bn=2n2（2）nlim（212b+213b+21nb）=nlim（61+161+2212n）=21nlim311+421+) 1)(1(1nn=41nlim131+2141+11n11n=41nlim1+21n111n=8312 解: an 、bn 的公差分别为d1、d22b2=a2+a3,即 2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,2d23d1=2又nlimnnba=nlim21) 1(2) 1(3dndn=21dd=21,即 d2=2d1, d1=2,d2=4an=a1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2nnba1=)24()12(1nn=41（121n121n） 原式 =nlim41（1121n）=41名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -