小学数学应用题解题技巧大全.pdf

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1、列成综合算式 105+（100 诂）=3（次）答：需要运 3 次。小学数学应用题解题技巧大全 小升初应用题大全，可分为一般应用题与典型应用题。1归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求 的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量书数=1 份数量 1 份数量 澜占份数=所求几份的数量 另一总量+（总量书数）=所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？解（1）买 1 支铅笔多少钱？0.6 吾=0.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱？

2、0.12X6=1.92（元）列成综合算式 0.6-5X16=0.12 X6=1.92（元）答：需要 1.92 元。例 23 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？90 趋趋=10（公顷）（2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？105X6=300（公顷）列成综合算式 9033X56=10X30=300（公顷）答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。例35 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运 几次？解（1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？100 奇=5

3、（吨）列成综合算式 105+（100 诂）=3（次）答：需要运 3 次。（2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？57=35（吨）（3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？105T5=3（次）2归总问题【含义】解题时，常常先找出 总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问 题。所谓 总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1 份数量#数=总量 总量勺份数量=份数 总量 切一份数=另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布

4、2.8 米。原来做 791套衣服的布，现在可以做多少套？解（1）这批布总共有多少米？3.2 叉 91=2531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.2 28=904（套）列成综合算式 3.2 7912.8=904（套）答：现在可以做 904 套。例 2 小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读 完红岩？解（1）红岩这本书总共多少页？24X12=288（页）（2）小明几天可以读完红岩？2886=8（天）列成综合算式 24X12 趋 6=8（天）答：小明 8 天可以读完红岩。例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬

5、菜。后来根据大 家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？解（1）这批蔬菜共有多少千克？50 冷 0=1500（千克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500+（50+10）=25（天）列成综合算式 50 冷 0+（50+10）=1500*0=25（天）答：这批蔬菜可以吃 25 天。3和差 I 可题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数=（和+差）以 小数=（和一差）2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？解 甲班人数

6、=（98+6）2=52（人）乙班人数=（98 6）-2=46（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。解 长=（18+2）2=10（厘米）宽=（18-2）W=8（厘米）长方形的面积=108=80（平方厘米）答：长方形的面积为 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32 30）=2 千克，且甲是 大数，丙是小数。由此可知：甲袋化肥重量=（22+2）以=12（

7、千克）丙袋化肥重量=（22-2）食=10（千克）乙袋化肥重量=32-12=20（千克）答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解 从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙 车是小数，甲与乙的差是（14 短+3）,甲与乙的和是 97,因此甲车筐数=（97+14X2+3）2=64（筐）乙车筐数=97-64=33（筐）答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。4和倍问题【含义】已知两个数

8、的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个 数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和+（几倍+1）=较小的数 总和一较小的数=较大的数 较小的数 3=186（棵）答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少 吨？解（1）西库存粮数=480+（1.4+1）=200（吨）（2）东库存粮数=480 200=280（吨）答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲 站 24 辆，几天

9、后乙站车辆数是甲站的 2 倍？解：每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（28-24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的 车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为：（52+32）+（2+1）=28（辆）所求天数为（52-28）+（28 24）=6（天）答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。例 4 甲乙丙三数之和是 170,乙比甲的 2 倍少 4,丙比甲的 3 倍多 6,求三数各是多少？解：乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4

10、,所以给乙加上 4,乙数就变成甲数的 2 倍；又因为丙比甲的 3 倍多 6,所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍；这时（170+4-6）就相当于（1+2+3）倍。那么，甲数=（170+4-6）+（1+2+3）=28 乙数=282-4=52 丙数=28X3+6=90 答：甲数是 28,乙数是 52,丙数是 90。5差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个 数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差+（几倍一 1）=较小的数 较小的数 3=186（棵）答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年

11、，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多 少岁？解（1）儿子年龄=27+（4 1）=9（岁）（2）爸爸年龄=94=36（岁）答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁 例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利 比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解如果把上月盈利作为 1 倍量，则（3012）万元就相当于上月盈利的（2-1）倍，因此 上月盈利=（30-12）+（2 1）=18（万元）本月盈利=18+30=48（万元）答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨

12、玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下 的玉米是小麦的 3 倍？解：由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138-94）。把几天后剩下的小麦看作1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（138-94）就相当于（3-1）倍，因此 剩下的小麦数量=（138-94）+（3 1）=22（吨）运出的小麦数量=94-22=72（吨）运粮的天数=729=8（天）答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。6倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关

13、系】总量 l 个数量=倍数 另一个数量漏数=另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？解：（1）3700 千克是 100 千克的多少倍？3700 勺 00=37（倍）（2）可以榨油多少千克？40 冷 7=1480（千克）列成综合算式 40X（3700 勺 00）=1480（千克）答：可以榨油 1480 千克。例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生 共植树多少棵？解（1）48000 名是 300 名的多少倍？48000 司

14、 00=160（倍）（2）共植树多少棵？400X160=64000（棵）列成综合算式 400X（48000 司 00）=64000（棵）答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？解（1）800 亩是 4 亩的几倍？800%=200（倍）（2）800 亩收入多少元？11111 200=2222200（元）（3）16000 亩是 800 亩的几倍？16000W00=20（倍）（4）16000 亩收入多少元？2222200X20=

15、44444000（元）答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。7相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问 题。【数量关系】相遇时间=总路程+（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）泌目遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 到的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从开出的船每小时行 28 千米，从开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？解：392+（28+21）=8（小时）答：经过 8 小时两船相遇。例 2 小和

16、小在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小每秒钟跑 5 米，小每秒钟跑 3 米，他们 从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解：第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 400 短 相遇时间=（400X2）+（5+3）=100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑白行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米,两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。解：两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比 乙

17、多走的路程是（32）千米，因此，相遇时间=（3X2）+（15 13）=3（小时）两地距离=（15+13）3=84（千米）答：两地距离是 84 千米。8追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不 同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度 较慢些，在一定时间之，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间=追及路程+（快速-慢速）追及路程=（快速一慢速）瓶及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走

18、 12 天，好马几天能追上劣马？解（1）劣马先走 12 天能走多少千米？75X12=900（千米）（2）好马几天追上劣马？900+（120 75）=20（天）列成综合算式 75X12+（120 75）=90035=20（夭）答：好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出 发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解：小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500 200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米

19、用 40 秒，则跑 500 米用40X（500W00）秒，所以小亮的速度是（500 200）+40X（500W00）=30000=3（米）答：小亮的速度是每秒 3 米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16 点开始从甲地以每小时 10 千米的 速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知 甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？解：敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22-16）小时，这段时间敌人逃跑的路 程是:10X（22 6）千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知：追及时间=:10X（22 6）+60+（30

20、10）=2200=11（小时）答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小 时行40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解：这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16 X2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 16X2+（48 40）=4（小时）所以两站间的距离为（48+40）4=352（千米）列成综合算式（48+40）X 16X2+（48 40）=884=352（千米）答：甲乙两站的距离是 352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学

21、，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时 发现 忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校 有多远？解：要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发 到相遇）哥哥比妹妹多走（180X2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90-60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180X2+（90 60）=12（分钟）家离学校的距离为 90X12 180=900（米）答：家离学校有 900 米远。例 6 亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了

22、10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一 下，如果亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求亮跑步的速度。解：手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10-5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10-5）分钟。如果从 家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用:9-（10-5）分钟。所以步行 1 千米所用时间为 1+9（105）=0.25（小时）=15（分钟）跑步 1 千米所用时间为 15-9（10 5）=11（分钟）跑步速度为每小时 11/60=5.5（千米）答：亮跑

23、步速度为每小时 5.5 千米。9植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要 求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数=距离 书距+1 环形植树棵数=距离 糠距 方形植树棵数=距离 书距-4 三角形植树棵数=距离 条距-3 面积植树棵数=面积+（棵距冲亍距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 136W+1=68+1=69（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白树，

24、一共能栽多少棵白树？解 400W=100（棵）答：一共能栽 100 棵白树。例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少 个照明灯？解 220%W 4=110-4=106（个）答：一共可以安装 106 个照明灯。例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？解 96+（0.6 04）=960.24=400（块）答：至少需要 400 块地板砖。例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电 杆上安装 2 盏路灯，一共可以安

25、装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？500 奇 0+1=11（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11 2=22（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？222=44（盏）答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。10年龄问题【含义】这类问题是根据题目的容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两 人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解 题思路是一致的，要紧紧抓住 年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用 差倍问题”的解题思路和方法。例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮

26、亮的几倍？明年呢？解 355=7（倍）（35+1）+（5+1）=6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍 例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37-7=30（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30+（41）-7=3（年）列成综合算式（37-7）+（4 1）-7=3（年）答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。例 33 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父子今年各多少岁？解：今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（3X2）岁，今年二人的年龄和为

27、49+3X2=55（岁）把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（4+1）倍，因此，今年儿子年 龄为 55+（4+1）=11（岁）今年父亲年龄为 11X4=44（岁）答：今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11 岁。例 4 甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：当我的岁 数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：表中两个“或示同一个数，两个”表示同一个数。过去某一年 今年 将来某一年 甲 岁 61 岁 乙 4 岁 岁 因为两个人的年龄差总相等：二 4=O61-，

28、也就是 4,口,61 成等差 数列，所以，61 应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为（61-4）-3=19（岁）甲今年的岁数为=61-19=42（岁）乙今年的岁数为 O42-19=23（岁）答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。11行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船 只 本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行 的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度+逆水速度）吃=船速 顺水速=船速 X2-逆水速=逆水速+水速2（顺水速度-逆水速度）W

29、=水速 逆水速=船速 X2-顺水速=顺水速-水速2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段 路程需用几小时？解：由条件知，顺水速=船速+水速=320M，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 320W15=25（千米）船的逆水速为2515=10（千米）船逆水行这段路程的时间为 320 勺 0=32（小时）答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 10 小时；乙船逆水行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少时间？解

30、：由题意得甲船速+水速=3600=36 甲船速一水速=360 勺 8=20 可见（36 20）相当于水速的2 倍，所以，水速为每小时（36-20）W=8（千米）又因为，乙船速一水速=360 勺 5,所以，乙船速为 360 勺 5+8=32（千米）乙船顺水速为 32+8=40（千米）所以，乙船顺水航行 360 千米需要 36040=9（小时）答：乙船返回原地需要 9 小时。例 3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576 千米，风速为每小时 24 千 米，飞机逆风飞行 3 小时到达，顺风飞回需要几小时？（流水问题）解：（1）两城相距多少千米？（576 24）冷=1656（千米）（2

31、）顺风飞回需要多少小时？1656+（576+24）=2.76（小时）列成综合算式（576-24）冷+（576+24）=2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要 2.76 小时。12列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）y 车速 火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）+（甲车速一乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）+（甲车速+乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车 尾离开桥共需要

32、 3 分钟。这列火车长多少米？解：火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车 3 分钟行多少米？900*=2700（米）（2）这列火车长多少米？2700 2400=300（米）列成综合算式 900 冷2400=300（米）答：这列火车长 300 米。例 2列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥 的长度是多少米？解：火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒=125 秒，所走的路程是（8 刈 25）米，这段路程就是（200 米+桥长），所以，桥长为 8 刈 25 200=800（米）答：大桥的长度是 800 米。例 3列长 22

33、5 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速 度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解：从追上到追过，快车比慢车要多行（225+140）米，而快车比慢车每秒多行（2217）米，因此，所求的时间为（225+140）+（22 17）=73（秒）答：需要 73 秒。例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎 面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解：如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150+（22+3）=6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。例 5 一列火

34、车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长 1250 米的 大桥用了 58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解：车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88-58）秒的时间行驶了（2000 1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（2000 1250）+（88 58）=25（米）进而可知，车长和桥长的和为（254+15）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（1 1/12）格就可以求出二针成直角的时间。（5%15）+（1 1/12）6（分）（5%+15）+（1 1/12）*38（分）答：4 点 06 分及 4 点 3

35、8 分时两针成直角。例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解：六点整的时候，分针在时针后（5X6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实 际上是一个追及问题。（5 冷）+（11/12）*33（分）答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。14盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数=（盈+亏）y 分配差 如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=（大盈-小盈）T 分配差 参加分配总人数=（

36、大亏-小亏）T 分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多 少小朋友？有多少个苹果？解：按照 参加分配的总人数=（盈+亏）y 分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（11+1）+（4 3）=12（人）（2）有多少个苹果？3X12+11=47（个）答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完 全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？解：题中原定完成任务的天数，就相当于 参加分配的总

37、人数”，按照 参加分配的总人数=（大亏一小亏）t 分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为：（260X8 300%）+（300 260）=22（天）这条路全长为 300X（22+4）=7800（米）答：这条路全长 7800 米。例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，就刚好坐 完。问有多少车？多少人？解：本题中的车辆数就相当于 参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（30-0）+（45 40）=6（辆）（2）有多少人？40X6+30=270（人）答：有 6 辆车，有 270 人。15工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和

38、工作时间三者之间的关系。这类问题在已 知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出项工程”、块土地”、条水渠”、件工作”等，在解题时，常常用单位“1 表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1；这样，工作效率就是工作时间 的倒数（它表示单位时间完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量=工作效率 XT 作时间 工作时间=工作量习:作效率 工作时间=总工作量+（甲工作效率+乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队

39、合作,需要几天完成？解：题中的项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工 程看作单位“1：由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10;乙队单独做需 15 天完成,每天完成这项工程的 1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。由此可以列出算式：1+(1/10+1/15)=1/6=6(天)答：两队合做需要 6 天完成。例 2 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比 乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？解一：设总工作量为 1,则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8,甲比乙每小时多

40、完 成(1/6 1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要1+(1/6+1/8)小时，这个时间，甲比乙多做 24 个零件，所以(1)每小时甲比乙多做多少零件？24+1+(1/6+1/8)=7(个)(2)这批零件共有多少个？7+(1/6 1/8)=168(个)解二：上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6:1/8=4:3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7 所以，这批零件共有 24+1/7=168(个)答：这批零件共有 168 个。例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小

41、时完成。现在甲 先做 2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解：必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60,则甲乙丙三 人的工 作效率分别是 60+12=5600=660 勺 5=4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要(60 5X2)+(6+4)=5(小时)答：还需要 5 小时才能完成。例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满 水池；现在

42、要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解：注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间水的流量就是工作效率。要 2 小时将水池注满，即要使 2 小时的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要 知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位 1,其余 两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1,则 4 个进水管 5 小时注水量为（1X4X5）,2 个进水管 15 小时注水量为（12X15）,从而可知 每小时的排水量为（1X2 刈 5 14X5）+（15 5）=1 即一个排水管与每个进

43、水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为 1 4X5-1 X5=15 又因为在 2 小时，每个进水管的注水量为 1 短，所以，2 小时注满一池水 至少需要多少个进水管？（15+12）+（1X2）=8.5 9（个）答：至少需要 9 个进水管。16正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫 做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 积一定，这两种量就叫做成反比例的量

44、，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反 比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键 化许多典型应用题都可以转 为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比 例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3,再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2,求这条公 路总长是多少米？解：由条件知，公路总长不变。原已修长度：总长度=1:(1+3)=1:4=3:12 现已修长度：总长度=1:(1+2)=1:3=4:12 比较以

45、上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于(4-3)份，从而知公路 总长为 300+(4 3)刈 2=3600(米)答：这条公路总长 3600 米。例 2 啥做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？解：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设：91 分钟可以做 X 应用题则有 28:4=91:X 28X=91X4X 91X4W8X=13 答：91 分钟可以做 13 道应用题。例 3 亮看十万个为什么这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天 就可以看完？解：书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设 X

46、 天可以看完，就有 24：36=X:15 36X=24X15 X=10 答：10 天就可以看完。例 4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A 25 20 36 B 16 解：由面积 顷=长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积 之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽 也相等。因此，A:36=20：1625：B=20:16 得 A=45 B=20 所以，大矩形面积为 45+36+25+20+20+16=162 答：大矩形的面积是 162 17按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照

47、一定的比分成若干份。这类题的已知条件一 般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份 数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求 出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？解：总份数为

48、 47+48+45=140 一班植树 560X7/140=188（棵）二班植树 560*8/140=192（棵）三班植树 5605/140=180（棵）答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 3：4：5。三条边的长各 是多少厘米？解：3+4+5=1260X3/12=15（厘米）604/12=20（厘米）60X5/12=25（厘米）答：三角形三条边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2,二儿子分总数的 1/3,

49、三儿子分总数的 1/9,并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少 只羊。解：如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配 的方法解，则很容易得到 1/2:1/3:1/9=9:6:2 9+6+2=1717 9/17=9 176/17=6172/17=2 答：大儿子分得 9 只羊，二儿子分得 6 只羊，三儿子分得 2 只羊。例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 8：12：21,第一车间比第二车间少 80 人，三 个车间共多少人？人数 80 人 一共多少人？对应的份数 12-8 8+12+21 解 80+(12 8)X(8+12+21)=820(人)答：三个车间一共

50、 820 人。18百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分 数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示 率”，也可以表示 量”，而百 分数只能表示 率”；分数的分子、分母必须是白然数，而百分数的分子可以是小数；百分 数有一个专门的记号“蛆。在实际中和常用到 百分点”这个概念，一个百分点就是 1%,两个百分点就是 2%。【数量关系】掌握 百分数”、标准量”比较量”三者之间的数量关系：百分数=比较量准量 标准量=比较量 分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：(1)求一个数是另一个数的百分之几；(2)已知一个数，求它的百分之几是多少；(3