专题复习四函数综合题.pdf

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1、 专题复习（四）函数综合题 第 2 页 专题复习(四)函数综合题 河北省历年的中考试卷中，因为函数本身是初中数学的核心内容，所以对函数部分一直是重点考查在选择题和填空题中有对函数的考查，在解答题中通常也有两道大题，且常常以压轴题的形式呈现.2019年24题和26题两道函数题共21 分；2019 年 24 题和 26 题两道函数题共 22 分；2019 年 24题和 26 题两道函数题共 22 分；2019 年 23 题和 25 题两道函数题共 21 分；2019 年 24 题和 26 题两道函数题共 24 分，两道函数解答题通常一个是纯数学问题，以考查函数图象与性质为主，另一个是结合实际背景、

2、解决实际问题的函数建模前面的函数题相对简单些，后面的函数题综合性更强，有一定的区分度 在本专题中，我们将对函数解答题进行系统的复习，主要目的是解决河北中考数学试卷中的两个函数解答题 题型 1 一次函数的图象与性质【例 1】(2019邯郸模拟)如图，在平面直角坐标系中，已 第 3 页 知点 A(5，3)，点 B(3，3)，过点 A 的直线 y12xm(m 为常数)与直线 x1 交于点 P，与 x 轴交于点 C，直线 BP 与 x轴交于点 D.(1)求点 P 的坐标；(2)求直线 BP 的解析式，并直接写出PCD 与PAB 的面积比；(3)若反比例函数 ykx(k 为常数且 k0)的图象与线段BD

3、 有公共点时，请直接写出 k 的最大值或最小值【思路点拨】(1)已知 y12xm 过已知点 A(5，3)，可得 m 的值，得到一次函数解析式；当 x1 时，求函数值，得点 P 的坐标；(2)用待定系数法求直线 BP 的解析式，利用三角形相似的性质，面积比等于相似比的平方；(3)反比例函数 ykx(k 为常数且 k0)的图象与线段 BD 有公共点，线段BD 过第一、二象限，所以要分类讨论，当 k0，k0 时，分别求 k 的最大值和最小值【自主解答】解：(1)y12xm 过点 A(5，3)，第 4 页 3125m，解得 m12.直线为 y12x12.当 x1 时，y12121.点 P 的坐标为(1

4、，1)(2)设直线 BP 的解析式为 yaxb，根据题意，得33ab，1ab，解得a12，b32.直线 BP 的解析式为 y12x32.P(1，1)，A(5，3)，B(3，3)，可得PCDPAB，SPCDSPAB(131)214.(3)当 k0 时，反比例函数在第二、四象限，函数图象经过 B 点时，k 的值最小，此时 k9；当 k0 时，反比例函数在第一、三象限，k 有最大值，联立ykx，y12x32，第 5 页 消去 y，得12x32kx.整理得 x23x2k0，反比例函数与线段 BD 有公共点，32412k0，解得 k98.故当 k0 时，最小值为9；当 k0 时，最大值为98.1(201

5、9重庆 A 卷)如图，在平面直角坐标系中，直线 yx3 过点 A(5，m)且与 y 轴交于点 B，把点 A 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到点 C.过点 C 且与y2x 平行的直线交 y 轴于点 D.(1)求直线 CD 的解析式；(2)直线 AB 与 CD 交于点 E，将直线 CD 沿 EB 方向平移，平移到经过点 B 的位置结束，求直线 CD 在平移过程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围 解：(1)把 A(5，m)代入 yx3，得 m532，A(5，2)点 A 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到点 C，C(3，2)过点 C 且与 y2x 平行

6、的直线交 y 轴于点 D，CD 的解析式可设为 y2xb.把 C(3，2)代入，得 6b2，解得 b4，第 6 页 直线 CD 的解析式为 y2x4.(2)当 x0 时，yx33，则 B(0，3)，当 y0 时，2x40，解得 x2，则直线 CD 与 x 轴的交点坐标为(2，0)；易得 CD 平移到经过点 B 时的直线解析式为 y2x3.当 y0 时，2x30，解得 x32，则直线 y2x3与 x 轴的交点坐标为(32，0)直线 CD 在平移过程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围为32x2.2如图，直线 AB：yxb 分别与 x 轴、y 轴交于 A(6，0)，B两点，过点B的直线交x轴的负半轴

7、于点C，且OBOC31.(1)求点 B 的坐标；(2)求直线 BC 的函数关系式；(3)若点 P(m，2)在ABC 的内部，求 m 的取值范围 解：(1)将点 A(6，0)代入直线 AB 的解析式，可得 06b，解得 b6.直线 AB 的解析式为 yx6.B 点坐标为(0，6)(2)OBOC31，OC2.点 C 的坐标为(2，0)第 7 页 设 BC 的解析式为 ykx6，将 C(2，0)代入，得 02k6，解得 k3.直线 BC 的解析式为 y3x6.(3)把 y2 代入 yx6 得 x4；把 y2 代入 y3x6 中得 x43.结合图象可知 m 的取值范围是43m4.3(2019邢台一模)

8、如图，A(0，4)，B(0，2)，ACx 轴，且与直线 y23x 交于点 C，CDx 轴并交 x 轴于点 D，点 P 是折线 ACCD 上一点设过点 B，P 的直线为 l.(1)点 C 的坐标为(6，4)若 l 所在的函数随 x 的增大而减小，则 PD 的取值范围是 0PD2；(2)当 lOC 时，求直线 l 的解析式；(3)若 l 与线段 OC 有交点，设该交点为 E，是否存在 OEOB 的情况？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(2)lOC，点 B 为线段 OA 的中点，点 P 为线段 AC 的中点，即 P(3，4)设直线 l 的解析式为 ykxb(k0)，将 B(0，2

9、)，P(3，4)代入 ykxb，得 第 8 页 b2，3kb4，解得k23，b2.直线 l 的解析式为 y23x2.(3)不存在，理由如下：当点 P 与点 C 重合时，OE 取最大值，最大值 62422 13；当点 P 与点 D 重合时，OE 取最小值，OBCD，BEODEC.OECEOBCD12.OE12CE13OC2 1332.OEOB.4(2019河北模拟)在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4，0)，点 B 的坐标为(0，4)，点 M 是线段 AB 上任意一点(A，B 两点除外)(1)求直线 AB 的解析式；(2)过点 M 分别作 MCOA 于点 C，MDOB 于点 D，当点 M 在

10、 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；(3)当点 M 把线段 AB 分成的两部分的比为 13 时，请求出点 M 的坐标 第 9 页 解：(1)设直线 AB 的解析式为 ykxb，由题意可得4kb0，b4，解得k1，b4.直线 AB 的解析式为 yx4.(2)不发生变化 理由：设点 M 的坐标为(x，x4)，MD|x|x，MC|x4|x4，四边形 OCMD 的周长2(MDMC)2x(x4)8，四边形 OCMD 的周长不发生变化(3)DMx 轴，DMOABMBA.当 BMMA13 时，DMOABMBA14，即DM414，DM1.则点 M 的横坐标为 1，此时 y

11、x4143，M(1，3)；当 BMMA31 时，DMOABMBA34，即DM434，DM3.则点 M 的横坐标为 3，此时 yx4341，M(3，1)第 10 页 综上可知，点 M 的坐标为(1，3)或(3，1)5(2019石家庄二模)在平面直角坐标系中，已知直线 yx4 和点 M(3，2)(1)判断点 M 是否在直线 yx4 上，并说明理由；(2)将直线 yx4 沿 y 轴平移，当它经过 M 关于坐标轴的对称点时，求平移的距离；(3)另一条直线 ykxb 经过点 M 且与直线 yx4的交点的横坐标为 n，当 ykxb 随 x 的增大而增大时，求n 的取值范围 解：(1)点 M 不在直线 yx

12、4 上，理由：当 x3 时，y3412，点 M(3，2)不在直线 yx4 上(2)设直线 yx4 沿 y 轴平移后的解析式为 yx4b.点 M(3，2)关于 x 轴的对称点为点 M1(3，2)，点 M1(3，2)在直线 yx4b 上，234b.b3，即向下平移的距离为 3；点 M(3，2)关于 y 轴的对称点为点 M2(3，2)，点 M2(3，2)在直线 yx4b 上，234b.b5，即向下平移的距离为 5.第 11 页 综上所述，向下平移的距离为 3 或 5.(3)直线 ykxb 经过点 M(3，2)，23kb，b23k.直线 ykxb 与直线 yx4 的交点的横坐标为n，yknbn4.kn

13、23kn4.kn2n3.ykxb 随 x 的增大而增大，k0，即n2n30.n20，n30或n20，n30.不等式组无解，不等式组的解集为 2n3.n 的取值范围是 2n3.6(2019廊坊安次区一模)已知：如图，直线 l1的解析式为 yx1，直线 l2的解析式为 yaxb(a0)这两个图象交于 y 轴上一点 C，直线 l2与 x 轴的交点 B(2，0)(1)求 a，b 的值；(2)过动点 Q(n，0)且垂直于 x 轴的直线与 l1，l2分别交于点 M，N，当点 M，N 都位于 x 轴上方时，求 n 的取值范围；(3)动点 P从点 B 出发沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左移动，设移动

14、时间为 t 秒，当PAC 为等腰三角形时，第 12 页 直接写出 t 的值 解：(1)点 C 是直线 l1：yx1 与 y 轴的交点，C(0，1)点 C 在直线 l2上，b1.直线 l2的解析式为 yax1.点 B 在直线 l2上，2a10，a12.(2)在直线 l1：yx1 中，令 y0，得 x1，A(1，0)由图象知，点 Q 在点 A，B 之间，1n2.(3)t 为 1 s，2 s，(3 2)s 或(3 2)s.第 13 页 题型 2 二次函数的图象与性质 (2019邯郸模拟)如图，在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别为 A(1，0)，B(3，0)抛物线 yx22mxm24(m 为常数

15、)交 x 轴于 M，N 两点.(1)当 m2 时，求出抛物线的顶点坐标及线段 MN 的长；(2)对于抛物线 yx22mxm24(m 为常数)线段 MN 的长度是否发生改变，请说明理由；若该抛物线与线段 AB 有公共点，请直接写出 m 的取值范围【思路点拨】(1)当 m2 时，抛物线的解析式确定，可求顶点坐标，求出与 x 轴的交点坐标，可得线段 MN 的长；(2)线段 MN 的长度是否发生改变，要看抛物线与 x 轴的交点坐标之间的距离是否发生改变，与(1)类似，令 y0，求出与 x 轴的交点坐标；若该抛物线与线段 AB 有公共点，可令抛物线与 x 轴的交点在 A，B 两点之间，解不等式【自主解答

16、】解：(1)当 m2 时，yx24x(x2)24，抛物线的顶点坐标为(2，4)当 y0 时，x24x0，解得 x10，x24.线段 MN 的长为 4.第 14 页(2)线段 MN 的长度不发生改变 理由：当 y0 时，x22mxm240，解得 x12m，x22m.线段 MN 的长为 4.m 的取值范围是1m1，3m5.1(2019内江改编)如图，已知抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于点 A(3，0)和点 B(1，0)，交 y 轴于点 C，过点 C 作CDx 轴，交抛物线于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线 ym(3m0)与线段 AD，BD 分别交于G，H 两点，过点 G 作 EG

17、x 轴于点 E，过点 H 作 HFx轴于点 F，求矩形 GEFH 的最大面积 解：(1)抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于点 A(3，0)和点 B(1，0)，9a3b30，ab30.a1，b2.抛物线的解析式为 yx22x3.(2)由(1)，知抛物线的解析式为 yx22x3，C(0，3)当 y3 时，x22x33，解得 x0 或 x2.D(2，3)由 A(3，0)和 B(1，0)，易得直线 AD 的解析式为 y3x9，直线 BD 的解析式为 yx1.第 15 页 直线 ym(3m0)与线段 AD，BD 分别交于 G，H 两点，G(13m3，m)，H(m1，m)GHm1(13m3)43m4.

18、S矩形GEFHm(43m4)43(m32)23.430，当 m32时，矩形 GEFH 有最大面积，最大面积为3.2(2019石家庄长安区二模)如图，抛物线 P：y1a(x2)23 与抛物线 Q：y212(xt)21 在同一个坐标系中(其中 a，t 均为常数，且 t0)，已知抛物线 P 过点 A(1，3)，过点 A作直线 lx 轴，交抛物线 P 于点 B.(1)a23，点 B 的坐标是(5，3)；(2)当抛物线 Q 经过点 A 时，求抛物线 Q 的解析式；设直线 l 与抛物线 Q 的另一交点记作 C，求ACAB的值；(3)若抛物线 Q 与线段 AB 总有唯一的交点，直接写出 t 第 16 页 的

19、取值范围 解：(2)抛物线 Q：y212(xt)21 过点 A(1，3)，12(1t)213，解得 t1(舍)或 t3.抛物线 Q：y212(x3)21.lx 轴，点 C 的纵坐标为 3.312(x3)21，解得 x1(点 A 的横坐标)或 x5.C(5，1)AC514.由(1)知 B(5，3)，AB1(5)6.ACAB4623.(3)7t3 或1t3.3(2019保定竞秀区一模)已知，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L：yx24x3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B的左侧)，顶点为 C.(1)求点 C 和点 A 的坐标；(2)定义“L 双抛图形”：直线 xt 将抛物线 L

20、 分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线 xt 的对称图形，得到的整个图形称为抛物线 L关于直线 xt 的“L 双抛图形”(特别地，当直线 xt 恰好 第 17 页 是抛物线的对称轴时，得到的“L 双抛图形”不变)，当 t0 时，抛物线 L关于直找 x0 的“L 双抛图形”如图 1 所示，直线 y3 与“L 双抛图形”有 3 个交点；若抛物线 L 关于直线 xt 的“L 双抛图形”与直线 y3 恰好有两个交点，结合图象，直接写出 t 的取值范围：0t4；当直线xt经过点A时，“L双抛图形”如图2所示，现将线段 AC 所在直线沿水平(x 轴)方向左右平移，交“L 双

21、抛图形”于点 P，交 x 轴于点 Q，满足 PQAC 时，求点 P的坐标 解：(1)令 y0 得 x24x30，解得 x1 或 x3，A(1，0)，B(3，0)抛物线的对称轴为直线 x2.将 x2 代入抛物线的解析式得 y1，C(2，1)(2)将 x0 代入抛物线的解析式，得 y3，抛物线与 y 轴交点坐标为(0，3)作直线 y3.由图象可知：直线 y3 与“L 双抛图形”有 3 个交点 将 y3 代入，得 x24x33，解得 x0 或 x4.由函数图象可知：当 0t4 时，抛物线 L 关于直线 xt 的“L 双抛图形”与直线 y3 恰好有两个交点 直线 xt 过点 A，t1.“L 双抛图形”

22、与 x 轴 第 18 页 的另一个交点为(1，0)易得“L 双抛图形”的解析式为 yx24x3（x1），x21（x1）.PQAC 且 PQAC，四边形 ACQP 为平行四边形 又点 C 的纵坐标为1，点 P 的纵坐标为1.将 y1 代入“L 双抛图形”的解析式，解得 x 22或 x 2.将 y1 代入“L 双抛图形”的解析式，解得 x2(与点 C 重合，舍去)或 x0.点 P 的坐标为(22，1)或(2，1)或(0，1)4.(2019河北)如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长度的速度运动 t(t0)秒，抛物线 yx2bxc 经过点 O 和点 P

23、.已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A(1，0)，B(1，5)，D(4，0)(1)求 c，b(用含 t 的代数式表示)；(2)当 4t5 时，设抛物线分别与线段 AB，CD 交于点M，N.在点 P 的运动过程中，你认为AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP 的值；求MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求 t 为何值时，S218；(3)在矩形 ABCD 的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是 第 19 页 整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围 解：(1)把 x0，y0 代入 yx2bxc，得 c0.再把 xt，y

24、0 代入 yx2bx，得 t2bt0，t0，bt.(2)不变.当 x1 时，y1t，故 M(1，1t)AMt1.又APt1，tanAMP1.AMP45.SS四边形AMNPSAPM SDPNS梯形NDAMSAPM 12(t4)(4t16)12(4t16)(t1)312(t1)(t1)32t2152t6.解32t2152t6218，得 t112，t292.4t5，t112舍去t92.(3)72t0)与 x 轴从左到右的交点为 B，A，过线段 OA 的中点M 作 MPx 轴，交双曲线 ykx(k0，x0)于点 P，且 OAMP12.(1)求 k 值；(2)当 t1 时，求 AB 长，并求直线 MP

25、与 L 对称轴之间的距离；(3)把 L 在直线 MP 左侧部分的图象(含与直线 MP 的交点)记为 G，用 t 表示图象 G 最高点的坐标；(4)设 L 与双曲线有个交点的横坐标为 x0，且满足4x06，通过 L 位置随 t 变化的过程，直接写出 t 的取值范围【思路点拨】(1)kxy；(2)当 t1 时，抛物线 L 的解析式确定，可求出所求的线段长；(3)图象 G 最高点不一定是函数的顶点，需分类讨论；(4)注意几个特殊位置【自主解答】解：(1)设点 P(x，y)，则 MPy，由 OA的中点为 M 知 OA2x，代入 OAMP12，得 2xy12，即 xy6.kxy6.(2)当 t1 时，令

26、 y0，得 012(x1)(x3)第 21 页 解得 x11，x23.抛物线的对称轴为直线 x1.B 在 A 左边，B(3，0)，A(1，0)AB4.M 为(12，0)MP 与 L 对称轴之间的距离为32.(3)A(t，0)，B(t4，0)，L 的对称轴为直线 xt2.又直线 MP 为 xt2，当 t2t2，即 t4 时，顶点(t2，2)就是 G 的最高点；当 t4 时，L 与 MP 的交点(t2，18t2t)就是 G 的最高点(4)5t8 2或 7t8 2.对比曲线，当 4x06 时，1y032，即 L 与双曲线在C(4，32)，D(6，1)之间的一段有个交点 由3212(4t)(4t4)，

27、得 t15，t27；第 22 页 由 112(6t)(6t4)，得 t28 2，t48 2.随着 t 的逐渐增大，L 位置随着点 A(t，0)向右平移，如图所示 当 t5 时，L 右侧过点 C；当 t8 27 时，L 右侧过点 D，即 5t8 2.当 8 2t7 时，L 右侧离开了点 D，而左侧未到点C，即 L 与该段无交点，舍去 当 t7 时，L 左侧过点 C；当 t8 2时，L 左侧过点D，即 7t8 2.根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为：(1)画图；(2)确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势；例如：直线 y2xb，其中待定系数是 b，则直线 y2xb与直线 y2x

28、是平行或重合的；直线 ykx1,其中待定系数是 k，则直线 ykx1是绕着固定点(0，1)旋转的；第 23 页 抛物线 yax25，其中待定系数是 a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；抛物线 yx2bxc，其中待定系数是 b，c，则可将一般式化为顶点式，再将抛物线 yx2上下左右平移得到(3)找临界点(找临界点的时候一般是将该点的坐标代入函数解析式中，求出待定系数的值，然后根据函数图象情况求出取值范围)(2019保定二模)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y12x2x2 与 y 轴交于点 A，顶点为点 B，点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称(1)求直线 BC 的解析

29、式；(2)点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 4.将抛物线在点 A，D 之间的部分(包含点 A，D)记为图象 G.若图象 G 向下平移 t(t0)个单位后与直线 BC 只有一个公共点，求 t 的取值范围 解：(1)抛物线 y12x2x2 与 y 轴交于点 A，点 A 的坐标为(0，2)第 24 页 y12x2x212(x1)232，抛物线的对称轴为直线 x1，顶点 B 的坐标为(1，32)又点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，点 C 的坐标为(2，2)，且点 C 在抛物线上 设直线 BC 的解析式为 ykxb.直线 BC 经过点 B(1，32)和点 C(2，2)，kb32，2kb2

30、，解得k12，b1.直线 BC 的解析式为 y12x1.(2)在抛物线 y12x2x2 中，当 x4 时，y6，点 D 的坐标为(4，6)在直线 y12x1 中，当 x0 时，y1；当 x4 时，y3，点 E 的坐标为(0，1)，点 F 的坐标为(4，3)设点 A 平移后的对应点为点 A，点 D 平移后的对应点为点 D.当图象 G 向下平移至点 A与点 E 重合时，点 D在直线 BC 上方，此时 t1.当图象 G 向下平移至点 D与点 F 重合时，点 A在直线 第 25 页 BC 下方，此时 t3.结合图象可知，符合题意的 t 的取值范围是 1t3.1在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y

31、mx2(mn)xn(m0)的图象与 y 轴正半轴交于点 A.(1)求证：该二次函数的图象与 x 轴必有两个交点；(2)设该二次函数的图象与 x 轴的两个交点中右侧的交点为点 B，若ABO45，将直线 AB 向下平移 2 个单位长度得到直线 l，求直线 l 的解析式；(3)在(2)的条件下，设 M(p，q)为二次函数图象上的一个动点，当3p0 时，点 M 关于 x 轴的对称点都在直线 l的下方，求 m 的取值范围 解：(1)令 mx2(mn)xn0，则(mn)24mn(mn)2.二次函数图象与 y 轴正半轴交于点 A，A(0，n)，且 n0.又m0，mn0.(mn)20.该二次函数的图象与 x

32、轴必有两个交点(2)令 mx2(mn)xn0，解得 x11，x2nm.由(1)得nm0，故 B 的坐标为(1，0)又ABO45，A(0，1)，即 n1.第 26 页 则可求得直线 AB 的解析式为 yx1.再向下平移 2 个单位长度可得到直线 l：yx1.(3)由(2)得二次函数的解析式为 ymx2(m1)x1.M(p，q)为二次函数图象上的一个动点，qmp2(m1)p1.点 M 关于 x 轴的对称点 M的坐标为(p，q)M点在二次函数 yx2(m1)x1 上 当3p0 时，点 M 关于 x 轴的对称点都在直线 l的下方，当 p0 时，q1；当 p3 时，q12m4.结合图象可知：(12m4)

33、2，解得 m12.m 的取值范围为12m0.2(2019临沂)如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，点 B 的坐标为(1，0)抛物线 yx2bxc 经过 A，B 两点(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点，过点 P 作 PD垂直 x 轴于点 D，交线段 AB 于点 E，使 PE12DE.求点 P 的坐标；在直线 PD 上是否存在点 M，使ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 M 的坐标；若不存在，第 27 页 请说明理由 解：(1)B(1，0)，OB1，OC2OB2，C(2，0)，BC3.在 RtABC 中，tanABC

34、2，ACBC2.AC2BC6.A(2，6)把 A(2，6)和 B(1，0)代入 yx2bxc，得42bc6，1bc0，解得b3，c4.抛物线的解析式为 yx23x4.(2)A(2，6)，B(1，0)，易得 AB 的解析式为 y2x2，设 P(x，x23x4)，则 E(x，2x2)PE12DE，x23x4(2x2)12(2x2)，解得 x1(舍)或 x1.P(1，6)M 在直线 PD 上，且 P(1，6)，设 M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2，BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245.分三种情况：第 28 页 i)当AMB90时，有 AM2BM2AB2，1(y6)

35、24y245，解得 y3 11.M(1，3 11)或(1，3 11)；ii)当ABM90时，有 AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得 y1.M(1，1)；iii)当BAM90时，有 AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得 y132.M(1，132)综上所述，点 M 的坐标为(1，3 11)或(1，3 11)或(1，1)或(1，132)3(2019自贡)如图，抛物线 yax2bx3 过 A(1，0)，B(3，0)，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为2，点P(m，n)是线段 AD 上的动点(1)求直线 AD 及抛物线的解析式；(2)过点 P 的直线垂直于 x 轴

36、，交抛物线于点 Q，求线段PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由 解：(1)把 A(1，0)，B(3，0)代入函数解析式，得 第 29 页 ab30，9a3b30，解得a1，b2.抛物线的解析式为 yx22x3.当 x2 时，y(2)22(2)3，解得 y3，即 D(2，3)设直线 AD 的解析式为 ykxd，将 A(1，0)，D(2，3)代入，得 kd0，2kd3，解得k1，d1.直线 AD 的解析式为 yx1.(2)点

37、 P 在线段 AD 上，点 Q 在抛物线上，点 P(m，m1)，Q(m，m22m3)，l(m1)(m22m3)m2m2(m12)294.10，当 m12时，l最大94，此时 PQ 最长(3)由(2)可知，0PQ94.当 PQ 为边时，DRPQ 且 DRPQ.R 是整点，D(2，3)，PQ 是正整数 PQ1 或 PQ2.第 30 页 当 PQ1 时，DR1，此时点 R 的横坐标为2，纵坐标为312 或314，R(2，2)或 R(2，4)；当 PQ2 时，DR2，此时点 R 的横坐标为2，纵坐标为321 或325，R(2，1)或 R(2，5)当 PQ 为对角线时，设点 R 坐标为(x，y)，由平行

38、四边形的对角线互相平分可得，线段 PQ，DR 的中点相同，mmx（2），m22m3m1y（3），解得x2m2，ym23m1.点 R 的坐标为(2m2，m23m1)R 是整点，2m1，当 m1 时，点 R 的坐标为(0，3)；当 m0 时，点 R 的坐标为(2，1)综上所述，存在满足条件的 R 点，它的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)4(2019保定一模)已知抛物线 l：y(xh)24(h 为常数)(1)如图 1，当抛物线 l 恰好经过点 P(1，4)时，l 与 x轴从左到右的交点为 A，B，与 y 轴交于点 C.求 l 的解析式，并写出 l 的对称轴

39、及顶点坐标；在 l 上是否存在点 D，使 SABDSABC，若存在，请 第 31 页 求出 D 点坐标，若不存在，请说明理由；点M是 l上任意一点，过点 M作ME垂直y轴于点E，交直线 BC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 M 的坐标；(2)设 l 与双曲线 y9x有个交点横坐标为 x0，且满足3x05，通过 l 位置随 h 变化的过程，直接写出 h 的取值范围 解：(1)将 P(1，4)代入，得(1h)244，解得 h1.抛物线的解析式为 y(x1)24.抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为(1，4)将 x0 代入，得 y3，

40、点 C 的坐标为(0，3)OC3.SABDSABC，点 D 的纵坐标为 3 或3.当 y3 时，(x1)243，解得 x2 或 x0.点 D 的坐标为(0，3)或(2，3)当 y3 时，(x1)243，解得 x1 7或 x1 7.点 D 的坐标为(1 7，3)或(1 7，3)综上所述，点 D 的坐标为(0，3)或(2，3)或(1 7，3)或(1 7，3)时，SABDSABC.EOFOEDOFD90，四边形 OEDF 为矩形DOEF.第 32 页 依据垂线段的性质可知：当 ODBC 时，OD 有最小值，即 EF 有最小值 把 y0 代入抛物线的解析式，得(x1)240，解得 x1 或 x3，B(

41、3，0)OBOC.又ODBC，CDBD.点 D 的坐标为(32，32)将 y32代入，得(x1)2432，解得 x1021或 x1021.点 M 的坐标为(1021，32)或(1021，32)(2)y(xh)24，抛物线的顶点在直线 y4 上 对双曲线，当 3x05 时，3y095，即 l 与双曲线在 P(3，3)，Q(5，95)之间的一段有个交点 当抛物线经过点 P 时，(3h)243，解得 h2 或 h4.当抛物线经过点Q时，(5h)2495，解得h5555 第 33 页 或 h5555.随 h 的逐渐增加，l 的位置随之向右平移，如图所示 当 h2 时，l 右侧过点 P；当 h55554

42、 时，l 右侧过点 Q，即 2h5555.当 5555h4 时，l 右侧离开了点 Q，而左侧未到达点P，即 l 与该段无交点，舍去 当 h4 时，l 左侧过点 P；当 h5555时，l 左侧过点Q，即 4h5555.综上所述，2h5555或 4h5555.第 34 页 题型 4 函数的应用与决策 (2019邯郸模拟改编)某商场经销一种商品，已知其每件进价为40元 现在每件售价为70元，每星期可卖出500件 该商场通过市场调查发现：若每件涨价 1 元，则每星期少卖出10件；若每件降价1元，则每星期多卖出m(m为正整数)件 设调整价格后每星期的销售利润为 W 元(1)设该商品每件涨价 x(x 为正

43、整数)元：若 x5，则每星期可卖出 450 件，每星期的销售利润为 15_750 元；当 x 为何值时，W 最大？W 的最大值是多少？(2)设该商品每件降价 y(y 为正整数)元，写出 W 与 y 的函数关系式；并通过计算判断：当 m10 时每星期的销售利润能否达到(1)中 W 的最大值；(3)若每件降价 5 元时的每星期销售利润不低于每件涨价15 元时的每星期销售利润，求 m 的取值范围【思路点拨】(1)涨价情况下，就是一般的销售问题，根据题意列出函数解析式，结合函数性质得到问题的解；(2)降价时，与(1)同理列出关系式，运用函数的性质解决问题；(3)比较两种方式的利润得出参数 m 的取值范

44、围【自主解答】解：(1)根据题意，得 W(7040 x)(50010 x)10 x2200 x15 000 第 35 页 10(x10)216 000.W 是 x 的二次函数，且100，当 x10 时，W 最大，W最大16 000.答：当 x10 时，W 最大，最大值为 16 000.(2)W(7040y)(500my)my2(30m500)y15 000.当 m10 时，W10y2200y15 000 10(y102)16 000.W 是 y 的二次函数，且100，当 y1 时，W 最大，W最大14 790.14 79016 000，销售利润不能达到(1)中 W 的最大值(3)降价 5 元时

45、的销售利润为 W(70405)(5005m)125m12 500；涨价 15 元时的销售利润为 W(704015)(5001015)15 750，根据题意，得 125m12 50015 750.解得 m26.答：m 的取值范围是 m26.(2019河北T2612分)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中 x0.每件的售价为 18 万元，每件的成本 y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 x(件)成反比经市场调研发现，月需求量x 与月份 n(n 为整数，1n12)符合关系式 x2n22kn 第 36 页 9(k3)(k 为常数)，且得到了表中的数据.月

46、份 n(月)1 2 成本 y(万元/件)11 12 月需求量x(件/月)120 100 (1)求 y 与 x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元；(2)求 k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年 12 个月中，若第 m 个月和第(m1)个月的利润相差最大，求 m.【思路点拨】(1)由题意设出 y 与 x 满足的关系式，代入表中数据进行求值；说明一件产品的利润能否是 12 万元时，先假设能，解出未知数的值，看是否符合实际意义；(2)代入求值得 k，推断是否存在某个月既无盈利也不亏损，与(1)类似的方法；(3)利用作差法，将第 m 个月和第(m1)个月的利润差表

47、示出来，利用函数性质求解【自主解答】解：(1)由题意设 yabx，则 第 37 页 11ab120，12ab100.解得a6，b600.y6600 x.由题意，若能，则 1218(6600 x)，即600 x0.x0，600 x0.不可能(2)将 n1，x120 代入 x2n22kn9(k3)，得 12022k9k27.解得 k13.将 n2，x100 代入 x2n226n144 也符合 k13.由题意，得 186600 x，解得 x50.502n226n144，即 n213n470.(13)241470，方程无实根 不存在某个月既无盈利也不亏损(3)第 m 个月的利润为 Wx(18y)18x

48、x(6600 x)12(x50)24(m213m47)第(m1)个月的利润为W24(m1)213(m1)4724(m211m35)若 WW，WW48(6m)，m 取最小值 1，W 第 38 页 W取最大值，最大值为 240 万元 若 WW，WW48(m6)，m112，m 取最大值 11，WW 取最大值，最大值为 240 万元 m1 或 11.初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数在不确定建立哪种数学模型时，不要急于把题进行归类，要一个一个问题逐个突破，解答完成后再从头到尾检查一遍，看有没有思维上的漏洞另外在应用函数模型解决问题时，常常和方程、不等式结合起来，所以要注意这种综合性的考

49、查要点 1某营业厅对手机话费业务有如下的优惠：优惠规则：用户手机账户原有话费不能低于 240 元；办理业务时，首先从手机账户中一次性扣除 240 元，并把这 240 元抵为 300 元话费，然后将这 300 元话费分 12 次，在每月的 15 号等额返还到手机账户；每月 1 号从手机账户中扣除话费 49 元，当月不再扣除其他任何费用；第 39 页 每月 1 号手机账户的话费余额不足以扣除 49 元时，视为欠费，则当月不再返还等额的话费 小明的手机账户中原有话费 400 元，办理了这项优惠业务，设小明的手机账户中每个月末的话费余额是 y(元)，月数为 x(个)，则(1)每个月等额返还的话费是 2

50、5 元，第 2 个月末的话费余额是 112 元；(2)求 y 关于 x 的函数关系式；(3)若不续费，则第几个月手机会欠费？解：(2)由题意，得 y40024049x25x 16024x.(3)若不续费，当月末的话费余额不足 49 元时，下个月则会欠费，有 16024x49，解得 x458，第 5 个月末的话费余额不足 49 元 第 6 个月手机会欠费 2(2019黑龙江)某市制米厂接到加工大米任务，要求 5 天内加工完 220 吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止设 第 40 页 甲、乙