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1、 .下载可编辑.总共三部分：一、初中数学里常用的几种经典解题方法 二、中考经典错题集 三、综合知识讲解 初中数学里常用的几种经典解题方法介绍 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学
2、方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研
3、究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。.下载可编辑.6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，
4、构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为
5、了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有 n 个/至多有(n一 1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积
6、，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至
7、于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。10.客观性题的解题方法 .下载可编辑.选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空
8、题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素
9、法。（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法.下载可编辑.第二章 应知应会知识点 2.1 代数篇 一 数与式（一）有理数 1 有理数的分类 2 数轴的定义与应用 3 相反数 4 倒数 5 绝对值 6 有理数的大小比较 7 有理数的运算（二）实数 8 实数的分类
10、 9 实数的运算 10 科学记数法 11 近似数与有效数字 12 平方根与算术根和立方根 13 非负数 14 零指数次幂 负指数次幂（三)代数式 .下载可编辑.15 代数式 代数式的值 16 列代数式（四）整式 17 整式的分类 18 整式的加减 乘除的运算 19 幂的有关运算性质 20 乘法公式 21 因式分解（五）分式 22 分式的定义 23 分式的基本性质 24 分式的运算（六）二次根式 25 二次根式的意义 26 根式的基本性质 27 根式的运算 二 方程和不等式（一）一元一次方程 28 方程 方程的解的有关定义 29 一元一次的定义 30 一元一次方程的解法 31 列方程解应用题的一
11、般步骤（二）二元一次方程 32 二元一次方程的定义 33 二元一次方程组的定义 34 二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法）35 二元一次方程组的应用（三）一元二次方程 36 一元二次方程的定义 .下载可编辑.37 一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法）38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式 39 一元二次方程的应用（四）分式方程 40 分式方程的定义 41 分式方程的解法（转化为整式方程 检验）42 分式方程的增根的定义 43 分式方程的应用（五）不等式和不等式组 44 不等式（组）的有关定义 45 不等式的基本性质 46 一元一次不等式的解法 47 一
12、元一次不等式组的解法 48 一元一次不等式（组）的应用 三 函数（一）位置的确定与平面直角坐标系 49 位置的确定 50 坐标变换 51 平面直角坐标系内点的特征 52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置 53 对称问题：P(x,y)Q(x,-y）关于 x 轴对称 P(x,y)Q(-x,y)关于 y 轴对称 P(x,y)Q(-x,-y)关于原点对称 54 变量 自变量 因变量 函数的定义 55 函数自变量 因变量的取值范围（使式子有意义的条件 图象法）56 函数的图象：变量的变化趋势描述（二）一次函数与正比例函数 57 一次函数的定义与正比例函数的定义 58 一次函数的图象：直线，画法
13、 .下载可编辑.59 一次函数的性质（增减性）60 一次函数 y=kx+b(k0)中 k b 符号与图象位置 61 待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）62 一次函数的平移问题 63 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系（图象法）64 一次函数的实际应用 65 一次函数的综合应用（1）一次函数与方程综合（2）一次函数与其它函数综合（3）一次函数与不等式的综合（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数 66 反比例函数的定义 67 反比例函数解析式的确定 68 反比例函数的图象：双曲线 69 反比例函数的性质（增减性质）70 反比例函数的实际应用 71 反比例函数
14、的综合应用（四个方面 面积问题）（四）二次函数 72 二次函数的定义 73 二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）74 二次函数解析式的确定（待定系数法）75 二次函数的图象：抛物线 画法（五点法）76 二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）77 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)中 a b c 与特殊式子的符号与图象位置关系 78 求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值 79 二次函数的交点问题 .下载可编辑.80 二次函数的对称问题 81 二次函数的最值问题（实际应用）82 二次函数的平移问题 83 二次函数的实际应用 84 二次函数的综合应用（1）二次函数与方程综合（2）二
15、次函数与其它函数综合（3）二次函数与不等式的综合（4）二次函数与几何综合 2.2 几何篇 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行 10 内错角相等 两直线平行 11 同旁内角互补 两直线行 12 两直线平行 同位角相等 13 两直线平行 内错角相等 14 两直线平行 同旁内角互补 15 三角形两边的和
16、大于第三边 16 三角形两边的差小于第三边 17 三角形三个内角的和等 180 18 直角三角形的两个锐角互余 .下载可编辑.19 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边 对应角相等 22 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)23 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)25 有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)26 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
17、 28 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 31 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合 33 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角
18、三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 .下载可编辑.45 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 46 直角三角形两直角边a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 即 a+b=c 47 如
19、果三角形的三边长a b c 有关系a+b=c 那么这个三角形是直角三角形 48 四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)180 51 任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形的对角相等 53 平行四边形的对边相等 54 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形的对角线互相平分 56 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形的四个角都是直角 61 矩形的对角线相等 62
20、 有三个角是直角的四边形是矩形 63 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形的四条边都相等 65 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半 即 S=(ab)2 67 四边都相等的四边形是菱形 68 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 70 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 71 关于中心对称的两个图形是全等的 72 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心 .下载可编辑.平分 73 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一 点平分 那么这两个图
21、形关于这一点对称 74 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 79 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 80 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 81 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 82 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半 L=(a+b)S=Lh 83 如果 a:b=c:d 那么 ad=bc 如果 ad=bc 那么 a:b=c:d 84 如果 a/b
22、=c/d 那么(ab)/b=(cd)/d 85 如果 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)那么 (a+c+m)/(b+d+n)=a/b 86 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 87 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 88 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交 所构成的三角形与原三角形相似 .下载可编辑.91 两角对应相等 两三
23、角形相似(ASA)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似(SAS)94 三边对应成比例 两三角形相似(SSS)95 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 96 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 相似三角形周长的比等于相似比 98 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等 于它
24、的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 不在同一直线上的三个点确定一条直线 110 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 平分弦
25、(不是直径)的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 112 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 .下载可编辑.114 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等 115 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 118 半
26、圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所 对的弦是直径 119 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 120 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 121 直线 L 和O 相交 dr 直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 dr 122 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的
27、两组对边的和相等 128 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 130 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 131 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 .下载可编辑.的积相等 134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr)两圆内切 d=R-r(Rr)两圆
28、内含 dR-r(Rr)136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 把圆分成 n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)180/n 140 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积3a/4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的
29、角 由于这些角的和应为 360 因此 k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:L=nR/180 145 扇形面积公式:S 扇形=nR/360=LR/2 146 内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r).下载可编辑.第三章 例题讲解【例】如图10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。（1）求证：BEFCEG（2）当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx
30、，DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？图 10 MBDCEFGxA .下载可编辑.解析过程及每步分值 1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDGP 1 分 所以,BGCEGBFE 所以BEFCEG 3 分（2）BEFCEG与的周长之和为定值 4 分 理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH 因此，BEFCEG与的周长之和等于BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 6 分 理由二：由AB5，AM4，可知 在 RtBEF与
31、 RtGCE中，有：4343,5555EFBEBFBEGEECGCCE，所以，BEF的周长是125BE，ECG的周长是125CE 又BECE10，因此BEFCEGVV与的周长之和是 24 6 分（3）设BEx，则43,(10)55EFxGCx 所以211 43622(10)522 55255yEF DGxxxx gg 8 分 配方得：2655121()2566yx 所以，当556x 时，y有最大值 9 分 最大值为1216 10 分 AMxHGFEDCB .下载可编辑.【例】如图 二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点 A B C 且 OA1 OBOC3 （1）求此二次函数的解析式（2）
32、写出顶点坐标和对称轴方程（3）点 M N 在yax2bxc的图像上(点 N 在点 M 的右边)且 MNx轴 求以 MN 为直径且与x轴相切的圆的半径 .下载可编辑.解析过程及每步分值 （1）依题意(10)(3 0)(03)ABC，分别代入2yaxbxc 1 分 解方程组得所求解析式为223yxx 4 分（2）2223(1)4yxxx 5 分 顶点坐标(14)，对称轴1x 7 分（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1)rr，8 分 把N点代入223yxx得1172r 9 分 同理可得另一种情形1172r 圆的半径为1172 或1172 10 分 .下载可编辑.【例 3】已知两个关
33、于x的二次函数1y与当xk时，217y；且二次函数2y的图象的对称轴是直222112()2(0)612yya xkkyyxx，线1x （1）求k的值；（2）求函数12yy，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y的图象与2y的图象是否有交点？请说明理由 .下载可编辑.解析过程及每步分值（1）由22112()2612ya xkyyxx，得22222121()612()2610()yyyyxxa xkxxa xk 又因为当xk时，217y，即261017kk，解得11k，或27k （舍去），故k的值为1 （2）由1k，得2222610(1)(1)(26)10yxxa xa xaxa，所以函数
34、2y的图象的对称轴为262(1)axa，于是，有2612(1)aa，解得1a ，所以2212212411yxxyxx，（3）由21(1)2yx，得函数1y的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，；由22224112(1)9yxxx，得函数2y的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(19)，；故在同一直角坐标系内，函数1y的图象与2y的图象没有交点 .下载可编辑.【例 4】如图,抛物线24yxx与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P 是直线 l 上一动点.（1）求点 A 的坐标;（2）以点 A
35、、B、O、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标;（3）设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为 S,点 P 的横坐标为 x,当46 268 2S时,求 x 的取值范围.下载可编辑.解析过程及每步分值 解：（1）4)2(422xxxy A(-2,-4)（2）四边形 ABP1O 为菱形时，P1(-2,4)四边形 ABOP2为等腰梯形时，P1(5452，)四边形 ABP3O 为直角梯形时，P1(5854，)四边形 ABOP4为直角梯形时，P1(51256，)（3）由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8,所以直线
36、l的函数关系式是y=-2x 当点 P 在第二象限时，x0,过点 A、P 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A、P 则四边形 POAA 的面积 44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO AAB 的面积42421BAAS)0(84xxSSSBAAAAPO 286264S，286264SS 即2868426484xx 21242223Sx x 的取值范围是21242223x .下载可编辑.【例 4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的
37、利润2y与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？.下载可编辑.解析过程及每步分值 解：（1）设1y=kx,由图所示，函数1y=kx的图像过（1，2），所以 2=1 k，2k 故利润1y关于投资量x的函数关系式是1y=x2；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y=2ax，由图 12-所示，函数2y=2ax的图像过（2，2），所以222 a，21a 故利润2y关于投资量x的函数关系式是221xy；（2）设这位专业户投入种
38、植花卉x万元（80 x），则投入种植树木（x8）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得 z=)8(2x+221x=162212 xx=14)2(212x 当2x时，z的最小值是 14；因为80 x，所以622x 所以36)2(2x 所以18)2(212x 所以32141814)2(212x，即32z，此时8x 当8x时，z的最大值是 32.下载可编辑.【例 5】如图，已知(4,0)A，(0,4)B，现以 A 点为位似中心，相似比为 9:4，将 OB 向右侧放大，B 点的对应点为 C（1）求 C 点坐标及直线 BC 的解析式;（2）一抛物线经过 B、C 两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛
39、物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 AB 距离为3 2的点 P .下载可编辑.解析过程及每步分值 解:（1）过 C 点向 x 轴作垂线，垂足为 D，由位似图形性质可知：ABOACD，49AOBOADCD 由已知(4,0)A，(0,4)B可知：4,4AOBO 9ADCDC 点坐标为(5,9)直线 BC 的解析是为：409450yx 化简得：4yx（2）设抛物线解析式为2(0)yaxbxc a，由题意得：24925540cabcbac，解得：111144abc 222125454abc 解得抛物线解析式为2144y
40、xx或22144255yxx 又22144255yxx的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去 满足条件的抛物线解析式为244yxx（准确画出函数244yxx图象）.下载可编辑.（3）将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，设 P 到 直线 AB 的距离为 h，故 P 点应在与直线 AB 平行，且相距3 2的上下两条平行直线1l和2l上 由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为3 2 如图，设1l与 y 轴交于 E 点，过 E 作 EFBC 于 F 点，在 RtBEF 中3 2EFh，45EBFABO o，6BE 可以求得直线1l与 y 轴交点坐
41、标为(0,10)同理可求得直线2l与 y 轴交点坐标为(0,2)两直线解析式1:10lyx；2:2lyx 根据题意列出方程组：24410yxxyx；2442yxxyx 解得：11616xy；2219xy；3320 xy；4431xy 满足条件的点 P 有四个，它们分别是1(6,16)P，2(1,9)P，3(2,0)P，4(3,1)P.下载可编辑.【例 6】如图，抛物线21:23Lyxx 交x轴于 A、B 两点，交y轴于 M 点.抛物线1L向右平移 2 个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于 C、D 两点.（1）求抛物线2L对应的函数表达式；（2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点 N，使
42、以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是抛物线1L上的一个动点（P 不与点 A、B 重合），那么点 P 关于原点的对称点 Q 是否在抛物线2L上，请说明理由.下载可编辑.解析过程及每步分值 .下载可编辑.【例 7】如图，在矩形ABCD中，9AB，3 3AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？
43、（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？D Q C B P R A B A D C（备用图 1）B A D C（备用图 2）.下载可编辑.解析过程及每步分值 解：（1）如图，Q四边形ABCD是矩形，ABCDADBC，又9AB，3 3AD，90Co，9CD，3 3BC 3tan3BCCDBCD，30CDBo PQBDQ，30CQPCDB o（2）如图 1，由轴对称的性质可知，RPQCPQ，RPQCPQ，RPCP 由（1）知30CQPo，60RPQCPQ o，60RPBo，2RPBP CPxQ，PRx，3 3PBx 在RPB中，根据题意得：2(3 3)xx
44、，解这个方程得：2 3x （3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，02 3x，21133222CPQSCPCQxxxg，RPQCPQQ，当02 3x时，232yx 当R在矩形ABCD的外部时（如图 2），2 33 3x，在RtPFB中，60RPBoQ，22(3 3)PFBPx，又RPCPxQ，36 3RFRPPFx，在RtERF中，30EFRPFB oQ，36ERx D Q C B P R A（图 1）D Q C B P R A（图 2）F E .下载可编辑.213 31818 322ERFSERFRxx，RPQERFySSQ，当2 33 3x时，231818 3yxx 综上所述，y与x
45、之间的函数解析式是：223(02 3)231818 3(2 33 3)xxyxxx 矩形面积9 3 327 3，当02 3x时，函数232yx随自变量的增大而增大，所以y的最大值是6 3，而矩形面积的727的值727 37 327，而7 36 3，所以，当02 3x时，y的值不可能是矩形面积的727；当2 33 3x时，根据题意，得：231818 37 3xx，解这个方程，得3 32x，因为3 323 3，所以3 32x 不合题意，舍去 所以3 32x 综上所述，当3 32x 时，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的727 .下载可编辑.第四章 兴趣练习 4.1 代数部分 1.已知
46、：抛物线2yaxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程2540 xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x （1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由 y x B D O A E C .下载可编辑.2.已知，如图 1，过点01E，作平行于x轴的直线
47、l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1 和 4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、（1）求点ABF、的坐标；（2）求证：CFDF；（3）点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 E D C A F B x O y l E D C O F x y（图 1）备用图 .下载可编辑.3.已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点
48、（与点OA、不重合），现将POC沿PC翻折 得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得 直线PEPF、重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OPxADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点PCD、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 C y E B F D A P x O 图 A B D F E C O P x y 图 .下载可编辑.4.如图，已知抛物线243yxx交x
49、轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由 O D B C A x y E .下载可编辑.5.如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称
50、轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标 y C A M O B x 图 y C A O B x 图 .下载可编辑.二、动态几何 6.如图，在梯形ABCD中，906DCABAAD，厘米，4DC 厘米，BC的坡度3 4i ，动点P从A出发以 2 厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以 3 厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之