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1、第三章第三章 流体运动学流体运动学 流体运动学流体运动学是研究流体运动而不涉及力的规律及其在工程上的是研究流体运动而不涉及力的规律及其在工程上的应用。应用。凡表征流体运动的各种物理量，如速度、加速度等，都称流体凡表征流体运动的各种物理量，如速度、加速度等，都称流体的的运动要素运动要素。研究流体运动就是研究流体的运动要素随时间和空间的变化以研究流体运动就是研究流体的运动要素随时间和空间的变化以及建立它们之间的关系式。及建立它们之间的关系式。本章暂不涉及引起流体运动的动力要素本章暂不涉及引起流体运动的动力要素力。力。第一节第一节 描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法描述流体运动的两种方法：拉
2、格朗日法和欧拉法 拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法 着着眼眼于于流流体体质质点点，跟跟踪踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着着眼眼于于空空间间点点，研研究究质质点点流流经经空空间间各各固固定定点的运动特性点的运动特性是描述液体运动是描述液体运动常用的一种方法。常用的一种方法。连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流体连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介质。质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介质。第一节第一节 描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法描述流体运动的
3、两种方法：拉格朗日法和欧拉法 连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流体连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介质。质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介质。要从宏观上研究流体的运动规律，必须在数学上对要从宏观上研究流体的运动规律，必须在数学上对流体质点流体质点的的运动特征给出描述。描述流体质点运动，常采用两种方法：运动特征给出描述。描述流体质点运动，常采用两种方法：拉拉格朗日法（格朗日法（Lagrange）法和欧拉法（）法和欧拉法（Euler）。一一 拉格朗日法：拉格朗日法：拉格朗日法是从分析流体质点的运
4、动着手，设法描述出每一拉格朗日法是从分析流体质点的运动着手，设法描述出每一个流体质点自始至终的过程，即它们的位置随时间的变化。个流体质点自始至终的过程，即它们的位置随时间的变化。拉格朗日法是一种质点系法，是理论力学中质点模型在流体拉格朗日法是一种质点系法，是理论力学中质点模型在流体运动上的直接应用，和研究运动上的直接应用，和研究固体质点系固体质点系的方法是一样的。的方法是一样的。由于质点是连续分布的，要研究每一个质点的运动，必须用由于质点是连续分布的，要研究每一个质点的运动，必须用某种数学方法来区分不同的流体质点。通常采用的方法是以某种数学方法来区分不同的流体质点。通常采用的方法是以起始时刻起
5、始时刻t=t0时，各质点的空间坐标（时，各质点的空间坐标（a,b,c）作为区别不同）作为区别不同质点的标志。质点的标志。由于每一个质点在由于每一个质点在t=t0时刻的坐标值（时刻的坐标值（a,b,c）不一样，所以）不一样，所以每一个质点在任何时刻的空间位置，在直角坐标系中将是每一个质点在任何时刻的空间位置，在直角坐标系中将是a,b,c,t的的单值连续函数单值连续函数。式中式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同的流体质点。代表不同的流体质点。(1)对于某个确定的流体质点，对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而为常数，而t
6、为变量，为变量，则得到流体质点的运动规律。则得到流体质点的运动规律。(2)对于某个确定的时刻，对于某个确定的时刻，t为常数，而为常数，而a、b、c为变量，得到为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。某一时刻不同流体质点的位置分布。(3)若（若（a，b，c）、）、t均为变数，可得任意流体质点在任何时均为变数，可得任意流体质点在任何时刻的运动情况，方程式所表达的是任意质点运动的轨迹。刻的运动情况，方程式所表达的是任意质点运动的轨迹。通常称通常称a、b、c为自变量，它们和为自变量，它们和t称为拉格朗日变数。称为拉格朗日变数。流体质点的速度流体质点的速度流体质点的加速度流体质点的加速度二二 欧拉法
7、：欧拉法：运动流体占据的空间，称运动流体占据的空间，称流场流场。欧拉法以流场为研究对象，。欧拉法以流场为研究对象，以空间点为着眼点。以空间点为着眼点。欧拉法是从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动欧拉法是从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化着手，设法描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。的规律。欧拉法又称欧拉法又称流场法流场法。采用欧拉法，就可利用场论的知识。如。采用欧拉法，就可利用场论的知识。如果场的物理量不随时间而变化，为果场的物理量不随时间而变化，为稳定场稳定场；随时间而变化，；随时间而变化，则为则为非稳定场非
8、稳定场。在工程流体力学中，将上述的流体运动分别。在工程流体力学中，将上述的流体运动分别称称恒定流和非恒定流恒定流和非恒定流。如果场的物理量不随位置而变化，为。如果场的物理量不随位置而变化，为均匀场均匀场；随位置而变化，则为；随位置而变化，则为非均匀场非均匀场。二二 欧拉法：欧拉法：运动流体占据的空间，称运动流体占据的空间，称流场流场。欧拉法以流场为研究对象，。欧拉法以流场为研究对象，以空间点为着眼点。以空间点为着眼点。欧拉法是从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动欧拉法是从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化着手，设法描述出每一个
9、空间点上流体质点运动随时间变化的规律。的规律。x,y,z都应看作自变量，它们和都应看作自变量，它们和t一起都被称为欧拉变数。一起都被称为欧拉变数。流体质点的加速度由两部分组成，一是由于时间过程而使空间流体质点的加速度由两部分组成，一是由于时间过程而使空间点上的质点速度发生变化的加速度，称点上的质点速度发生变化的加速度，称当地加速度当地加速度（或时变加或时变加速度速度）；另一是流动过程中质点由于位置占据不同的空间点而）；另一是流动过程中质点由于位置占据不同的空间点而发生速度变化的加速度，称发生速度变化的加速度，称迁移加速度迁移加速度（或（或位变加速度位变加速度）。）。为全加速度，又称随体导数或质
10、点导数，即流为全加速度，又称随体导数或质点导数，即流 体质体质 点速度随时间的变化率。点速度随时间的变化率。为当地加速度，又称时变导数。为当地加速度，又称时变导数。为迁移加速度，又称位变导数。为迁移加速度，又称位变导数。工程流体力学中常用欧拉法。（工程流体力学中常用欧拉法。（1）在大多数的实际工程问题中，）在大多数的实际工程问题中，只要知道在通过空间任意固定点时有关的流体质点诸运动要素只要知道在通过空间任意固定点时有关的流体质点诸运动要素随时间的变化。（随时间的变化。（2）在欧拉法中，数学方程的求解较拉格朗日）在欧拉法中，数学方程的求解较拉格朗日法为易。（法为易。（3）量测流体运动要素，用欧拉
11、法时可将测试仪固定）量测流体运动要素，用欧拉法时可将测试仪固定在指定的空间点上，这种量测方法是容易做到的。在指定的空间点上，这种量测方法是容易做到的。拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a,b,c,t）,y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)。（。（1）由于流体运动的复杂，要想求）由于流体运动的复杂，要想求出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多）在大多数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹速度等的变化。
12、（速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。三三 迹线迹线 流线流线 脉线脉线描述流体运动，除了用数学式表示外，还常用几何图形来表示，描述流体运动，除了用数学式表示外，还常用几何图形来表示，即描绘出一些线来表明流体运动的图景。即描绘出一些线来表明流体运动的图景。1迹线迹线 与拉格朗日法相联系与拉格朗日法相联系 2 是一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹是一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹线，它给出同一质点在不同时刻的速
13、度方向。线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向。拉格朗日法拉格朗日法，给定（，给定（a,b,c）就可以得到以）就可以得到以x,y,z表示的该流表示的该流体质点（体质点（a,b,c）的迹线。）的迹线。消去时间消去时间t后，即得在直角坐标系中的迹线方程，为一迹线族。后，即得在直角坐标系中的迹线方程，为一迹线族。给定（给定（a,b,c）就可以得到以）就可以得到以x,y,z表示的该流体质点（表示的该流体质点（a,b,c）的迹线。）的迹线。1 迹线迹线欧拉法欧拉法迹线的微分方程迹线的微分方程或或建立迹线方程：迹线微小段建立迹线方程：迹线微小段ds即代表流体质点在即代表流体质点在dt时段内的位时段内的位移
14、，移，dx,dy,dz代表代表ds在坐标轴上的投影，所以在坐标轴上的投影，所以2流线流线速度场是矢量场，可以用它的矢线来形象地描述它。速度场是矢量场，可以用它的矢线来形象地描述它。在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的。在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的。速度场的矢线就是流线。速度场的矢线就是流线。流线是同一时刻不同质流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点出该时刻不同流体质点的速度方向。的速度方向。在流线在流线AB上取一微小段上取一微小段ds，速度矢量，速度矢量u与流线微小段与流线微小段ds重合，方向余弦为重合，方向余弦为流线的微分方程流线的微分方
15、程流线是指某一指定时刻的曲线，所以时间流线是指某一指定时刻的曲线，所以时间t不应作为自变量，不应作为自变量，只能作为一个参变量出现。只能作为一个参变量出现。欲求某一指定时刻的流线，需把欲求某一指定时刻的流线，需把t当作常数代入上式，然后进当作常数代入上式，然后进行积分。行积分。2流线流线3（1）在一般情况下，流线不能相交，因在相交处将出现两个）在一般情况下，流线不能相交，因在相交处将出现两个速度矢量，而每个流体质点在某一时刻只能有一个速度矢量，速度矢量，而每个流体质点在某一时刻只能有一个速度矢量，所以通过一点只能有一条流线。所以通过一点只能有一条流线。4（2）在流场内，速度为零的点（称驻点或停
16、滞点）和速度为）在流场内，速度为零的点（称驻点或停滞点）和速度为无穷大的点（称奇点）以及流线相切的点是例外，通过上述点无穷大的点（称奇点）以及流线相切的点是例外，通过上述点不只有一条流线。不只有一条流线。5（3）流线亦不能转折，因为转折处同样会出现有两个速度矢）流线亦不能转折，因为转折处同样会出现有两个速度矢量的问题。流体是连续介质，各运动要素在空间是连续量的问题。流体是连续介质，各运动要素在空间是连续3 脉线脉线 脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
17、在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互重在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互重合。合。第二节第二节 描述流体运动的一些基本概念描述流体运动的一些基本概念 一一 流管流管 流束流束 过流断面过流断面 元流元流 总流总流 在流场中，任意取一非流线且不自相交的封闭曲线。从这封在流场中，任意取一非流线且不自相交的封闭曲线。从这封闭曲线上各个点绘出流线，组成封闭管状曲面，称为闭曲线上各个点绘出流线，组成封闭管状曲面，称为流管流管。流。流管内的流体称为管内的流体称为流束流束。沿流体流动方向，在流束上取一横断面，。沿流体流动方向，在流束上取一横断面，使它在所有各点上都和流线正交
18、。这一横断面称使它在所有各点上都和流线正交。这一横断面称过流断面过流断面。过。过流断面面积无限小的流束称流断面面积无限小的流束称元流元流；相应的流管称微元流管。过；相应的流管称微元流管。过流断面面积具有一定大小的有限尺寸的流束称流断面面积具有一定大小的有限尺寸的流束称总流总流。总流可以。总流可以看出是由流动边界内无数元流所组成的总和看出是由流动边界内无数元流所组成的总和在元流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等可认为是在元流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等可认为是相等的。总流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等不相等的。总流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等不一定
19、相等。一定相等。二二 流量流量 断面平均流速断面平均流速单位时间内通过某一过流断面的流体数量称为流量。可以用体积单位时间内通过某一过流断面的流体数量称为流量。可以用体积流量、重量流量和质量流量表示，单位分别是流量、重量流量和质量流量表示，单位分别是m3/s,kN/s,kg/s元流元流总流总流二二 流量流量 断面平均流速断面平均流速断面平均流速是一种设想的流速，即假设总流同一过流断面上各断面平均流速是一种设想的流速，即假设总流同一过流断面上各点的速度都相等。以断面平均速度通过的流量等于该过流断面上点的速度都相等。以断面平均速度通过的流量等于该过流断面上各点实际速度不相等情况下所通过的流量。各点实
20、际速度不相等情况下所通过的流量。第三节第三节 流体运动的类型流体运动的类型 一一 恒定流和非恒定流恒定流和非恒定流按各点运动要素（速度、压强等）是否随时间变化，可将流体运按各点运动要素（速度、压强等）是否随时间变化，可将流体运动分为恒定流和非恒定流。动分为恒定流和非恒定流。各运动要素都不随时间变化的流体运动称为恒定流，速度、压各运动要素都不随时间变化的流体运动称为恒定流，速度、压强等可以仅是坐标的函数。强等可以仅是坐标的函数。空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒定流。定流。二二 均匀流和非均匀流均匀流和非均匀流 渐变流和急
21、变流渐变流和急变流在实际流体运动中，常难于遇到符合上述定义的均匀流。在实际流体运动中，常难于遇到符合上述定义的均匀流。按沿流程各个过流断面上位于同一流线上的点，称相应点的速按沿流程各个过流断面上位于同一流线上的点，称相应点的速度（大小、方向）是否相等，可将流体运动分为度（大小、方向）是否相等，可将流体运动分为均匀流均匀流和和非均非均匀流匀流。均匀流的所有流线都是平行直线，非均匀流的所有流线。均匀流的所有流线都是平行直线，非均匀流的所有流线不是一组平行直线。不是一组平行直线。按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体运按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体运动分为均匀流和
22、非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度都不动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度都不随位置而变化的流体运动称随位置而变化的流体运动称均匀流均匀流。均匀流各点都没有迁移加。均匀流各点都没有迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之，则称为速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之，则称为非均匀流非均匀流。各流线之间的夹角很小，即各流线几乎是平行的，且各流线的各流线之间的夹角很小，即各流线几乎是平行的，且各流线的曲率半径很大，即各流线几乎是直线的流体运动称为曲率半径很大，即各流线几乎是直线的流体运动称为渐变流渐变流。所有流线是一组几乎平行的直线，所以渐变流的过流断面可认所有
23、流线是一组几乎平行的直线，所以渐变流的过流断面可认为是一平面。均匀流是渐变流的极限情况。为是一平面。均匀流是渐变流的极限情况。按各流线是否接近于平行直线，又可将非均匀流分为渐变流和按各流线是否接近于平行直线，又可将非均匀流分为渐变流和急变流。急变流。各流线之间的夹角很大，或者各流线的曲率半径很小的流体运各流线之间的夹角很大，或者各流线的曲率半径很小的流体运动称为动称为急变流急变流。三三 有压流（有压管流）、无压流（明渠流）、射流有压流（有压管流）、无压流（明渠流）、射流边界全为固体的流体运动称为边界全为固体的流体运动称为有压流有压流或有压管流。或有压管流。边界部分为固体、部分为气体，具有自由表
24、面的液体运动称为边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为无压流无压流或明渠流。或明渠流。流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流体运动称为体运动称为射流射流。按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射流。流。四四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）若流体的运动要素是空间
25、三个坐标和时间若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运的函数，这种流体运动称为动称为三维流或三元流三维流或三元流。若流体的运动要素是空间两个坐标和时间若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运的函数，这种流体运动称为动称为二维流或二元流二维流或二元流。若流体的运动要素仅是空间一个坐标和时间若流体的运动要素仅是空间一个坐标和时间t的函数，这种流体的函数，这种流体运动称为运动称为一维流或一元流一维流或一元流。元流同一过流断面上的运动要素可认。元流同一过流断面上的运动要素可认为是相等的，所以元流中任意点的运动要素只与流程坐标为是相等的，所以元流中任意点的运动要素只与流程
26、坐标s有关，有关，即为一维流。总流按一维流来分析处理，实际是以总流的过流断即为一维流。总流按一维流来分析处理，实际是以总流的过流断面的运动要素平均值来代替该过流断面上各点的运动要素。面的运动要素平均值来代替该过流断面上各点的运动要素。按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。第四节第四节 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 一一系统系统 控制体控制体流体运动必须遵循质量守恒定律。流体运动必须遵循质量守恒定律。流体被视为连续介质，质量
27、守恒定律应用于流体运动，在工程流流体被视为连续介质，质量守恒定律应用于流体运动，在工程流体力学中就称为连续原理，它的数学表达式即为体力学中就称为连续原理，它的数学表达式即为流体运动的连续流体运动的连续性方程性方程。在工程流体力学中，在工程流体力学中，系统系统就是指由确定的流体质点所组成的流就是指由确定的流体质点所组成的流体团。体团。如果使用系统来研究连续介质的运动、意味着采用拉格朗日法如果使用系统来研究连续介质的运动、意味着采用拉格朗日法的观点，以确定的流体质点所组成的流体团作为研究对象。的观点，以确定的流体质点所组成的流体团作为研究对象。一一系统系统 控制体控制体流体系统的边界有以下几个特点
28、：流体系统的边界有以下几个特点：（1）系统的边界随流体一起运动，系统的体积边界面的形状和系统的边界随流体一起运动，系统的体积边界面的形状和大小可随时间而变化大小可随时间而变化;（2）在系统的边界处没有质量的交换，即没有流体流进或流出）在系统的边界处没有质量的交换，即没有流体流进或流出系统的边界系统的边界;（3）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力;（4）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量进入或外）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量进入或外出系统的边界。出系统的边界。一一系统系统 控制体控制体控制体的边界面称为控制面，它总是封闭表
29、面。占据控制体的诸控制体的边界面称为控制面，它总是封闭表面。占据控制体的诸流体质点是随时间而改变的。控制面有以下几个特点流体质点是随时间而改变的。控制面有以下几个特点（1）控制面相对于坐标系是固定的控制面相对于坐标系是固定的;（2）在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面制面;（3）在控制面上受到控制体以外物体加在控制体内物体上的力在控制面上受到控制体以外物体加在控制体内物体上的力;（4）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量进人或外出控在控制面上可以有能量交换，即可以有能量进人或外出控制面。制面。采用欧拉法的观点，引进控制体的概
30、念。采用欧拉法的观点，引进控制体的概念。被流体所流过的，相对于某个坐标系来讲，固定不变的任何体积被流体所流过的，相对于某个坐标系来讲，固定不变的任何体积称为称为控制体控制体。二二 流体运动的连续性微分方程流体运动的连续性微分方程在流场中，取一以任意点在流场中，取一以任意点M为中心的微小平行六面体为控制体。为中心的微小平行六面体为控制体。二二 流体运动的连续性微分方程流体运动的连续性微分方程流进流出六面体的流体质量之差应等于因密度变化所引起的质量流进流出六面体的流体质量之差应等于因密度变化所引起的质量增量增量在微小时段在微小时段dt内，从边界面内，从边界面ABCD流入六面体的流体质量为流入六面体
31、的流体质量为从边界面从边界面EFGH流出六面体的流体质量为流出六面体的流体质量为沿沿x轴方向流进和流出六面体的流体质量差为轴方向流进和流出六面体的流体质量差为 上式除以上式除以dxdydzdt后可得，可压缩流体的连续性微分方程后可得，可压缩流体的连续性微分方程表达了任何可能实现的流体运动所必须满足的连续性条件，表达了任何可能实现的流体运动所必须满足的连续性条件，即质量守恒条件。即质量守恒条件。不可压缩均质流体不可压缩均质流体上式即为不可压缩均质流体的连续性微分方程，它适用于恒上式即为不可压缩均质流体的连续性微分方程，它适用于恒定流和非恒定流。定流和非恒定流。物理意义：流体的体积变形率为零，即它
32、的体积不会发生变物理意义：流体的体积变形率为零，即它的体积不会发生变化。化。以矢量表示为以矢量表示为即速度即速度u的散度为零。的散度为零。三三 总流的连续性方程总流的连续性方程:微元分析法微元分析法不可压缩均质流体来讲不可压缩均质流体来讲根据高斯定理根据高斯定理对于恒定流来讲，流管的全部表面对于恒定流来讲，流管的全部表面s包括两端断面和四周侧包括两端断面和四周侧表面。流管侧表面上表面。流管侧表面上un=0 即为不可压缩均质流体恒定总流的连续性方程即为不可压缩均质流体恒定总流的连续性方程也适用于非恒定有压管在同一时刻的两过流断面。也适用于非恒定有压管在同一时刻的两过流断面。三三 总流的连续性方程
33、：有限体分析法总流的连续性方程：有限体分析法用有限体分析法，从分析一维流着手，用一维元流分析法来推用有限体分析法，从分析一维流着手，用一维元流分析法来推导出恒定总流的连续性方程。导出恒定总流的连续性方程。设一恒定总流，取过流断面设一恒定总流，取过流断面1-1、2-2为控制面。在上述总流管为控制面。在上述总流管段内任取一元流段，如图中虚线所示。因为是恒定流，所以微段内任取一元流段，如图中虚线所示。因为是恒定流，所以微元流管的位置和形状不随时间而改变。元流管的位置和形状不随时间而改变。可压缩流体恒定元流的连续性方程可压缩流体恒定元流的连续性方程根据质量守恒定律根据质量守恒定律可压缩流体恒定元流的连
34、续性方程可压缩流体恒定元流的连续性方程对于不可压缩均质流体来讲对于不可压缩均质流体来讲不可压缩流体恒定元流的连续性方程不可压缩流体恒定元流的连续性方程总流是由流动边界内无数元流所组成的总和，将总流是由流动边界内无数元流所组成的总和，将 对总流的过流断面面积积分，得对总流的过流断面面积积分，得三三 总流的连续性方程总流的连续性方程质量守恒定律也适用于有汇流或分流的情况。质量守恒定律也适用于有汇流或分流的情况。总流连续性方程为总流连续性方程为对于不可压缩均质流体来讲，对于不可压缩均质流体来讲，四四 流体流量的测量流体流量的测量非压差式流量计非压差式流量计：涡轮流量计、电磁流量计、湿式气体流量计：涡
35、轮流量计、电磁流量计、湿式气体流量计体积流量计体积流量计（或重量流量计）：用一计时器、大容积容器或称（或重量流量计）：用一计时器、大容积容器或称重器，直接测量一定时段内流出某一过流断面的流体的体积或重器，直接测量一定时段内流出某一过流断面的流体的体积或重量。重量。压差式流量计压差式流量计：根据实际流体的运动方程，通过测量运动流体：根据实际流体的运动方程，通过测量运动流体不同位置的动压强差来求得流体流量。（文丘里管、集流器、不同位置的动压强差来求得流体流量。（文丘里管、集流器、孔板流量计、量水薄壁堰）孔板流量计、量水薄壁堰）一一 流体微元运动形式的分析流体微元运动形式的分析流体微元运动的基本形式
36、流体微元运动的基本形式：平移，转动，变形（线变形和角：平移，转动，变形（线变形和角变形）变形）刚体：平移，转动刚体：平移，转动第五节第五节 流体微元运动的基本形式流体微元运动的基本形式 流体微元流体微元是由大量流体质点所组成的是由大量流体质点所组成的具有具有线性尺度效应的微线性尺度效应的微小流体团。小流体团。流体质点流体质点：在连续介质的概念中，流体质点是可以：在连续介质的概念中，流体质点是可以忽略忽略线性线性尺度效应的最小单元尺度效应的最小单元正交微小六面体变成斜平行微小六面体正交微小六面体变成斜平行微小六面体a 平移运动平移运动b 线变形运动线变形运动c 角变形运动角变形运动d 转动运动转
37、动运动二维情况二维情况下的流体微元运动的基本形式下的流体微元运动的基本形式在研究流体运动特性和规律时，需了解流体微元运动形式与运在研究流体运动特性和规律时，需了解流体微元运动形式与运动要素之间的关系。下面介绍流体微元运动形式的几何意义和动要素之间的关系。下面介绍流体微元运动形式的几何意义和它与速度变化之间的关系（数学表达式）。它与速度变化之间的关系（数学表达式）。因流体微元各点的速度分量都包含因流体微元各点的速度分量都包含ux，uy，若只考虑，若只考虑A、B、C、D各点速度中的各点速度中的ux，uy 两项，则经过两项，则经过dt时段后，矩形时段后，矩形ABCD发生发生平移运动，到达平移运动，到
38、达A1B1C1D1的位置。所以速度分量的位置。所以速度分量ux，uy就表示流就表示流体微元的平移运动速度。体微元的平移运动速度。A点与点与B点，点，D点与点与C点，在点，在x轴方向都有相同的速度增量轴方向都有相同的速度增量 经过经过dt时段后，时段后，AB边和边和DC边沿边沿x轴方向均伸长轴方向均伸长同样，由连续性条件，同样，由连续性条件，AD边和边和BC边沿边沿y轴方向均缩短轴方向均缩短 流体微元经过流体微元经过dt时段后，除了平移运动外，还有线变形运动，时段后，除了平移运动外，还有线变形运动，组成矩形组成矩形A1B2C2D2第一个下标，表示正交边所平行的坐标轴；第一个下标，表示正交边所平行
39、的坐标轴；第二个下标，表示该边发生变形时，端点将在哪一轴向发生位移。第二个下标，表示该边发生变形时，端点将在哪一轴向发生位移。流体微元线变形是由速度分量在它方向上的变化率，即由线变率流体微元线变形是由速度分量在它方向上的变化率，即由线变率来决定的。来决定的。流体微元在流体微元在x轴、轴、y轴方向的单位时间、单位长度的线变形，轴方向的单位时间、单位长度的线变形，简称线变率。简称线变率。若若AB和和AD的转动方向相反，转角大小相等，则只发生角变形运的转动方向相反，转角大小相等，则只发生角变形运动，组合成动，组合成A1B3C3D3的平行四边形。的平行四边形。dt时段内的角变形，是原时段内的角变形，是
40、原来相互垂直两边的夹角与变形后夹角之差来相互垂直两边的夹角与变形后夹角之差同理，可得同理，可得 B点相对于点相对于A点，点，C点相对于点相对于D点，在点，在y轴方向都有相同的速度增量轴方向都有相同的速度增量经过经过dt时段后，时段后，B点和点和C点沿点沿y轴方向均向上移动轴方向均向上移动AB边和边和DC均向反时针方向转动微小角度均向反时针方向转动微小角度单位时间的角变形简称角变率单位时间的角变形简称角变率角变形角变形习惯上取习惯上取 表示在表示在Oxy平面内的角变率平面内的角变率第一个下标，表示正交边所平行的坐标轴；第一个下标，表示正交边所平行的坐标轴；第二个下标，表示该边转动发生角度变化时，
41、端点将在哪一轴第二个下标，表示该边转动发生角度变化时，端点将在哪一轴向发生位移。向发生位移。若若AB边和边和AD边的转动方向相同，转角大小相等，则只发生转动边的转动方向相同，转角大小相等，则只发生转动运动。流体微元经过运动。流体微元经过dt时段后，除平移、线变形运动外，还有转时段后，除平移、线变形运动外，还有转动运动，组合成动运动，组合成A1B4C4D4的矩形。的矩形。习惯上把原来互相垂直两边的角转速习惯上把原来互相垂直两边的角转速 的的平均值，亦即该两边的分角线的角转速定义为流体微元绕平均值，亦即该两边的分角线的角转速定义为流体微元绕z轴的轴的角转速角转速流体微元既发生角变形运动，又发生转动
42、运动，可视为是先以角流体微元既发生角变形运动，又发生转动运动，可视为是先以角变率变率 作单纯的角变形和再以角转速作单纯的角变形和再以角转速 作单纯的转动的两作单纯的转动的两种运动的叠加。种运动的叠加。的下标表示转动轴的的下标表示转动轴的方向是沿方向是沿z轴的方向，按轴的方向，按右手法则垂直于右手法则垂直于Oxy平面。平面。角变形运动和转动运动都是由速度分量在垂直于它的方向上的角变形运动和转动运动都是由速度分量在垂直于它的方向上的变化率来决定的。变化率来决定的。推广到三维的普遍情况，可写出流体微元运动的基本形式与速度推广到三维的普遍情况，可写出流体微元运动的基本形式与速度变化的关系式变化的关系式
43、二二 速度分解定理速度分解定理流场中任一流体微元的某点流场中任一流体微元的某点M（x,y,z）,在同一时刻，在流体在同一时刻，在流体微元上距微元上距M点为点为ds的另一点的另一点A(x+dx,y+dy,z+dz),其速度分量其速度分量按泰勒级数展开，并略去级数中的二阶以上的各项按泰勒级数展开，并略去级数中的二阶以上的各项流体微元内任意相邻两点的速度关系，用上述流体微元运动基流体微元内任意相邻两点的速度关系，用上述流体微元运动基本形式的组合来表达。本形式的组合来表达。A点的速度可以用点的速度可以用M点的速度及九个速度分量的偏导数来表示。点的速度及九个速度分量的偏导数来表示。这九个速度分量的偏导数
44、可以组成线变率、角变率、角转速这九个速度分量的偏导数可以组成线变率、角变率、角转速九个分量九个分量二二 速度分解定理速度分解定理可以按线变率、角变率、角转速这些物理量的定义来改写上式，可以按线变率、角变率、角转速这些物理量的定义来改写上式，用流体微元运动基本形式的组合来表达。用流体微元运动基本形式的组合来表达。流体微元上任意两点速度关系的一般形式，称流体微元上任意两点速度关系的一般形式，称亥姆霍兹速度分解亥姆霍兹速度分解定理定理:M点邻近的任意点点邻近的任意点A上的速度可以分成三部分，上的速度可以分成三部分，(1)与与M点相同的平移速度点相同的平移速度(2)变形在变形在A点点 引起的速度引起的
45、速度(3)绕绕M点转动在点转动在A点引起的速度点引起的速度上述各式等号的右边第一项为平移速度，第二、三、四项分别上述各式等号的右边第一项为平移速度，第二、三、四项分别为线变形和角变形引起的速度增量，第五、六项为转动引起的为线变形和角变形引起的速度增量，第五、六项为转动引起的速度增量。这样，速度增量。这样，A点的速度被分解为平移、变形和转动运动点的速度被分解为平移、变形和转动运动的组合。的组合。亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理对于工程流体力学的发展有很大的影响：对于工程流体力学的发展有很大的影响：（1）可以把转动运动从一般运动中分出来，将流体运动分为无）可以把转动运动从一般运动中分出来，
46、将流体运动分为无涡流和有涡流，从而使有可能对它们分别进行研究涡流和有涡流，从而使有可能对它们分别进行研究（2）由于可以把变形运动分出来，从而使有可能将流体变形速）由于可以把变形运动分出来，从而使有可能将流体变形速率与流体的应力联系起来，这对粘性规律的研究有重大的影响。率与流体的应力联系起来，这对粘性规律的研究有重大的影响。刚体速度分解定理和流体速度分解定理的区别：刚体速度分解定理和流体速度分解定理的区别：（1）对整个刚体成立，因此它是整体性的定理。）对整个刚体成立，因此它是整体性的定理。（2）流体速度分解定理只是在流体微元内成立，因此它是局部）流体速度分解定理只是在流体微元内成立，因此它是局部
47、性的定理。性的定理。第六节第六节 无涡流（无旋流）和有涡流（有旋流）无涡流（无旋流）和有涡流（有旋流）（1）流体微元的角速度等于零的流体运动，即凡是质点速度）流体微元的角速度等于零的流体运动，即凡是质点速度场不形成流体微元转动的流体运动称场不形成流体微元转动的流体运动称无涡流或无旋流无涡流或无旋流。（2）流体微元的角速度不等于零的流体运动，即凡是质点速）流体微元的角速度不等于零的流体运动，即凡是质点速度场形成流体微元转动的流体运动称度场形成流体微元转动的流体运动称有涡流或有旋流有涡流或有旋流。按流体微元有无转动运动，可将流体运动分为按流体微元有无转动运动，可将流体运动分为无涡流无涡流和和有涡流
48、有涡流。一一 无涡流：无涡流的基本特征是每一流体微元的角转速等于零无涡流：无涡流的基本特征是每一流体微元的角转速等于零一一 无涡流无涡流 速度势速度势上式是使上式是使能成为某一函数能成为某一函数 的全微分的充分必要条件的全微分的充分必要条件函数函数 称为速度势，无涡流的速度矢量是有势的。所以无涡流称为速度势，无涡流的速度矢量是有势的。所以无涡流又称为有势流。又称为有势流。二二 有涡流有涡流 实际工程和自然界中的流体运动，大多数是有涡流实际工程和自然界中的流体运动，大多数是有涡流有涡流的基本特征是每一流体微元的角转速不等于零。有涡流的基本特征是每一流体微元的角转速不等于零。1 涡线涡线 涡管涡管
49、 涡旋断面涡旋断面 元涡元涡 涡通量涡通量各点角速度的方向可用涡线来表示，对于某一固定时刻而言，各点角速度的方向可用涡线来表示，对于某一固定时刻而言，涡线上任一点的角转速方向与曲线在该点的切线方向重合。涡线上任一点的角转速方向与曲线在该点的切线方向重合。涡线涡线是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的角速度方向。体质点的角速度方向。涡线的微分方程涡线的微分方程涡线的微分方程涡线的微分方程（1）恒定有涡流，由于速度场不随时间而改变，角转速场也）恒定有涡流，由于速度场不随时间而改变，角转速场也不随时间而改变，所以涡线不随时间而改变
50、其位置和形状。不随时间而改变，所以涡线不随时间而改变其位置和形状。（2）非恒定有涡场，涡线随时间改变其位置和形状）非恒定有涡场，涡线随时间改变其位置和形状1 涡线涡线 涡管涡管 涡旋断面涡旋断面 元涡元涡 涡通量涡通量在流场中任意取一非涡线且不自相交的封闭曲线。从这封闭曲线在流场中任意取一非涡线且不自相交的封闭曲线。从这封闭曲线上各个点绘出上各个点绘出涡线涡线，组成封闭管状曲面，称，组成封闭管状曲面，称涡管涡管。涡管内的流体。涡管内的流体称称涡束涡束。在涡束上取一横断面，使它在所有各点上都和涡线正交，。在涡束上取一横断面，使它在所有各点上都和涡线正交，这一横断面称这一横断面称涡旋断面涡旋断面。